《数学建模概率论》PPT课件.ppt

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1、第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第1 1页页第六章 参数估计 点估计的几种方法 点估计的评价标准 最小方差无偏估计 贝叶斯估计 区间估计 第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第2 2页页一般常用 表示参数，参数 所有可能取值组成的集合称为参数空间，常用表示。参数估计问题就是根据样本对上述各种未知参数作出估计。参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第3 3页页设 x1,x

2、2,xn 是来自总体 X 的一个样本，我们用一个统计量 的取值作为 的估计值，称为 的点估计（量），简称估计。在这里如何构造统计量 并没有明确的规定，只要它满足一定的合理性即可。这就涉及到两个问题：其一 是如何给出估计，即估计的方法问题；其二 是如何对不同的估计进行评价，即估 计的好坏判断标准。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第4 4页页 点估计的几种方法 替换原理和矩法估计 一、矩法估计 替换原理是指用样本矩及其函数去替换相应的总体矩及其函数，譬如：用样本均值估计总体均值E(X)，即 ；用样本方差估计总体方差Var(X)，即用

3、样本的 p 分位数估计总体的 p 分位数，用样本中位数估计总体中位数。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第5 5页页例 对某型号的20辆汽车记录其每加仑汽油的行驶里程(km)，观测数据如下：29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7 28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 经计算有 由此给出总体均值、方差和中位数的估计分别为:和 。矩法估计的实质是用经验分布函数去替换总体分布，其理论基础是格里纹科定理。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大

4、学10/30/202210/30/2022第第6 6页页二、概率函数二、概率函数P P(x x,)已知时未知参数的矩法估计已知时未知参数的矩法估计 设总体具有已知的概率函数 P(x,1,k)，x1,x2,xn 是样本，假定总体的k阶原点矩k存在，若 1,k 能够表示成 1,k 的函数 j=j(1,k)，则可给出诸 j 的矩法估计为 其中第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第7 7页页例 设总体服从指数分布，由于EX=1/，即=1/EX，故 的矩法估计为 另外，由于Var(X)=1/2，其反函数为 因此，从替换原理来看，的矩法估计也可

5、取为 s 为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯一的，这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第8 8页页例 x1,x2,xn是来自(a,b)上的均匀分布U(a,b)的样本，a与b均是未知参数，这里k=2，由于 不难推出 由此即可得到a,b的矩估计：第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第9 9页页 极(最)大似然估计 定义 设总体的概率函数为P(x;)，是参数 可能取值的参数空间，x1,x2,xn 是样本，将

6、样本的联合概率函数看成 的函数，用L(;x1,x2,xn)表示，简记为L()，称为样本的似然函数。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第1010页页 如果某统计量 满足 则称 是 的极(最)大似然估计，简记为MLE（Maximum Likelihood Estimate）。人们通常更习惯于由对数似然函数lnL()出发寻找 的极大似然估计。当L()是可微函数时，求导是求极大似然估计最常用的方法，对lnL()求导更加简单些。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第1111页页例

7、 设一个试验有三种可能结果，其发生概率分别为 现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别为 n1,n2 ,n3(n1+n2+n3=n)，则似然函数为 其对数似然函数为第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第1212页页将之关于 求导，并令其为0得到似然方程解之，得由于所以 是极大值点。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第1313页页 极大似然估计有一个简单而有用的性质：如果 是 的极大似然估计，则对任一函数 g()，其极大似然估计为 。该性质称为极大似然估计的不变性，从

8、而使一些复杂结构的参数的极大似然估计的获得变得容易了。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第1515页页 则称随机区间 为 的置信水平为1-的置信区间，或简称 是 的1-置信区间.和 分别称为 的（双侧）置信下限和置信上限.这里置信水平1-的含义是指在大量使用该置信区间时，至少有100(1-)%的区间含有。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第1616页页例 设x1,x2,x10是来自N(,2)的样本，则 的置信水平为1-的置信区间为 其中，,s 分别为样本均值和样本标准

9、差。这个置信区间的由来将在节中说明，这里用它来说明置信区间的含义。若取，则t0.95，上式化为第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第1717页页 现假定=15,2=4，则我们可以用随机模拟方法由N(15,4)产生一个容量为10的样本，如下即是这样一个样本：14.85 13.01 13.50 14.93 16.97 由该样本可以算得 从而得到 的一个区间估计为 该区间包含 的真值-15。现重复这样的方法 100次，可以得到100个样本，也就得到100个区 间，我们将这100个区间画在图上。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华

