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1、波函数的几种不同的形式本讲稿第一页，共五十六页三三.平面波的波动方程平面波的波动方程 Wave Equation of Plane Wave平面波的波动方程将平面简谐波的波函数对将平面简谐波的波函数对t和和x分别求二阶偏导数分别求二阶偏导数,有有:推广推广:任何物理量任何物理量满足上式满足上式,则以波动形式传播则以波动形式传播具有普遍意义具有普遍意义三维空间三维空间一维简谐波的波函数就是此波动方程的解。一维简谐波的波函数就是此波动方程的解。本讲稿第二页，共五十六页Y-Y-杨氏弹性模量杨氏弹性模量 -体密度体密度(2)(2)固体棒中的纵波固体棒中的纵波(3)(3)固体中的横波固体中的横波G-G-
2、切变模量切变模量G Y,G Y,固体中固体中 横波横波Z112xyoL=2.25m解解：波波在在界界面面处处是是由由波波疏疏介介质质进进入入波波密密介质，分界面处反射时存在半波损失。介质，分界面处反射时存在半波损失。由入射波波函数知由入射波波函数知A点振动方程为：点振动方程为：在在A点反射后，由于存在半波损失，所以：点反射后，由于存在半波损失，所以：A法一：选原点，写出反射点振动方程法一：选原点，写出反射点振动方程由入射波波函数知由入射波波函数知A点振动方程为：点振动方程为：本讲稿第三十七页，共五十六页由于由于A点处的振动方程点处的振动方程y反反A已知：已知：12xyoL=2.25mA则反射波
3、（沿则反射波（沿X方向传播）的波函数为：方向传播）的波函数为：L=2.25m本讲稿第三十八页，共五十六页法二：因反射波的振幅、频率、波速均已法二：因反射波的振幅、频率、波速均已知，关键求反射波原点的初相位。知，关键求反射波原点的初相位。12xyoL=2.25mA入射波：入射波：入射波在入射波在A点比原点相位落后点比原点相位落后:反射波在原点比反射波在原点比A点相位落后点相位落后:在固定端反射，有半波损失，反射波相位落后在固定端反射，有半波损失，反射波相位落后反射波比入射波在原点相位落后反射波比入射波在原点相位落后:则反射波方程：则反射波方程：反射波的波函数可写为：反射波的波函数可写为：本讲稿第
4、三十九页，共五十六页 声波是机械纵波声波是机械纵波频率高于频率高于20000赫兹的叫做赫兹的叫做超声波超声波。*声的产生、传播和接收。为听觉服务，如声的产生、传播和接收。为听觉服务，如声音的音质、音响效果；声学在建筑学方面声音的音质、音响效果；声学在建筑学方面的应用，噪声的避免，声波测井等。的应用，噪声的避免，声波测井等。20到到20000赫兹之间能引起听赫兹之间能引起听觉的称为觉的称为可闻声波可闻声波，简称声波。，简称声波。频率低于频率低于20赫兹的叫做赫兹的叫做次声波次声波；*利用声的传播特性研究媒质的微观结构；利用声的传播特性研究媒质的微观结构；利用声波的作用来促进化学反应，为科技服务。
5、利用声波的作用来促进化学反应，为科技服务。研研究究的的分分类类：声的概念不再局限于听觉范围，声的概念不再局限于听觉范围，几乎是振动和机械波的同义词。几乎是振动和机械波的同义词。声波20000Hz20Hz 6-8 声波声波本讲稿第四十页，共五十六页媒质中有声波传播时的压强与无声波传媒质中有声波传播时的压强与无声波传播时的静压强之差称为声压。播时的静压强之差称为声压。声压声压稀疏区声压为负，稠密区声压为正值。稀疏区声压为负，稠密区声压为正值。由于疏密的周期性，声压也是周期变化。由于疏密的周期性，声压也是周期变化。声压的振幅为：声压的振幅为：声强、声强级声强、声强级*声强声强就是声波的就是声波的平均
