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1、求数列的通项公式 数列的通项公式是数列的第数列的通项公式是数列的第n n项项a an n与与n n之间的关系可以用一个公式来表示之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的那么这个公式就叫做这个数列的通项公式通项公式.反映了数列中的每一项与每一项的序号的关系反映了数列中的每一项与每一项的序号的关系第1页/共83页基本数列的通项公式(1)1,2,3,4,(2)1,3,5,7,(3)3,5,7,9,(4)2,4,6,8,(5)1,4,9,16,(6)2,4,8,16,第2页/共83页 (7)1,1,1,1,(8)1,1,1,1,an=(1)n1或或(1)n1 (9)等等差差数数列列
2、的的通通项项公公式式 an=a1+(n1)d (10)等等比比数数列列的的通通项项公公式式 an=a1qn1 第3页/共83页第4页/共83页一、观察法（又叫猜想法，不完全归一、观察法（又叫猜想法，不完全归纳法）：纳法）：观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式 解：变形为：1011，1021，1031，1041，通项公式为：例1：数列9，99，999，9999，第5页/共83页例2，求数列3，5，9，17，33，解：变形为：21+1，22+1，23+1，24+1，25+1，可见联想与转化是由已知认识未知
3、的两种有效的思维方法。注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠的，如2，4，8，。可归纳成 或 者 两个不同的数列（便不同）通项公式为：第6页/共83页补充1：写出下列数列的一个通项公式写出下列数列的一个通项公式第7页/共83页总结总结:(1)(1)掌握基本数列的通项公式掌握基本数列的通项公式.(2)(2)分数形式的数列分数形式的数列,保持分数线保持分数线,分子分母分别找通项分子分母分别找通项.(3)(3)当数列中有分数当数列中有分数,又有整数时又有整数时,需要把整数化成分数需要把整数化成分数,即将分母补齐即将分母补齐,然后分子然后分子分母分别找通项分母分别
4、找通项.(4)(4)数列中的项正负交叉出现时数列中的项正负交叉出现时,常用常用 (-1)(-1)n+1n+1或或(-1)(-1)n-1n-1来调解来调解.当数列中的项是当数列中的项是负正出现时负正出现时,常用常用(-1)(-1)n n来调解来调解.(5)(5)有的数列虽然有通项公式有的数列虽然有通项公式,但通项公式不唯一但通项公式不唯一.(6)(6)并不是所有的数列都有通项公式并不是所有的数列都有通项公式第8页/共83页数列通项公式的常见求法 类型类型1.已知数列的前几项已知数列的前几项,求数列的通项公式求数列的通项公式(1)3,5,9,17,(2)(3)(4)第9页/共83页(5)_1,7,
5、_13,19,(6)9,99,999,9999,第10页/共83页第11页/共83页类型二、类型二、前前n项和法项和法 已知前已知前n项和，求通项公式项和，求通项公式设设an的前的前n项和为项和为Sn,且满足且满足sn=n2+2n-1,求求an n的通项公式的通项公式.例2：第12页/共83页设设an的前的前n项和为项和为Sn,且满足且满足sn=n2+2n-1,求求an n的通项公式的通项公式.例2：第13页/共83页等差数列前等差数列前n n项和公式的应用项和公式的应用 例例2 2：已知数列：已知数列aan n的前的前n n项和公项和公式为式为s sn n=2n=2n2 2-30n:-30n
6、:这个数列是等差数列吗？求出它这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；的通项公式；第14页/共83页解：将解：将n-1带入数列的前带入数列的前n项和公式，得项和公式，得 Sn-1=2(n-1)2-30(n-1).因此因此 an=sn-sn-1=4n-32(n2)当当n=1时，时，a1=s1=2-30=-28,也适合上式，所也适合上式，所以这个数列的通项公式为以这个数列的通项公式为 an=4n-32.又因为又因为 an-an-1=(4n-32)-4(n-1)-32=4(n2),所以所以an是等差数列。是等差数列。第15页/共83页等差数列前等差数列前n n项和公式的应用项和公式的应用 变式：已知