10、东师范大学10/30/202210/30/2022第第1818页页 由图可以看出，这100个区间中有91个包含参数真值15，另外9个不包含参数真值。图6.5.1 的置信水平为的置信区间 第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第1919页页 取，我们也可以给出100个这样的区间，见图。可以看出，这100个区间中有50个包含参数真值15，另外50个不包含参数真值。图6.5.2 的置信水平为的置信区间 第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第2020页页定义 沿用定义的记号，如对给

11、定的(0 1)，对任意的，有 （）称 为 的1-同等置信区间。同等置信区间是把给定的置信水平1-用足了。常在总体为连续分布场合下可以实现。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第2121页页定义 若对给定的(0 1)和任意的，有 ，则称 为 的置信水平为1-的（单侧）置信下限。假如等号对一切成立，则称 为 的1-同等置信下限。若对给定的(0 1)和任意的，有 ,则称 为 的置信水平为1-的（单侧）置信上限。若等号对一切成立，则称 为1-同等置信上限。单侧置信限是置信区间的特殊情形。因此，寻求置信区间的方法可以用来寻找单侧置信限。第六章

12、第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第2222页页6.5.3 单个正态总体参数的置信区间 一、一、已知时已知时 的置信区间的置信区间由此给出了的同等置信区间为 ，。（）这是一个以 为中心，半径为 的对称 区间，常将之表示为 。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第2323页页例 用天平秤某物体的重量9次，得平均值为 （克），已知天平秤量结果为正态分布，其标准差为克。试求该物体重量的置信区间。解：此处1-=，=，查表知u，于是该物体重量 的置信区间为 ，从而该物体重量的置信区间为

13、 ，15.4653。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第2424页页例 设总体为正态分布N(,1)，为得到 的置信水平为的置信区间长度不超过，样本容量应为多大？解：由题设条件知 的置信区间为 其区间长度为 ，它仅依赖于样本容量n而与样本具体取值无关。现要求 ，立即有n(2/1.2)2u21-/2.现1-，故u1-/2，从而n(5/3)2 2=11。即样本容量至少为11时才能使得 的置信水平为的置信区间长度不超过。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第2525页页二、2未

14、知时 的置信区间 的1-置信区间为 此处 是 2的无偏估计。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第2626页页例 假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用，测得它们的寿命（单位：万公里）如下：此处正态总体标准差未知，可使用t分布求均值的置信区间。经计算有 ，s2。取，查表知t，于是平均寿命的置信区间为（单位：万公里）第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第2727页页 在实际问题中，由于轮胎的寿命越长越好，因此可以只求平均寿命的置信下限

15、，也即构造单边的置信下限。由于 由不等式变形可知 的1-置信下限为 将t(11)=代入计算可得平均寿命 的置信下限为（万公里）。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第2828页页三、2的置信区间 2的1-置信区间为 第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第2929页页例6.5.6 某厂生产的零件重量服从正态分布N(,2)，现从该厂生产的零件中抽取9个，测得其重量为（单位：克）试求总体标准差 的置信区间。解：由数据可算得 s2，(n-1)s2=80325=0.26.查表知 2

16、(8)，2(8)，代入可得 2的置信区间为 从而 的置信区间为:，0.3454。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第3030页页 在样本容量充分大时，可以用渐近分布来构造近似的置信区间。一个典型的例子是关于比例p 的置信区间。6.5.4 大样本置信区间 第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第3131页页设x1,xn是来自b(1,p)的样本,得到p的置信区间为 其中记=u21-/2，实用中通常略去/n项，于是可将置信区间近似为第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华

17、东师范大学10/30/202210/30/2022第第3232页页例 对某事件A作120次观察，A发生36次。试给出事件A发生概率p 的置信区间。解：此处n=120，而u，于是p的（双侧）置信下限和上限分别为 故所求的置信区间为，0.382第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第3333页页例 某传媒公司欲调查电视台某综艺节目收视率p，为使得 p 的1-置信区间长度不超过d0，问应调查多少用户？解：这是关于二点分布比例p的置信区间问题，由（）知，1-的置信区间长度为 这是一个随机变量，但由于 ，所以对任意的观测值有 。这也就是说p的1

