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1、双曲线定义的应用第1页，共74页，编辑于2022年，星期五要点要点疑点疑点考点考点1.双曲线的定义双曲线的定义(1)双双曲曲线线的的第第一一定定义义：平平面面内内与与两两个个定定点点F1、F2的的距距离离差差的的绝绝对值是常数对值是常数(小于小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线的点的轨迹叫做双曲线(2)双双曲曲线线的的第第二二定定义义：平平面面内内到到一一个个定定点点F的的距距离离和和到到一一条条定定直直线线l的距离比是常数的距离比是常数e(e1)的点的轨迹叫做双曲线的点的轨迹叫做双曲线2双曲线标准方程的两种形式双曲线标准方程的两种形式x2/a2-y2/b2=1,-x2/b2+y2/a2=1
2、(a、b0)分别表示中心在原点、焦点在分别表示中心在原点、焦点在x轴、轴、y轴上的双曲线轴上的双曲线第2页，共74页，编辑于2022年，星期五4双曲双曲线线的焦半径公式的焦半径公式(1)双曲双曲线线x2/a2-y2/b2=1上一点上一点P(x0，y0)的左焦半径的左焦半径为为|PF1|=|ex0+a|；右焦半径；右焦半径为为|PF2|=|ex0-a|(2)双曲双曲线线-x2/b2+y2/a2=1上一点上一点P(x0,y0)的下焦半径的下焦半径为为|PF1|=|ey0+a|，上焦半径，上焦半径为为|PF2|=|ey0-a|3双曲线的几何性质：以双曲线的几何性质：以x2/a2-y2/b2=1(a、
3、b0)表示的表示的双曲线为例，其几何性质如下：双曲线为例，其几何性质如下：(1)范围：范围：x-a，或，或xa(2)关于关于x轴、轴、y轴、原点对称，轴、原点对称，(3)两顶点是两顶点是(a,0)(4)离心离心率率e=c/a(1,+).c=a2+b2(5)渐近线方程为渐近线方程为y=bx/a，准线，准线方程是方程是x=a2/c5双曲双曲线线x2/a2-y2/b2=1的的渐渐近近线线方程方程为为x2/a2-y2/b2=0；双曲；双曲线线x2/a2-y2/b2=1的共的共轭轭双曲双曲线为线为x2/a2-y2/b2=-1.第3页，共74页，编辑于2022年，星期五课课 前前 热热 身身1.1.已知已
4、知F1(-3F1(-3，0)0)，F2(3F2(3，0)0)，满足条件，满足条件PF1PF1-PF2PF2=2m-1=2m-1的动点的动点P P的轨迹是双曲线的一的轨迹是双曲线的一 支，有下列数据：支，有下列数据：22；-1-1；44；-3.-3.则则m m可可以是以是()()(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D)A2.O12.O1与与O2O2的半径分别为的半径分别为1 1和和2 2，O1O2O1O2=4,=4,动圆与动圆与O1O1内切而与内切而与O2O2外切，则动圆圆心外切，则动圆圆心 轨迹是轨迹是()()A A椭圆椭圆 B B抛物线抛物线 C C双曲线双曲线 D D双曲线的一支双
5、曲线的一支D第4页，共74页，编辑于2022年，星期五3.证明：双曲线上任意一点到两渐近线证明：双曲线上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值。的距离的乘积是一个定值。4.设等轴双曲线设等轴双曲线x2-y2=a2的中心为的中心为O，两个焦点分别为两个焦点分别为F1、F2。若。若P为双曲线为双曲线上任意一点，求证：上任意一点，求证：|PF1|、|PO|、|PF2|成等比数列。成等比数列。第5页，共74页，编辑于2022年，星期五xyOlF例例1：点点M(x,y)与定点与定点F(c,0)的距离和它到定直线的距离和它到定直线 的距离比是常数的距离比是常数 (ca0)，求点，求点M的轨迹的轨迹.M解