7、数列an的前n项和公式为sn=2n2-30n+1 这个数列还是等差数列吗？求出它的通项公式；第16页/共83页思考？思考？如果一个数列的前如果一个数列的前n n项和的公式是项和的公式是s sn n=an=an2 2+bn+c(a,b,c+bn+c(a,b,c为常数），那么这为常数），那么这个数列一定是等差数列吗？个数列一定是等差数列吗？结论：结论：当当c=0c=0时这个数列是等差时这个数列是等差数列数列第17页/共83页类型类型2.2.已知数列的前已知数列的前n n项和项和,即即s sn n与与n n的关系的关系,求数列的通项公式求数列的通项公式.例例1.1.已知数列的前已知数列的前n n项和
8、项和s sn n=3=3n n2,2,求它的通项公式求它的通项公式?分析分析:大家首先需要理解数列的前大家首先需要理解数列的前n n项的和与前项的和与前 n n1 1项的和项的和.sn=a1+a2+a3+an-1+an 当当 n n2 2 时时 sn-1=a1+a2+a3+an-1 an=snsn-1 第18页/共83页解解:当当n=1时时,a1=s1=31_2=1当当n 2n 2时时,an=sn_sn-1=3n_2_(3n-1_2)=3n_3n-1=33n-1_3n-1 =23n-1由于由于a a1=1=1不适合上式不适合上式.an=练习：已知数列的前练习：已知数列的前n n项和项和sn=2
9、n_1求数列的通项公式求数列的通项公式第19页/共83页第20页/共83页例7已知下列两数列 的前n项和sn的公式，求 的通项公式。（1）（2）解：（1），当 时 由于 也适合于此等式 （2），当 时 由于 不适合于此等式第21页/共83页【变式训练】已知数列aan n 的前n n项和S Sn n,分别求它们的通项公式a an n.(1)S(1)Sn n=2n=2n2 2+3n.(2)S+3n.(2)Sn n=3=3n n+1.+1.第22页/共83页【解析解析】(1)(1)由题可知由题可知,当当n=1n=1时时,a,a1 1=S=S1 1=21=212 2+31=5,+31=5,当当n2n2
10、时时,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=(2n=(2n2 2+3n)-2(n-1)+3n)-2(n-1)2 2+3(n-1)=4n+1.+3(n-1)=4n+1.当当n=1n=1时时,41+1=5=a,41+1=5=a1 1,所以所以a an n=4n+1.=4n+1.(2)(2)当当n=1n=1时时,a,a1 1=S=S1 1=3+1=4,=3+1=4,当当n2n2时时,a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=(3=(3n n+1)-(3+1)-(3n-1n-1+1)=23+1)=23n-1n-1.当当n=1n=1时时,23,231-11-1=2a=2a1 1,所以所以
11、a an n=第23页/共83页考点2 2 a an n与S Sn n关系式的应用【典例2 2】(1)(1)设数列aan n 的前n n项和S Sn n=n=n2 2,则a a8 8的值为()A.15A.15B.16B.16C.49C.49D.64D.64(2)(2)已知数列aan n 的前n n项和为S Sn n,a,a1 1=1,S=1,Sn n=2a=2an+1n+1,则S Sn n=(=()第24页/共83页【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选A.aA.a8 8=S=S8 8-S-S7 7=64-49=15.=64-49=15.(2)(2)选选B B方法一：因为方法一：因为a an
12、+1n+1=S=Sn+1n+1-S-Sn n,所以由所以由S Sn n=2a=2an+1n+1得，得，S Sn n=2(S=2(Sn+1n+1-S Sn n)，整理得，整理得3S3Sn n=2S=2Sn+1n+1，所以，所以 所以数列所以数列SSn n 是以是以S S1 1=a=a1 1=1=1为首为首项，项，为公比的等比数列，所以为公比的等比数列，所以 故选故选B B方法二方法二:因为因为S Sn n=2a=2an+1n+1,所以所以S Sn-1n-1=2a=2an n(n2),(n2),两式相减得两式相减得:a:an n=2a=2an+1n+1-2a-2an n,所以所以第25页/共83页