6、能流密度。平均能流密度。即单位时间内通过垂直于传播方向单位面积的声波能量。即单位时间内通过垂直于传播方向单位面积的声波能量。声压的单位声压的单位:帕（帕（Pa),通常讲话：通常讲话：0.1Pa,离飞机数米离飞机数米:几百帕几百帕本讲稿第四十一页，共五十六页这样的超声波在几个毫米范围内有比重力加速度这样的超声波在几个毫米范围内有比重力加速度 g大十多万倍的正负加速度和近百个大气压，大十多万倍的正负加速度和近百个大气压，可见它可见它的威力。因此，有重要的应用。的威力。因此，有重要的应用。式中声压的振幅：式中声压的振幅：由此可知，声强与频率的平方，振幅的平方成正比。由此可知，声强与频率的平方，振幅的
7、平方成正比。声强声强超声波的频率高超声波的频率高 ，而波长在毫米数量级。，而波长在毫米数量级。压强振幅约压强振幅约 大气压。大气压。加速度加速度 已达重力加速度的上百万倍；已达重力加速度的上百万倍；本讲稿第四十二页，共五十六页引起人的听觉的声波，还有一定的声强引起人的听觉的声波，还有一定的声强范围。大约为范围。大约为1012瓦瓦/米米2 1瓦瓦/米米2。声强太小听不见，太大会引起痛觉。声强太小听不见，太大会引起痛觉。定义声强级定义声强级L为：为：单位为贝耳单位为贝耳(Bel)1Bel=10dB 单位为分贝单位为分贝(dB)*声强级声强级由于可闻声强的数量级相差悬殊，由于可闻声强的数量级相差悬殊
8、，通常用通常用声强级声强级来描述声强的强弱。来描述声强的强弱。规定声强规定声强 I0=10-12瓦瓦/米米2作为测定声强的标准作为测定声强的标准有的地方规定户外声音不得大于有的地方规定户外声音不得大于100分贝。分贝。如炮声声强如炮声声强 1瓦瓦/米米2，声强级，声强级120分贝。分贝。本讲稿第四十三页，共五十六页在两端固定长为在两端固定长为 L 的弦形成驻波的波长的弦形成驻波的波长必须满足下列条件：必须满足下列条件：二二.两端固定的弦的振动（简正模式）两端固定的弦的振动（简正模式）即弦线上形成的驻波波长、频率均不连续。即弦线上形成的驻波波长、频率均不连续。这些频率称为弦振动的这些频率称为弦振
9、动的本征频率本征频率，对应的振动方式称为对应的振动方式称为简正模式简正模式。最低的频率称为最低的频率称为基频基频，其它整倍数，其它整倍数n n频率为频率为n n次次谐频谐频。基频及各次谐频可以通过调节弦长、弦张力及线密度得到。基频及各次谐频可以通过调节弦长、弦张力及线密度得到。驻波条件驻波条件本讲稿第四十四页，共五十六页 两端固定的弦，当距一端两端固定的弦，当距一端L/n的点受击而振动时，该点为波的点受击而振动时，该点为波节的那些模式（对应于节的那些模式（对应于 n 次，次，2 n 次次.谐频谐频)就不出现，使就不出现，使演奏的音色更优美。演奏的音色更优美。系统究竟按那种模式振动，取决于初始条
10、件。弦的任一振动系统究竟按那种模式振动，取决于初始条件。弦的任一振动均可看作各次谐频振动的线性叠加。均可看作各次谐频振动的线性叠加。三、声的吸收、交混回响三、声的吸收、交混回响1、声的吸收：当声音在介质中传播时，由于介质的内摩擦力、声的吸收：当声音在介质中传播时，由于介质的内摩擦力 损耗，声强很快减小。损耗，声强很快减小。实验表明：实验表明：2、交混回响：声源停止振动后声波经过墙壁多次反射和吸收、交混回响：声源停止振动后声波经过墙壁多次反射和吸收 后才消失的现象后才消失的现象声的吸收对房屋的声学性质很重要，交混回响时间的长声的吸收对房屋的声学性质很重要，交混回响时间的长短是建筑物的重要声学性质
