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1、波函数的性质2023/4/7111本讲稿第一页，共十一页2023/4/7112粒子图像对波粒二象性的理解曾经经历过激烈的争论。对波粒二象性的理解曾经经历过激烈的争论。与光的双缝干涉实验的情况一样，可以对电子的双缝干涉进行多与光的双缝干涉实验的情况一样，可以对电子的双缝干涉进行多时间段实验。时间段实验。结果显示结果显示，可以将实物波理解成大，可以将实物波理解成大量粒子形成的疏密波。量粒子形成的疏密波。然而，单个电子就具有波动性。然而，单个电子就具有波动性。只有承认这一点，才能理解氢原子只有承认这一点，才能理解氢原子的量子特性。的量子特性。也可以将实物波理解成空间中连续分也可以将实物波理解成空间中
2、连续分布的波包。布的波包。粒子图像：粒子图像：波包波包图像：图像：本讲稿第二页，共十一页2023/4/7113波包图像把波包的想法用到非相对论性自由粒子：把波包的想法用到非相对论性自由粒子：波包的群速度波包的群速度正是粒子的运动速度。正是粒子的运动速度。波包中不同波长的成分速度不一样！波包中不同波长的成分速度不一样！结果发现，波包的宽度即粒子的线度将随时间改变。结果发现，波包的宽度即粒子的线度将随时间改变。这这与实际观测到的结果明显矛盾。与实际观测到的结果明显矛盾。看来，无论把实物波理解成疏密波看来，无论把实物波理解成疏密波还是还是波包，都带有片面波包，都带有片面性，不能完整地反映实物的量子特
3、性。性，不能完整地反映实物的量子特性。电子究竟是什么？本讲稿第三页，共十一页2023/4/7114波粒二象性在经典力学的观念中，一个粒子有确定的质量和电荷，并有确切在经典力学的观念中，一个粒子有确定的质量和电荷，并有确切的位置和运动轨道；一个波则对应某种实在的物理量的变化，并的位置和运动轨道；一个波则对应某种实在的物理量的变化，并呈现出相干叠加性。呈现出相干叠加性。根据经典的粒子观，如果电子是粒子，它在双缝实验中必根据经典的粒子观，如果电子是粒子，它在双缝实验中必定只穿过一条缝，因此不可能生成干涉图样。定只穿过一条缝，因此不可能生成干涉图样。根据经典的波动观，如果电子是波，就不可能在屏幕上打出
4、根据经典的波动观，如果电子是波，就不可能在屏幕上打出一个一个分立的光点。一个一个分立的光点。因此，电子在穿越双缝时必定表现出波的行为，而在接因此，电子在穿越双缝时必定表现出波的行为，而在接触屏幕时则表现出粒子的行为。触屏幕时则表现出粒子的行为。这意味着电子所呈现的粒子性，只是经典粒子概念中的颗粒这意味着电子所呈现的粒子性，只是经典粒子概念中的颗粒性，并不与确切的轨道相联系。性，并不与确切的轨道相联系。而它所呈现的波动性，只是波动中最本质的叠加性。并不与而它所呈现的波动性，只是波动中最本质的叠加性。并不与实在的物理量的变化相关联。实在的物理量的变化相关联。本讲稿第四页，共十一页2023/4/71
5、15薛定谔方程电子干涉实验的结果表明，单次撞击是不可预言的。电子干涉实验的结果表明，单次撞击是不可预言的。尽管如此，由于每次做实验都得到相同的干涉图样，因此，尽管如此，由于每次做实验都得到相同的干涉图样，因此，干涉的总体图样是可以预言的。干涉的总体图样是可以预言的。统计图样的可预言性表明，德布罗意波也是可预言的。统计图样的可预言性表明，德布罗意波也是可预言的。1926年，奥地利物理学家欧文年，奥地利物理学家欧文 薛定谔找到了预言德布罗意波薛定谔找到了预言德布罗意波的数学方程，叫做薛定谔方程。的数学方程，叫做薛定谔方程。这是一个二阶的线性偏微分方程：这是一个二阶的线性偏微分方程：波函数波函数代表
6、粒子的总能量代表粒子的总能量代表粒子的动能代表粒子的动能外力的作用改变粒外力的作用改变粒子能量的方式子能量的方式拉普拉斯算符拉普拉斯算符本讲稿第五页，共十一页2023/4/7116波函数疑难薛定谔方程是牛顿运动方程在量子理论中的等价物，是量薛定谔方程是牛顿运动方程在量子理论中的等价物，是量子理论中的基本方程，也是量子力学的基本假定，其正确子理论中的基本方程，也是量子力学的基本假定，其正确性只能靠实验来检验。性只能靠实验来检验。牛顿运动定律预言了粒子在外力作用下的精确行为，牛顿运动定律预言了粒子在外力作用下的精确行为，与牛顿运动定律相似，薛定谔方程也预言了实物粒子在与牛顿运动定律相似，薛定谔方程
7、也预言了实物粒子在外力作用下的行为方式外力作用下的行为方式(波函数波函数)。薛定谔方程有助于阐明和预言大自然的行为，薛定谔方程有助于阐明和预言大自然的行为，但是，它并没有解决量子疑难：但是，它并没有解决量子疑难：一个电子通过双缝干涉仪时究竟发生了什么？一个电子通过双缝干涉仪时究竟发生了什么？电子走的路径实际上是哪一条？电子走的路径实际上是哪一条？电子的干涉图样的本质是什么？电子的干涉图样的本质是什么？波函数到底代表了什么？波函数到底代表了什么？本讲稿第六页，共十一页2023/4/7117干涉图样的概率性1926年，玻恩提出：干涉图样必定代表了每一个电子的概率图年，玻恩提出：干涉图样必定代表了每