13、已知数列已知数列aan n,a,an nNN*,S,Sn n=(a an n+2)+2)2 2.(1)(1)求证求证:a:an n 是等差数列是等差数列.(2)(2)设设b bn n=a an n-30,-30,求数列求数列bbn n 的前的前n n项和项和T Tn n的最小值的最小值.第26页/共83页所以所以a an n-a-an-1n-1=4.=4.所以所以T Tn n=(n-15)=(n-15)2 2-225.-225.当当n=15n=15时时,数列数列bbn n 的前的前n n项和有最小值为项和有最小值为-225.-225.所以所以aan n 是首项为是首项为2,2,公差为公差为4
14、4的的等差数列等差数列.(b bn n=a an n-30=-30=(4n-2)-30=2n-31.(4n-2)-30=2n-31.第27页/共83页第28页/共83页例例2：在在an中，已知中，已知a1=1,an=an-1+n(n2),求通项求通项an.练：练：类型三、类型三、累加法累加法 形如形如 的递推式的递推式第29页/共83页二、迭加法（又叫累加法，逐加法）例3，求数列：1，3，6，10，15，21，的通项公式解：两边相加得：第30页/共83页第31页/共83页【典例3 3】(1)(1)在数列aan n 中,a,a1 1=2,a=2,an+1n+1=a=an n+则a an n等于(
15、)A.2+lnnA.2+lnnB.2+(n-1)lnnB.2+(n-1)lnnC.2+nlnnC.2+nlnn D.1+n+lnnD.1+n+lnn第32页/共83页【规范解答规范解答】(1)(1)选选A.A.由已知由已知,a,an+1n+1-a-an n=ln ,a=ln ,a1 1=2,=2,所以所以a an n-a-an-1n-1=ln (n2),=ln (n2),a an-1n-1-a-an-2n-2=ln ,=ln ,a a2 2-a-a1 1=ln ,=ln ,第33页/共83页将以上将以上n-1n-1个式子叠加，得个式子叠加，得=ln n.=ln n.所以所以a an n=2+l
16、n n(n2),=2+ln n(n2),经检验经检验n=1n=1时也适合时也适合.故选故选A.A.已知已知a a1 1=1,a=1,an+1n+1=a=an n+2n+2n，求其通项公式，求其通项公式第34页/共83页第35页/共83页例例4：练：练：类型四、类型四、累乘法累乘法形如形如 的递推式的递推式第36页/共83页若数列 是等比数，公比为 ，则若数列 满足 ，其中数列 前 项积可求，则通项 可用逐项作商后求积得到。第37页/共83页若数列aan n 满足a a1 1=1,a=1,an+1n+1=2=2n na an n,则数列aan n 的通项公式，a an n=.第38页/共83页(
17、2)(2)由于由于 将这将这n-1n-1个等式叠乘得个等式叠乘得 =2=21+2+1+2+(n-1)+(n-1)=故故a an n=答案：答案：第39页/共83页【变式训练】根据下列条件,确定数列aan n 的通项公式:(1)a(1)a1 1=1,a=1,an+1n+1=3a=3an n+2.+2.(2)a(2)a1 1=1,a=1,an n=a=an-1n-1(n2).(n2).(3)a(3)a1 1=2,a=2,an+1n+1=a=an n+3n+2.+3n+2.第40页/共83页第41页/共83页第42页/共83页第43页/共83页构造数列an+为等比数列题型：已知数列an中a1=1，a
18、n+1=pan+q,求an 如何确定？待定系数法：即 根据已知 =所以数列 是等比数列.第44页/共83页例例5：分析：配凑法分析：配凑法构造辅助数列构造辅助数列第45页/共83页例 9，已 知 数 列 的 递 推 关 系 为 ，且 ，求通项公式 。解：令 则数列 是以4为公差的等差数列 两边分别相加得：第46页/共83页研究an+1=Aan+B的数列通项 例2：在an中a1=2,an+1=3an+2,求数列的通项公式.第47页/共83页例例3:3:已知数列已知数列a an n,首项为首项为2,2,且且an+1=2an+2 求数列求数列a an n的通项公式的通项公式解解:an+1=2an+2
19、 an+1+2=2an+4 an+1+2=2(an+2)数列数列an+2是以是以a1+2=4为首项为首项,以以2 2为为公比的等比数列公比的等比数列第48页/共83页an+2=42n-1an=2n+1_2例例4.4.已知数列已知数列 an,an+1=3an+4,且且a1=1求数列求数列 an的通项公式的通项公式?解解:设设an+1+r=3(an+r)则则 an+1+r=3an+3r an+1=3an+2r由已知由已知 an+1=3an+42r=4,r=2an+1+2=3(an+2)第49页/共83页 数列数列an+2是是a1+2=3为首项为首项,以以3 3为公比的等比数列为公比的等比数列 an
