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1、第10章机械波(波函数)本讲稿第一页，共二十二页一、机械波的产生一、机械波的产生1.波源波源被传播的机械振动被传播的机械振动 2.弹弹性性介介质质任任意意质质点点离离开开平平衡衡位位置置会会受受到到弹弹性性力力作作用用。在波源发生振动后，由于弹性力作用，会在波源发生振动后，由于弹性力作用，会带动带动邻邻近近的的质质点点也也以以同同样样的的频频率率振振动动。这样，就把振动传播出去这样，就把振动传播出去。故机械振动只能在弹性介质故机械振动只能在弹性介质中传播。中传播。10.1 机械波产生机械波产生 横波与纵波横波与纵波机械波产生的条件：机械波产生的条件：本讲稿第二页，共二十二页横波：横波：质点的振
2、动方向与波的传播方向垂直质点的振动方向与波的传播方向垂直纵波：纵波：质点的振动方向与波的传播方向平行质点的振动方向与波的传播方向平行软绳波的传播方向质点振动方向波的传播方向质点振动方向波峰波峰波谷波谷软弹簧稠密稠密稀疏稀疏二、横波与纵波二、横波与纵波本讲稿第三页，共二十二页纵波与横波的特征：纵波与横波的特征：纵波与横波的特征：纵波与横波的特征：横波存在波腹和波谷。横波存在波腹和波谷。纵波存在相间的稀疏和稠密区域。纵波存在相间的稀疏和稠密区域。波的传播特征：波的传播特征：波的传播特征：波的传播特征：1介介质质中中每每一一质质点点仅仅在在各各自自平平衡衡位位置置附附近近振振动动,不不随随波逐流。波
3、逐流。2介质中各质点之间沿波传播方向相位依次落后。介质中各质点之间沿波传播方向相位依次落后。（这是导出波函数的依据）（这是导出波函数的依据）3波形在传播，能量在传播。波形在传播，能量在传播。本讲稿第四页，共二十二页波形图波形图（波形曲线波形曲线）t 时刻时刻x：质元平衡位置的坐标：质元平衡位置的坐标 y：质元相对：质元相对 x 的位移的位移yx曲线：曲线：波形图波形图；波形曲线；波形曲线振动曲线：振动曲线：y t曲线曲线波射线：波射线：沿波传播方向的沿波传播方向的 射线，简称射线，简称波线。波线。t+dt 时刻时刻波面波面：不同波线上相位相同：不同波线上相位相同的点所连成的曲面。的点所连成的曲
4、面。波阵面（波前）波阵面（波前）10.2 波动过程的几何描述和基本物理量波动过程的几何描述和基本物理量球面波球面波各向同性各向同性介质介质点源点源柱面波柱面波面源：面源：平面波平面波线线源源本讲稿第五页，共二十二页周期：周期：波速：波速：(时间时间)频率：频率：波长：波长：(空间空间)频率：频率：OyAA-周期或频率只决定于波源的振动，和介质无关周期或频率只决定于波源的振动，和介质无关!振动状态完全相同的相邻两质元之间的距离振动状态完全相同的相邻两质元之间的距离(空间周期空间周期)。波传播一个波长的时间波传播一个波长的时间振动状态在媒质中的传播速度振动状态在媒质中的传播速度振动状态由位相决定，
5、波速也称相速振动状态由位相决定，波速也称相速波的特征量波的特征量波数：波数：角频率：角频率：波速只决定于媒质的性质！波速只决定于媒质的性质！波速只决定于媒质的性质！波速只决定于媒质的性质！本讲稿第六页，共二十二页10.3 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数一、平面简谐波的波函数一、平面简谐波的波函数各质点相对平衡位各质点相对平衡位置的置的位移位移波线上各质点波线上各质点平平衡衡位置位置 简谐波简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，在介质中所形成的波动时，在介质中所形成的波.平面简谐波平面简谐波：波面为平面的简谐波：波面为平面的简谐波.介质
6、中任一质点（坐标为介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移）相对其平衡位置的位移（坐标为（坐标为 y）随时间的变化关系，即）随时间的变化关系，即 称为波函数称为波函数.O本讲稿第七页，共二十二页设平面简谐波以相速设平面简谐波以相速 u u 沿沿 x x 轴正向传播轴正向传播,t,t时刻波形如图时刻波形如图O O 点的振动位移为点的振动位移为P 点的振动位移为点的振动位移为(op=x)或或u本讲稿第八页，共二十二页波数波数:定义定义 波矢波矢沿负方向传播的波函数沿负方向传播的波函数同一振动状态同一振动状态x处比处比0处超前处超前t=x/u本讲稿第九页，共二十二页1、当当 x 一定时一定时