18、-的置信区间长度不会超过 。现要求p的的置信区间长度不超过d0，只需要 即可，从而 （6.5.12）第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第3434页页 这是一类常见的寻求样本量的问题。比如，若取d0，则 。这表明，要使综艺节目收视率p的置信区间的长度不超过，则需要对2401个用户作调查。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第3535页页 两个正态总体下的置信区间 设x1,xm是来自N(1,12)的样本，y1,yn是来自N(2,22)的样本，且两个样本相互独立。与 分别是它

19、们的样本均值，和 分别是它们的样本方差。下面讨论两个均值差和两个方差比的置信区间。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第3636页页一、1-2的置信区间1、12和 22已知时的两样本u区间 2、12=22=2未知时的两样本t区间 第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第3737页页3、22/12=已知时的两样本t区间 第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第3838页页4、当m和n都很大时的近似置信区间 5、一般情

20、况下的近似置信区间 其中 第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第3939页页例 为比较两个小麦品种的产量，选择18块条件相似的试验田，采用相同的耕作方法作试验，结果播种甲品种的8块试验田的亩产量和播种乙品种的10块试验田的亩产量（单位：千克/亩）分别为：甲品种 628 583 510 554 612 523 530 615 乙品种 535 433 398 470 567 480 498 560 503 426 假定亩产量均服从正态分布，试求这两个品种平均亩产量差的置信区间.(）。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大

21、学10/30/202210/30/2022第第4040页页解：以x1,x8记甲品种的亩产量，y1,y10记乙品种的亩产量，由样本数据可计算得到 ，sx2，m=8 ，sy2，n=10 下面分两种情况讨论。第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第4141页页(1)若已知两个品种亩产量的标准差相同，则可采用两样本t区间。此处 故1-2的置信区间为第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第4242页页(2)若两个品种亩产量的方差不等，则可采用近 似 t 区间。此处 s02，s0 于是1

22、-2的近似置信区间为 ，133.3815第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第4343页页二、12/22的置信区间 由于(m-1)sx2/12 2(m-1),(n-1)sy2/22 2(n-1)，且sx2与sy2相互独立，故可仿照F变量构造如下枢 轴量 ,对给定的1-，由 经不等式变形即给出 12/22的如下的置信区间第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第4444页页例 某车间有两台自动机床加工一类套筒，假设套筒直径服从正态分布。现在从两个班次的产品中分别检查了5个和6个

23、套筒，得其直径数据如下（单位：厘米）：甲班：乙班：试求两班加工套筒直径的方差比 甲2/乙2的置信区间。解：由数据算得sx2=0.00037,sx2，故置信区间，3.7657 第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第4545页页o习题习题1、在一批货物中随机抽取、在一批货物中随机抽取80件，发现有件，发现有11件件不合格品，试求这批货物的不合格品率的置信区不合格品，试求这批货物的不合格品率的置信区间间.o习题习题2、某商店某种商品的月销售量服从泊松分布，、某商店某种商品的月销售量服从泊松分布，为合理进货，必须了解销售情况。现记录了该商为

24、合理进货，必须了解销售情况。现记录了该商店过去的一些销售量：店过去的一些销售量：o月销售量月销售量 9 10 11 12 13 14 15 16o月份数月份数 1 6 13 12 9 4 2 1o试求平均月销售量的置信区间试求平均月销售量的置信区间第六章第六章 参数估计参数估计 华东师范大学华东师范大学10/30/202210/30/2022第第4646页页o习题习题3、假设人体身高服从正态分布，今抽、假设人体身高服从正态分布，今抽测甲、乙两地区测甲、乙两地区18岁岁25岁女青年身高得岁女青年身高得数据如下：甲地区抽取数据如下：甲地区抽取10名，样本均值名，样本均值m，样本标准差为样本标准差为m；乙地区抽取；乙地区抽取10名，样本均名，样本均值值m，样本标准差，样本标准差m，求，求o（1）两正态总体方差比的）两正态总体方差比的95%置信区间置信区间o（2）两正态总体均值差的）两正态总体均值差的95%置信区间置信区间