11、。短是建筑物的重要声学性质。本讲稿第四十五页，共五十六页一、多普勒效应：一、多普勒效应：6-9 6-9 多普勒效应多普勒效应Doppler Effect1、定义：因波源或观察者相对于媒质运动，而使、定义：因波源或观察者相对于媒质运动，而使观察者接受观察者接受 到的频率到的频率不同于不同于波源的频率波源的频率现象称为现象称为多普勒效应。多普勒效应。当波源或观察者相对于媒质运动时，三者可能互不相同。当波源或观察者相对于媒质运动时，三者可能互不相同。波源频率：波源频率：单位时间内波源振动的次数或单位时间内单位时间内波源振动的次数或单位时间内 发出的发出的 完整波完整波 的个数。的个数。观察者接受到的
12、频率：观察者接受到的频率：观察者在单位时间内接收到的振动次观察者在单位时间内接收到的振动次 数或数或完整波完整波的个数。的个数。波的频率：波的频率：单位时间内通过媒质中质元振动的频率或某点单位时间内通过媒质中质元振动的频率或某点 的的完整波完整波的数目。的数目。注意区别下面三种频率注意区别下面三种频率:例：例：当鸣笛的火车开向站台，站台上的观察者听到的笛声变尖当鸣笛的火车开向站台，站台上的观察者听到的笛声变尖 即频率升高；相反当火车离开站台，听到的笛声频率降低。即频率升高；相反当火车离开站台，听到的笛声频率降低。本讲稿第四十六页，共五十六页1、波源不动、波源不动,观察者相对于媒质以速度观察者相
13、对于媒质以速度VR 沿二者连线运动：沿二者连线运动：设波源的频率为设波源的频率为 S；波长为波长为 ；波速为波速为u。二、二、多普勒效应的多普勒效应的三种情况：三种情况：波源不动：波的频率波源不动：波的频率 等于波源的频率等于波源的频率 S。观察者接收到的频率（单位时间内接收到完整波的个数）观察者接收到的频率（单位时间内接收到完整波的个数）:观察者以速度观察者以速度VR 接近波接近波源源：单位时间内波相对于观察者传播的距离单位时间内波相对于观察者传播的距离:表明表明:观察者接近波源时接收到的频率提高。观察者接近波源时接收到的频率提高。本讲稿第四十七页，共五十六页观察者以速度观察者以速度 VR
14、离开波源离开波源 ：同理可得观察者接受到的频率：同理可得观察者接受到的频率：特例：特例：即观察者与波面同速运动，接受不到声波。即观察者与波面同速运动，接受不到声波。表明表明:观察者远离波源时接收到的频率降低。观察者远离波源时接收到的频率降低。可合写为：可合写为：频率变化原因频率变化原因:波源相对于观察者与相对于媒质的波速不同。波源相对于观察者与相对于媒质的波速不同。本讲稿第四十八页，共五十六页若若波源波源S 以速度以速度V s 接近接近观察者：观察者：2、观察者不动、观察者不动,波源相对于媒质以速度波源相对于媒质以速度Vs 沿二者连线运动：沿二者连线运动：波在媒质中的波长：波在媒质中的波长：波