8、一个电子的概率图样：样：概率是对事物的可能性程度的度量。概率是对事物的可能性程度的度量。凡是一个特定实验的结果不确定，但多次重复的总的统计凡是一个特定实验的结果不确定，但多次重复的总的统计结果可以预言时，概率就起作用；结果可以预言时，概率就起作用；对于一次无欺诈的投币实验，正面或反面朝上的概率都等对于一次无欺诈的投币实验，正面或反面朝上的概率都等于于50%；投币实验是宏观的实验，它的概率遵从牛顿定律到很高投币实验是宏观的实验，它的概率遵从牛顿定律到很高的近似程度。的近似程度。一个电子在多次相同的实验中的统计结果；一个电子在多次相同的实验中的统计结果；许多电子在一次实验中的统计结果；许多电子在一
9、次实验中的统计结果；波函数实际上代表了电子在空间中出现的概率。波函数实际上代表了电子在空间中出现的概率。本讲稿第七页，共十一页2023/4/7118波函数的统计解释更确切地说，电子的波函数更确切地说，电子的波函数 一旦给定，则一旦给定，则表示在表示在r点附近的体积元点附近的体积元 中找到粒子的概率。中找到粒子的概率。其其中中 叫叫做做概概率率密密度度，在在实实验验中中代代表表干干涉涉图图样样的的强强度分布。度分布。波函数的统计解释因因此此，实实验验给给出出的的干干涉涉图图样样代代表表电电子子在在屏屏幕幕上上出出现现的的概概率分布。率分布。沿着这条思路，玻沿着这条思路，玻恩得出结论：恩得出结论：
10、伴随着每个电子的德布罗意波实际上是该电子出现的概率波。原则上说，投币实验的结果是可以预言的。每次投币的不确定原则上说，投币实验的结果是可以预言的。每次投币的不确定性只是由于对实验细节的无知引起的；性只是由于对实验细节的无知引起的；量子事件甚至原则上就不可预言。量子事件甚至原则上就不可预言。本讲稿第八页，共十一页2023/4/7119波函数的归一性波函数的统计解释赋予波函数明确的物理意义，从而在物理上波函数的统计解释赋予波函数明确的物理意义，从而在物理上对波函数提出了若干要求：对波函数提出了若干要求：1.在任何有限体积中找到粒子的概率是有限的。在任何有限体积中找到粒子的概率是有限的。有限值有限值
11、一般情况下，这意味着波函数本身必须是有限的。一般情况下，这意味着波函数本身必须是有限的。2.由于粒子在空间各点出现的概率总和为由于粒子在空间各点出现的概率总和为 1，因此，波函数满，因此，波函数满足归一化条件：足归一化条件：如果波函数尚未归一化，即如果波函数尚未归一化，即在这个尚未归一化的波函数前面乘上一个常数因子，构造出一在这个尚未归一化的波函数前面乘上一个常数因子，构造出一个新的波函数：个新的波函数：本讲稿第九页，共十一页2023/4/71110构造归一化波函数于是，在全空间找到粒子的概率于是，在全空间找到粒子的概率让这个新的波函数满让这个新的波函数满足归一化条件足归一化条件归一化因子归一
12、化因子由此得到了一个新的、满足归一化条件的波函数。由此得到了一个新的、满足归一化条件的波函数。由于量子理论只讨论粒子在空间中各点出现的相对概率，由于量子理论只讨论粒子在空间中各点出现的相对概率，因此，波函数有一个常数因子的不确定性。因此，波函数有一个常数因子的不确定性。这意味着这意味着 与与 描写粒子的同一个量子态。描写粒子的同一个量子态。这一点与经典力学中的波函数有显著的区别。这一点与经典力学中的波函数有显著的区别。粒子在作一维运动时处于如下的状粒子在作一维运动时处于如下的状态，态，计算归一化因子，计算归一化因子，求出找到粒子的可求出找到粒子的可能性最大的位置？能性最大的位置？本讲稿第十页，
13、共十一页2023/4/71111波函数是单值的3.为了保证概率密度的确定性，要求波函数是单值的和连续的。为了保证概率密度的确定性，要求波函数是单值的和连续的。对波函数的统计解释表明，只能给出在一定范围内找到粒对波函数的统计解释表明，只能给出在一定范围内找到粒子的概率，不能确定粒子一定在某个位置。子的概率，不能确定粒子一定在某个位置。除除了了统统计计解解释释对对波波函函数数提提出出的的一一般般要要求求外外，具具体体的的物物理理情情况况如如势势能能的的性性质质和和边边界界条条件件等等，对对波波函函数数也也提提出出一一些些特特别别的要求。的要求。1.当势能是坐标的连续函数时，波函数的二阶导数是存当势能是坐标的连续函数时，波函数的二阶导数是存在的。这就要求波函数及其对坐标的一阶导数是坐标的在的。这就要求波函数及其对坐标的一阶导数是坐标的连续函数。连续函数。2.如果粒子被限制在一定的空间范围内，就要求波函数在无如果粒子被限制在一定的空间范围内，就要求波函数在无限远处的值必须趋于零。限远处的值必须趋于零。在这种情况下，我们说粒子处于束缚态。在这种情况下，我们说粒子处于束缚态。本讲稿第十一页，共十一页