6、：解：设点设点M(x,y)到到l的距离为的距离为d，则，则即即化简得化简得(c2a2)x2 a2y2=a2(c2 a2)设设c2a2=b2，(a0,b0)故点故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线的双曲线.b2x2a2y2=a2b2即即就可化为就可化为:M点M的轨迹也包括双曲线的左支.第6页，共74页，编辑于2022年，星期五双曲线的第二定义双曲线的第二定义 平面内，若平面内，若定点定点F不在定直线不在定直线l上，则到定点上，则到定点F的距离与的距离与到定直线到定直线l的距离比为常数的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是的点的轨迹是双曲线双曲线。定点定点F是
7、是双曲线的焦点双曲线的焦点，定直线叫做，定直线叫做双曲线的准双曲线的准线线，常数，常数e是是双曲线的离心率双曲线的离心率.对于双曲线对于双曲线是相应于右焦点是相应于右焦点F(c,0)的的右准线右准线类似于椭圆类似于椭圆是相应于左焦点是相应于左焦点F(-c,0)的的左准线左准线xyoFlMFl点点M到左焦点与左准线的距到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义离之比也满足第二定义.第7页，共74页，编辑于2022年，星期五想一想：想一想：中心在原点，中心在原点，焦点在焦点在y轴上的双曲线轴上的双曲线的准线方程是怎样的的准线方程是怎样的？xyoF相应于上焦点相应于上焦点F(c,0)的是的是上准线上准
8、线相应于下焦点相应于下焦点F(-c,0)的是的是下准线下准线F第8页，共74页，编辑于2022年，星期五C第9页，共74页，编辑于2022年，星期五思考题：已知双曲线的焦点为思考题：已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上，双曲线上一点一点P到到F1、F2的距离的差的绝对值等于的距离的差的绝对值等于6，求双曲线，求双曲线的标准方程的标准方程.若双曲线上有一点，若双曲线上有一点，且且|F1|=10,则则|F2|=_4或或16第10页，共74页，编辑于2022年，星期五例例2。(满分满分4分分)给给出出问题问题：F1、F2是双曲是双曲线线 的的焦点，点焦点，点P在双曲在双曲线线
9、上若点上若点P到焦点到焦点F1的距离等于的距离等于9，求点，求点P到焦点到焦点F2的距离某学生的解答如下：双曲的距离某学生的解答如下：双曲线线的的实轴长为实轴长为8，由，由|PF1|PF2|8，即，即|9|PF2|8，得，得|PF2|1或或17.该该学生的解答是否正确？若正确，学生的解答是否正确？若正确，请请将他的解将他的解题题依据填在下面横依据填在下面横线线上，若不正确，将正确上，若不正确，将正确结结果填在下面横果填在下面横线线上上 .第11页，共74页，编辑于2022年，星期五答案：该学生回答不正确，应为|PF2|17解：易知P与F1在y轴的同侧，|PF2|PF1|2a，|PF2|17.第
10、12页，共74页，编辑于2022年，星期五解解析析：本本小小题题主主要要考考查查双双曲曲线线的的概概念念与与性性质质等等基基础础知知识识，以以及及考生分析问题的能力和思维的深刻性考生分析问题的能力和思维的深刻性因因为为双双曲曲线线上上的的点点到到焦焦点点的的最最短短距距离离为为双双曲曲线线顶顶点点到到对对应焦点的距离，即应焦点的距离，即 ca，所以，所以|PF2|642.故故|PF2|1应该舍去应该舍去答案：答案：|PF2|17 第13页，共74页，编辑于2022年，星期五二、双曲线第一定义的应用二、双曲线第一定义的应用靠近点靠近点靠近点靠近点C C的一支的一支的一支的一支靠近点靠近点靠近点靠