20、+2=33n-1 an=3n+1_2 形如形如an+1=can+d 当当c=0c=0时时,an+1=d an=d 此数列为常数数列此数列为常数数列 当当c=1c=1时时,an+1=an+d an+1_an=d第50页/共83页【加固训练】1.1.设数列aan n 的前n n项和为S Sn n,已知2a2an n-2-2n n=S=Sn n,则数列aan n 的通项公式a an n=.【解析解析】令令n=1n=1得得a a1 1=2.=2.由由2a2an n-2-2n n=S=Sn n得得2a2an+1n+1-2-2n+1n+1=S=Sn+1n+1,-,-整理得整理得a an+1n+1=2a=2
21、an n+2+2n n,即即 即数列即数列 是首项为是首项为1 1，公差为，公差为 的等差的等差数列，故数列，故 故故a an n=(n+1)=(n+1)2 2n-1n-1答案：答案：(n+1)(n+1)2 2n-1n-1第51页/共83页2、已知数列an，a1=1,an+1=3、数列an中,a1=1,2an=第52页/共83页第53页/共83页例例6：取倒法取倒法构造辅助数列构造辅助数列类型六、形如类型六、形如 的递推式的递推式第54页/共83页当当c c变为变为n n时，上式化为时，上式化为 用叠加法用叠加法例例6 6：在数列：在数列an,a1=1,求求an解解：两边取倒数两边取倒数第55
22、页/共83页第56页/共83页数列an中,a1=1,第57页/共83页第58页/共83页第59页/共83页、形如、形如 的递推式的递推式例例8：第60页/共83页典型典型例题例题第61页/共83页第62页/共83页例例7 7：设：设an是首项为是首项为1 1的正数数列，且的正数数列，且（n+1)a2n+1na2n+an+1an=0 (nN)求它的通项公式求它的通项公式?解解:（n+1)a2n+1na2n+an+1an=0 分解因式为分解因式为 (an+1+an)(n+1)an+1nan=0 数列数列an是正数数列是正数数列 an+1+an0 (n+1)an+1nan=0 (n+1)an+1=n
23、an第63页/共83页第64页/共83页第65页/共83页第66页/共83页.设设an是首项为是首项为1的正数数列的正数数列，且且 求数列求数列an的通项公式的通项公式第67页/共83页(2014(2014安徽高考安徽高考)数列数列aan n 满满足足a a1 1=1,na=1,nan+1n+1=(n+1)a=(n+1)an n+n(n+1),nN+n(n+1),nN*.(1)(1)证明证明:数列数列 是等差数列是等差数列.(2)(2)设设b bn n=3=3n n,求数列求数列bbn n 的前的前n n项和项和S Sn n.所以所以a an n=n=n2 2,从而从而b bn n=n=n3
24、3n n,第68页/共83页第69页/共83页、相除法相除法形如形如 的递推式的递推式例例7：第70页/共83页 型的递推公式 .已知数列an中a1=2，an+1=2an+求数列an的通项公式。第71页/共83页 型的递推公式 例5.已知数列an中a1=2，an+1=4an+求数列an的通项公式。第72页/共83页第73页/共83页第74页/共83页第75页/共83页 周期函数周期函数 数列 满足 数列 的前 n积为 ，则 等于解：第76页/共83页第77页/共83页第78页/共83页第79页/共83页 an是等差数列，是等差数列，an=1+(n-1)=n1.若a1=1,且an+am=an+m
25、(n,m N*),则an=_解解:n=m=1时，时，a2=a1+a1=2,得得a1=1,a2=2m=1时时,由由an+am=an+m 得得an+1=an+1，即，即an+1-an=1n2.若b1=2，且bmbn=bm+n，则bn=_解：解：n=m=1时，时，b2=b1b1=4,即即b1=2，b2=4，m=1时时,由由bnbm=bn+m 得得bn+1=bn b1=2bn，故故bn是首项为是首项为b1=2，公比为，公比为q=2的等比数列，的等比数列，bn=22n-1=2n 2n 练习练习第80页/共83页拓展视野拓展视野：数列 an 中,求an及 Sn.为首项,1为公差的等差数列.a1=3不适合上式不适合上式.当当n2时时,第81页/共83页课堂小结课堂小结:利用等差数利用等差数列定义列定义利用等比数利用等比数列定义列定义累加法累加法累乘法累乘法待定系待定系数法数法构造新数列构造新数列第82页/共83页感谢您的观看。第83页/共83页