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1、讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题,导出贝塞尔方程；讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解的性质。稳恒状态圆域上热传导问题欧拉方程。瞬时状态圆域上热传导问题贝塞尔方程。第1页/共45页5.1 5.1 贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入 第2页/共45页5.1 贝塞尔方程的引入 设有半径为 R 的薄圆盘，其侧面绝缘，边界上温度始终保持为零，且初始温度已知，求圆盘的温度分布规律。可归结为求解如下定解问题第3页/共45页令 ，代入方程得 进而得齐次偏微分方程化为两个微分方程:它的解为(1)5.1 5.1 贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入第4页/共45页(2)亥姆霍兹方程(Helmholtz)由边界条件，
2、可知 在极坐标系下，问题可以写成 5.1 5.1 贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入第5页/共45页再次分离变量,令 ,代入化简得 引入参数 分解5.1 5.1 贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入第6页/共45页本征值 ，将 代入另一方程得n 阶贝塞尔方程.结合自然周期条件，得本征值问题本征函数5.1 5.1 贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入第7页/共45页由条件 得由温度是有限的，得原问题就转化为求贝塞尔方程在条件 下的特征值和特征函数.做代换 ,并记考虑贝塞尔方程5.1 5.1 贝塞尔方程的引入贝塞尔方程的引入第8页/共45页n阶贝塞尔方程的标准形式.方程转化为5.1 5.1 贝塞尔方程的引入
3、贝塞尔方程的引入第9页/共45页5.2 5.2 贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解第10页/共45页5.2 5.2 贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解 用 x 表示自变量,y=y(x)表示未知函数,则n阶贝塞尔方程为其中n为任意实数或者复数,我们仅讨论 的情形.假定方程有如下形式的级数解：其中 为常数。第11页/共45页逐项求导,有代入方程确定系数 和 ：比较系数得5.2 5.2 贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解第12页/共45页取c=n由选取由得因此5.2 5.2 贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解第13页/共45页这样，得到方程的一个特解称 为 阶第一类贝塞尔函数(n=0).5.2 5.2 贝塞
4、尔方程的求解贝塞尔方程的求解第14页/共45页取指标得方程的另一特解 当 n 不为整数时,和 线性无关所以方程的通解可以表示为 结论：结论：5.2 5.2 贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解第15页/共45页如果选取得到称 为 n 阶第二类贝塞尔函数或者牛曼函数,方程的通解也可表示为当 n 不为整数时,和 线性无关5.2 5.2 贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解第16页/共45页当m,n为整数时，有GammaGamma函数的定义与性质函数的定义与性质 第17页/共45页5.3 5.3 n为整数时贝塞尔方程的通解为整数时贝塞尔方程的通解 第18页/共45页5.3 5.3 n n为整数时贝塞尔方程的
5、通解为整数时贝塞尔方程的通解(1)由得（）取n=N,在中,由于mN时，所以级数从m=N开始第19页/共45页所以，当n为整数时,与 线性相关此时定义第二类贝塞尔函数为 不为整数.可以证明 和 线性无关，通解可写为5.3 5.3 n n 为整数时贝塞尔方程的通解为整数时贝塞尔方程的通解第20页/共45页其中C为欧拉常数 C =0.5772165.3 5.3 n n 为整数时贝塞尔方程的通解为整数时贝塞尔方程的通解第21页/共45页5.4 5.4 贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式第22页/共45页5.4 5.4 贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式建立不同阶的贝塞尔函数之间递推公式.首
6、先考虑零阶和一阶贝塞尔函数之间关系.分别令 及 得:微分 J0 的第 2k+2 项（）所以第23页/共45页则又5.4 5.4 贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式第24页/共45页一般的,有上面两式左边的导数求出来,并经过化简,则得5.4 5.4 贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式第25页/共45页分别消去 和 ,可以得到两式相加减贝塞尔函数的递推公式若知道的值,就可以求出进而得到任意正整数阶贝塞尔函数的值.5.4 5.4 贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式第26页/共45页对于第二类贝塞尔函数,也有相应的递推公式.5.4 5.4 贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式第2
7、7页/共45页例例5.4 5.4 n n 为整数时贝塞尔方程的通解为整数时贝塞尔方程的通解第28页/共45页例 求不定积分 .解 由 ，可得5.4 5.4 贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式第29页/共45页5.5 5.5 函数展成贝塞尔函数的级数函数展成贝塞尔函数的级数第30页/共45页5.5 5.5 函数展成贝塞尔函数的级数函数展成贝塞尔函数的级数 在本章开始，我们从薄圆盘温度分布的定解问题中，导出了贝塞尔方程的特征值问题：方程的通解为由于 ,由条件 知 ,从而为了求出特征值问题,必须判明 的零点是否存在,分布情形如何由可得:第31页/共45页贝塞尔函数的零点的结论：贝塞尔函数的零点
8、的结论：(1)Jn(x)有无穷多个单重实零点,这些零点在x 轴上关于原点对称分布,因而Jn(x)有无穷多个正的零点;(2)Jn(x)的零点和 Jn+1(x)的零点是彼此相间分布.(3)设 ()为 的正零点,则有 5.5 5.5 函数展成贝塞尔函数的级数函数展成贝塞尔函数的级数第32页/共45页与这些特征值相应的特征函数为 的解为5.5 5.5 函数展成贝塞尔函数的级数函数展成贝塞尔函数的级数第33页/共45页贝塞尔函数的正交性 的正平方根称为函数 的模值.的正交性讨论 n 阶贝塞尔函数序列 (m=1,2)在区间(0,R)上带权 r 正交,即结论结论5.5 5.5 函数展成贝塞尔函数的级数函数展
9、成贝塞尔函数的级数第34页/共45页结论结论2.2.在区间，R上具有一阶连续导数以及分段连续的二阶导数的函数 f(r),如果在 r=0 处有界,在 r=R 处等于零,则它必可以展开为如下形式的一致收敛的级数：其中5.5 5.5 函数展成贝塞尔函数的级数函数展成贝塞尔函数的级数第35页/共45页.6.6 应用举例应用举例第36页/共45页例例1 1 设有半径为1 的薄均匀圆盘，其侧面绝缘，边界上的温度始终保持为零度，初始圆盘内温度分布为1-r2，其中 r 为圆盘内任一点的极半径，求圆盘的温度分布规律。分析:由于是在圆域内求解问题,故采用极坐标.考虑到定解条件和 无关,所以温度 只能是 和 的函数
10、.应用举例应用举例第37页/共45页解:问题可归结为求下列定解问题:设由于 和 无关,可以化简为问题.应用举例应用举例第38页/共45页由物理意义,且当 时,解(1)(1)得：,因为 时,.(1).(2)令代入方程得所以 ,令 ,即.应用举例应用举例第39页/共45页(2)(2)为零阶非标准的贝塞尔方程,通解为由 的有界性,可以知道 ,由条件 得 ,即 是 的零点.用 (n=1,2=1,2)表示 的正零点,综合以上结果可得:.应用举例应用举例第40页/共45页从而由叠加原理,可得原问题的解为.应用举例应用举例第41页/共45页由初始边界条件得故.应用举例应用举例第42页/共45页因为所以.应用举例应用举例第43页/共45页从而所求定解问题的解为其中 是 的正零点.应用举例应用举例第44页/共45页感谢您的观看！第45页/共45页