11、近点C C的一支的一支的一支的一支,且且且且A A、B B、C C三点不能共线三点不能共线三点不能共线三点不能共线第14页，共74页，编辑于2022年，星期五F1F2P PQ QOO11右准线右准线右准线右准线L L三、双曲线第二定义的应用三、双曲线第二定义的应用G GHHD D拓展拓展拓展拓展第15页，共74页，编辑于2022年，星期五F1F2四、双曲线第一、二定义合用四、双曲线第一、二定义合用第16页，共74页，编辑于2022年，星期五PPF1F2A A第17页，共74页，编辑于2022年，星期五PPF1F2A A第18页，共74页，编辑于2022年，星期五要点探究第19页，共74页，编辑
12、于2022年，星期五第20页，共74页，编辑于2022年，星期五第21页，共74页，编辑于2022年，星期五第22页，共74页，编辑于2022年，星期五第23页，共74页，编辑于2022年，星期五第24页，共74页，编辑于2022年，星期五第25页，共74页，编辑于2022年，星期五第26页，共74页，编辑于2022年，星期五第27页，共74页，编辑于2022年，星期五第28页，共74页，编辑于2022年，星期五例1已知定点A(0,7)、B(0，7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程分析：设F(x，y)，利用A、B在以C、F为焦点的椭圆上，可建立动点F与定
13、点A、B、C的关系式，利用|AC|、|BC|，得到|FA|与|FB|的关系，再依据定义或直接法可求出轨迹方程第29页，共74页，编辑于2022年，星期五解析：设F(x，y)，因为A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，所以|FA|CA|2a，|FB|CB|2a(其中a表示椭圆的长半轴)所以|FA|CA|FB|CB|.所以|FA|FB|CB|CA|第30页，共74页，编辑于2022年，星期五(2008长沙一中月考七)已知双曲线在左支上一点M到右焦点F1的距离为18，N是线段MF1的中点，O为坐标原点，则|ON|等于()A4B2C1 D.答案：A第31页，共74页，编辑于2022年，星期五解析：数形结
14、合，ON=|MF1|MF2|2a10，|MF2|8，|ON|4，故选A.第32页，共74页，编辑于2022年，星期五第33页，共74页，编辑于2022年，星期五（1）双曲线）双曲线 的两的两个焦点个焦点F1，F2，A是双曲线上的一是双曲线上的一点，且点，且|AF1|=8，则，则|AF2|=_.（2）双曲线）双曲线 的过焦点的过焦点F1的弦的弦AB长为长为m（A，B在在同一支上），另一焦点为同一支上），另一焦点为F2，则，则ABF2的周长为的周长为_.第34页，共74页，编辑于2022年，星期五答案A 第35页，共74页，编辑于2022年，星期五第36页，共74页，编辑于2022年，星期五点评：
15、圆锥曲线的定义是主要考查目标之一，当涉及圆锥曲线的焦半径时，常考虑应用定义解决，请再练习下题：第37页，共74页，编辑于2022年，星期五例例2、证明：证明：P说明：说明：|PF1|,|PF2|称为双曲线的焦半径称为双曲线的焦半径.y.F2F1O.x第38页，共74页，编辑于2022年，星期五例例3.在双曲在双曲线线x2/13-y2/12=-1的一支上有不同的三点的一支上有不同的三点A(x1,y1),B(x2,6),C(x3,y3),它它们们与与焦焦点点F(0，5)的的距距离离成成等等差差数数列列(1)求求y1+y3；(2)求求证线证线段段AC的垂直平分的垂直平分线经过线经过一定点一定点【解解
16、题题回回顾顾】过过焦焦点点的的弦弦或或半半径径使使用用双双曲曲线线的的第第二二定定义义进进行行转转化化或使用焦半径公式可或使用焦半径公式可简简化运算化运算第39页，共74页，编辑于2022年，星期五设双曲设双曲线线的右支上有的右支上有A、B、C三个不同的点，三个不同的点，若若A、B、C关于右焦点的三条焦半径关于右焦点的三条焦半径成等差数列，则它们的横坐标成等差数列，则它们的横坐标xA、xB、xC之间的关系是之间的关系是_.第40页，共74页，编辑于2022年，星期五例例4：已知双曲线已知双曲线 的左、右焦点为的左、右焦点为F1，F2，点，点P在在双曲线上，双曲线上，F1PF2=，求，求F1PF