7、,例例:x=x0 0=常数常数令常数令常数-x0处处简谐振动运动方程简谐振动运动方程反映了反映了振动的时间周期性振动的时间周期性t t每增加每增加T T，y y不变不变二、波函数的物理意义二、波函数的物理意义本讲稿第十页，共二十二页2、当当 t=tt=t0 0=常数常数令令t0时刻的时刻的波形波形 x每增加每增加，y y不变不变反映了反映了波的空间周期性波的空间周期性本讲稿第十一页，共二十二页3、x,t 都变都变表示波射线上不同质点在不同时刻的位移表示波射线上不同质点在不同时刻的位移 -行波行波由由看出看出t t或或x每增加每增加T T或或,相位重复出现，反映了时间和空间的周期性。相位重复出现
8、，反映了时间和空间的周期性。反映了振动状态的传播，波形的传播，能量的传播，反映了振动状态的传播，波形的传播，能量的传播，本讲稿第十二页，共二十二页 1）给出下列波函数所表示的波的给出下列波函数所表示的波的传播方向传播方向和和 点的初相位点的初相位.2）平面简谐波的波函数为平面简谐波的波函数为 式中式中 为正常数，求波长、波速、波传播方为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为向上相距为 的两点间的相位差的两点间的相位差.讨讨 论论（向（向x 轴轴负负向向传传播，播，）与与比较比较（向（向x 轴轴正正向传播，向传播，）本讲稿第十三页，共二十二页 3）如图简谐波以如图简谐波以余弦函数表示，求余弦函
9、数表示，求 O、a、b、c 各点振动各点振动初初相位相位.Oabct=T/4t=0OOOO本讲稿第十四页，共二十二页例：例：已知：图示为波源（已知：图示为波源（x=0处）振动曲线处）振动曲线且波速且波速u=4m/s,方向沿方向沿x轴正向轴正向.求：求：t=3s时波形曲线（大致画出）时波形曲线（大致画出）y(cm)t(s)0.50-0.51234解：解：4812y(cm)x(m)0.50-0.5u=4m/s本讲稿第十五页，共二十二页例例2 正向波在正向波在t=0时的波形图时的波形图波速波速 u=1200m/sA/2AA0y 0=/3 M=-/2t=0 x=0t=0M处处求：波函数和波长求：波函数
10、和波长解：解：由图由图如何确定如何确定 0?由初始条件：由初始条件：y0=A/2 v00 M=-/2(SI)本讲稿第十六页，共二十二页取小质元取小质元 a b=d x 体积为体积为 d V=s d x 质量为质量为 d m=s d x设质元被拉伸形变：设质元被拉伸形变：受弹性力受弹性力利用胡克定律有：利用胡克定律有：E为为杨氏模量杨氏模量受弹性力受弹性力(应力与应变成正比）应力与应变成正比）因此因此可以看出倔强系数可以看出倔强系数三、平面波的波动方程三、平面波的波动方程*本讲稿第十七页，共二十二页对比上式对比上式为波动微分方程的解为波动微分方程的解本讲稿第十八页，共二十二页横波波速横波波速纵波
11、波速纵波波速G为剪切模量为剪切模量三维情况：三维情况：称为称为 拉普拉斯算子拉普拉斯算子E为杨氏模量为杨氏模量说明：说明：1、给出了波速的性质，波速决定于媒质的性质、给出了波速的性质，波速决定于媒质的性质2、波动方程的物理意义：任何物理量（力学量、电学量、其、波动方程的物理意义：任何物理量（力学量、电学量、其他量），只要时间和坐标满足波动方程，则这个物理量以他量），只要时间和坐标满足波动方程，则这个物理量以波波的形式传播的形式传播，时间偏导的系数的倒数为波的传播速度，时间偏导的系数的倒数为波的传播速度本讲稿第十九页，共二十二页10.4 10.4 波的能量波的能量 能流密度能流密度 x 处处,质
12、元质元动能动能:势能势能：动能和势能同相且相等动能和势能同相且相等一、一、波的能量波的能量总能和动能、势能同相总能和动能、势能同相本讲稿第二十页，共二十二页能量密度能量密度平均能流平均能流平均能流密度平均能流密度-波的强度波的强度能流能流（单位时间垂直通过某一面积的能量）（单位时间垂直通过某一面积的能量）平均能量密度平均能量密度能量随空间时间的分布能量随空间时间的分布波的能量与振幅的平方成正比波的能量与振幅的平方成正比 二、能流密度二、能流密度本讲稿第二十一页，共二十二页平面简谐波的强度平面简谐波的强度 媒质的特性阻抗媒质的特性阻抗 波疏介质，波密介质波疏介质，波密介质波的强度波的强度 I A2，2，Z 球面谐波球面谐波振幅与半径成反比振幅与半径成反比本讲稿第二十二页，共二十二页