15、的频率为：波的频率为：观察者不动：观察者接收到的频率观察者不动：观察者接收到的频率等于波的频率等于波的频率。波长波长:波传播时波传播时,在同一波线上两个相邻相位差为在同一波线上两个相邻相位差为2 2 的质的质 元之间的距离。元之间的距离。本讲稿第四十九页，共五十六页若若波源波源S 以速度以速度Vs 离开离开观察者观察者,则：则：表明表明:若若波源波源S 以速度以速度Vs 接近观察者，观察者接收到的频率升高。接近观察者，观察者接收到的频率升高。由于由于观察者不动，则波的频率观察者不动，则波的频率 等于观察者接收到的频率：等于观察者接收到的频率：表明表明:若若波源波源S 以速度以速度Vs 离开离开
16、观察者观察者,观察者接收到的频率降低。观察者接收到的频率降低。同理可得观察者接受到的频率：同理可得观察者接受到的频率：频率变化原因频率变化原因:媒质中的波长因波源的运动而发生变化。媒质中的波长因波源的运动而发生变化。本讲稿第五十页，共五十六页3、波源和观察者同时相对媒质运动：、波源和观察者同时相对媒质运动：当波源和观察者当波源和观察者相向运动相向运动时：时：观察者接受到的频率为：观察者接受到的频率为：当波源和观察者当波源和观察者彼此离开彼此离开时，时，观察者接受到的频率为：观察者接受到的频率为：本讲稿第五十一页，共五十六页三、冲击波：当波源速度三、冲击波：当波源速度 大于波速大于波速 时会产生
17、冲击波，这时时会产生冲击波，这时波面的包络面呈圆锥状，称为波面的包络面呈圆锥状，称为马赫锥马赫锥。空气动力学的重要参数空气动力学的重要参数锥面是波前，锥面外没有波。锥面是波前，锥面外没有波。本讲稿第五十二页，共五十六页 若波源速度超过波速若波源速度超过波速(VSu)超音速飞机会在空气超音速飞机会在空气 中激起冲击波中激起冲击波飞行速度与声速的比值飞行速度与声速的比值VS/u(称称马赫数马赫数)决定决定 角角 Su vS 冲击波带冲击波带本讲稿第五十三页，共五十六页例例题题1一一时时速速为为80km/h的的列列车车向向车车站站驶驶来来,(1)列列车车上上汽汽笛笛频频率率为为1000Hz,站站立立
18、在在站站台台上上的的旅旅客客听听到到的的汽汽笛笛的的频频率率是是多多少少?(2)若若同同样样频频率率的的汽汽笛笛在在车车站站上上鸣鸣叫叫,列列车车内内旅旅客客听听到到的的汽汽笛笛的的频频率率为为多多少少?(声声速速340m/s)解解:(1)因而车站上旅客接收到的笛声的频率为因而车站上旅客接收到的笛声的频率为:(2)列车内的旅客接收到的频率为列车内的旅客接收到的频率为:本讲稿第五十四页，共五十六页例例2 利用多普勒效应监测汽车行驶的速度利用多普勒效应监测汽车行驶的速度.一一固定波源固定波源发出发出 频率为频率为100kHz的超声波的超声波.当当汽车汽车迎着波源驶来时迎着波源驶来时.与波源与波源
19、安装在一起的安装在一起的接受器接受器接收到从汽车反射回来的超声波的接收到从汽车反射回来的超声波的 频率为频率为110KHz。已知空气中声速为已知空气中声速为 330 m/s。求：汽车行驶的速率求：汽车行驶的速率.解解:波波 源源：固定波源；静止：固定波源；静止观察者观察者：汽车；向着波源运动。速度为：汽车；向着波源运动。速度为VR 。第一步第一步:汽车汽车接收到的频率为：接收到的频率为：本讲稿第五十五页，共五十六页由此解得汽车行驶的速度为：由此解得汽车行驶的速度为：波波 源源：汽车；向着观察者运动。：汽车；向着观察者运动。汽车发出的波的频率即是它接收到的频率汽车发出的波的频率即是它接收到的频率 观察者观察者：接收器；静止。：接收器；静止。第二步第二步:作业作业:6:6 1 1、3 3、4 4、8 8、9 9、1111、1212、1616、1717本讲稿第五十六页，共五十六页