17、2的面积。的面积。第41页，共74页，编辑于2022年，星期五第42页，共74页，编辑于2022年，星期五第43页，共74页，编辑于2022年，星期五第44页，共74页，编辑于2022年，星期五第45页，共74页，编辑于2022年，星期五第46页，共74页，编辑于2022年，星期五第47页，共74页，编辑于2022年，星期五第48页，共74页，编辑于2022年，星期五第49页，共74页，编辑于2022年，星期五在双曲线在双曲线 上任取一点上任取一点P 与双曲线两焦点与双曲线两焦点构成构成 的内切圆与的内切圆与 的切点坐标。的切点坐标。第50页，共74页，编辑于2022年，星期五第51页，共74
18、页，编辑于2022年，星期五例例6、已知双曲线已知双曲线F1、F2是它的左、右焦点是它的左、右焦点.设点设点A(9,2),在曲线上求点在曲线上求点M，使，使 的值最小的值最小,并求这个最小值并求这个最小值.xyoF2MA由已知：由已知：解：解：a=4,b=3,c=5,双曲线的右准线为双曲线的右准线为l:作作MNl,AA1l,垂足分别是垂足分别是N,A1,NA1当且仅当当且仅当M是是 AA1与双曲线的交点时取等号与双曲线的交点时取等号,令令y=2,解得解得:第52页，共74页，编辑于2022年，星期五解：解：动圆动圆M与圆与圆O1可能外切也可能内切可能外切也可能内切M的轨迹是以的轨迹是以O1（-
19、2，0）、）、A（2，0）为焦点的双曲）为焦点的双曲线线例例6：第53页，共74页，编辑于2022年，星期五解：解：设动圆圆心为设动圆圆心为M（x，y），半径为），半径为rM的轨迹是以的轨迹是以O1（5，0）、）、O2（-5，0）为焦点的双曲线的）为焦点的双曲线的右支右支第54页，共74页，编辑于2022年，星期五解：解：|BC|AC|=4|AB|=8点点B的轨迹为的轨迹为A、B为焦点的为焦点的双曲线的左支双曲线的左支且且2a=4,2c=8,顶点顶点C的轨迹方程为的轨迹方程为y212x24=1(x2)令令y=0得得 x=22本题也可直接用坐标表示本题也可直接用坐标表示第55页，共74页，编辑于
20、2022年，星期五例9已知定点A(0,7)、B(0，7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程分析：设F(x，y)，利用A、B在以C、F为焦点的椭圆上，可建立动点F与定点A、B、C的关系式，利用|AC|、|BC|，得到|FA|与|FB|的关系，再依据定义或直接法可求出轨迹方程第56页，共74页，编辑于2022年，星期五解析：设F(x，y)，因为A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，所以|FA|CA|2a，|FB|CB|2a(其中a表示椭圆的长半轴)所以|FA|CA|FB|CB|.所以|FA|FB|CB|CA|第57页，共74页，编辑于2022年，星期五定义法求轨
21、迹的基本步骤：定义法求轨迹的基本步骤：1.用几何方法论证动点的轨迹是某种圆锥曲线用几何方法论证动点的轨迹是某种圆锥曲线.2.根据已知坐标判定该曲线的方程是标准方程根据已知坐标判定该曲线的方程是标准方程.3.算出标准方程中所需的数据算出标准方程中所需的数据.4.写出方程，注意范围写出方程，注意范围.第58页，共74页，编辑于2022年，星期五第59页，共74页，编辑于2022年，星期五解：解：（1）由）由A、B两处听到爆炸声的时间差为两处听到爆炸声的时间差为4 s，可知，可知A、B两两处与爆炸点的距离的差为处与爆炸点的距离的差为4v（v为声速），因此爆炸点应位于为声速），因此爆炸点应位于以以A、
22、B为焦点的双曲线上。为焦点的双曲线上。因为爆炸点离因为爆炸点离A处比离处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上。处的一支上。.（2）建系如图，设爆炸点）建系如图，设爆炸点 P(x，y)，则，则|PA|-|PB|=3404=1360第60页，共74页，编辑于2022年，星期五.想一想：想一想：如果如果A、B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上？什么样的曲线上？P答：爆炸点应在线段答：爆炸点应在线段AB的中垂线上。的中垂线上。故所求双曲线方程为：故所求双曲线方程为：第61页，共74页，编辑于2022年，星期五例例11：某
23、工程要挖一个横截面某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路只能沿道路AP，BP运到运到P处处（如图），（如图），PA=100m，PB=150m，APB=60，试说，试说明怎样运土才能最省工。明怎样运土才能最省工。第62页，共74页，编辑于2022年，星期五第63页，共74页，编辑于2022年，星期五第64页，共74页，编辑于2022年，星期五（4）已知）已知F1、F2为双曲线为双曲线 的焦点，弦的焦点，弦MN过过F1且且M,N在同一支上，若在同一支上，若|MN|=7,求求MF2N的周长的周长.F2F1MNxyo（5）双曲线）双曲线 的过焦点的过焦点F1
24、的弦的弦MN长为长为m（A，B在同一支在同一支上），另一焦点为上），另一焦点为F2，则，则MNF2的周长为的周长为_.F2F1MN第65页，共74页，编辑于2022年，星期五思考：已知双曲线思考：已知双曲线16x2-9y2=144 求焦点的坐标；求焦点的坐标；设设P为双曲线上一点，且为双曲线上一点，且|PF1|PF2|=32，求，求 ；设设P为双曲线上一点，且为双曲线上一点，且 F1PF2=120，求，求 .第66页，共74页，编辑于2022年，星期五(6)已知椭圆已知椭圆 与双曲线与双曲线 有相同的交点有相同的交点F1、F2，P为两条曲线的交点，求为两条曲线的交点，求|PF1|PF2|的值的
25、值.F1F2Pm-a2第67页，共74页，编辑于2022年，星期五返回2.已已知知双双曲曲线线x2/a2-y2/b2=1的的离离心心率率e1+2，左左、右右焦焦点点分分别别为为F1，F2，左左准准线线为为l，能能否否在在双双曲曲线线的的左左支支上上找找到到一一点点P，使得，使得|PF1|是是P到到l 的距离的距离d与与|PF2|的等比中项的等比中项?【解解题题回回顾顾】1e1+2是是双双曲曲线线x2/a2-y2/b2=1，左左支支上上存存在在P点点，使使|PF1|2=|PF2|d成成立立的的充充要要条条件件，例例如如双双曲曲线线x2/20-y2/25=1的离心率的离心率e=3/21+2，则这样
26、的，则这样的P点一定存在点一定存在第68页，共74页，编辑于2022年，星期五第69页，共74页，编辑于2022年，星期五 椭圆 双曲线标准方程x2/a2+y2/b2=1(ab0)x2/a2-y2/b2=1(a0、b0)几何 图形 范围|x|a、|y|b x a 或 x -a对称性中心对称，轴对称 中心对称，轴对称顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0-b),B2(0,b)A1(-a,0)、A2(a,0)a,b,c的含义a2=b2+c2c2=a2+b2离心率e定义0e1通径、通径长2b2/a2b2/aB2B1yxA2A1 0F1F2yF2B1A2A1B2 0 xF1X=aX=-a第70页，共74页，编辑于2022年，星期五第71页，共74页，编辑于2022年，星期五学学林林探探路路贵贵涉涉远远,无无人人迹迹处处有有奇奇观观。第72页，共74页，编辑于2022年，星期五会当凌绝顶，一览众山小。会当凌绝顶，一览众山小。第73页，共74页，编辑于2022年，星期五第74页，共74页，编辑于2022年，星期五