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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 第五章 贝塞尔函数我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物5.1 5.1 贝塞尔方程贝塞尔方程 在利用分离变量法求解其它偏微分方程的定解问题时，会在利用分离变量法求解其它偏微分方程的定解问题时，会导出其它形式的常微分方程的边值问题，从而得到各种各样的坐导出其它形式的常微分方程的边值问题，从而得到各种各样的坐标函数标函数-特殊函数特殊函数。如贝塞尔函数、勒让德多项式
2、等。如贝塞尔函数、勒让德多项式等我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 在在2.32.3节分析了圆域内的二维拉谱拉斯方程的定解，温度是稳定分节分析了圆域内的二维拉谱拉斯方程的定解，温度是稳定分布，与时间没有关系。布，与时间没有关系。分离变量分离变量 在极坐标系中：在极坐标系中： 02202221100r ruuurrrrrruf( , )( )( )u rR r2110RRRrr 化简引入常量化简引入常量22220 xyRuuf200r RrRR 欧拉方程欧拉方程我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的
3、东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物5.1.1 5.1.1 贝塞尔方程的导出贝塞尔方程的导出 假设半径为假设半径为R R的圆形薄盘，上下面绝热，圆盘边界上的温度的圆形薄盘，上下面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零度，且初始温度已知，求圆盘内温度的分布规律。始终保持为零度，且初始温度已知，求圆盘内温度的分布规律。 由于温度是不是稳定分布，而是瞬时分布，即可表示这由于温度是不是稳定分布，而是瞬时分布，即可表示这222200,xxyytxyRtauuuuux y我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里
4、呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物分离变量分离变量( , , , )( , ) ( )u x y z tV x y T t化简引入常量化简引入常量200 xxyyVVVTa THelmholtz方程 (5.5)222221100r RVVVVrrrrV为了求为了求Helmholtz方程方程 (5.5)，可在极坐标中进行求解，可在极坐标中进行求解(5.7)(5.8)解：解： 采用分离变量采用分离变量我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物再次分离变量再次分离变量( , )(
5、 ) ( )V rF r G2100FFFrrGG (5.9) (5.10) 由于温度函数由于温度函数u(x,y,t)u(x,y,t)是单值的，所以是单值的，所以v(x,y)v(x,y)也是单值，因此也是单值，因此 应是以应是以2 2 为周期的函数。因此，为周期的函数。因此， , ,方程方程(5.10)(5.10)的解为：的解为：( )G2n01( )2Ga2( )cossinnnGanbn我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2210nFFFrr2n将将 代入代入(5.9)(5.9)式得到式得到
6、(5.11)n阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程xr令令 ，记，记F(r)=y(x)F(r)=y(x)，则，则(5.11)(5.11)转化为：转化为：2220 x yxyxny(5.12)贝塞尔方程贝塞尔方程 0F 由于圆盘上的温度是有限的，如圆心。因此，由于圆盘上的温度是有限的，如圆心。因此， , ,结合边界条结合边界条件，件，(5.11)(5.11)式可定义为求解以下定解问题。式可定义为求解以下定解问题。2220r FrFrnF 00F RF (5.12)为二阶变系数常为二阶变系数常 微分方程，其解称贝塞尔函数或柱函数微分方程，其解称贝塞尔函数或柱函数我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把
7、它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2220 x yxyxny(5.12)贝塞尔方程求解贝塞尔方程(5.12)，假设如下幂级数解： 000s kkky xa xa(5.13)将(5.13)代回贝塞尔方程(5.12)，整理得到：2222101222210sss kkkksna xsna xsknaax我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物故有：故有：由于由于 ，可得，可得 , ,需要分别讨论：需要分别讨论：00a 12snsn 2202212220
8、100kksnasnasknaa(5.14)(5.15)(5.16)情形情形1 1：n n不为整数和半奇数，则不为整数和半奇数，则s s1 1-s-s2 2=2n=2n也不为整数。取也不为整数。取s s1 1=n=n代代入入(5.15)式得到式得到a1=0,代入代入(5.16)式得到：式得到：213502kkaaaaaknk(5.17)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 212012!1nmmnmnmxyxmnxmJ(5.18)J Jn n(x)(x)称为称为n n阶第一类贝塞尔函数阶第一类贝
9、塞尔函数将所求的系数代回将所求的系数代回(5.13)(5.13)式得到式得到第一个特解第一个特解202112!12mmmaam nnnm 引入引入 函数并利用其递推式：函数并利用其递推式： ，则一般项的系，则一般项的系数变为：数变为： 1nnn 202112!1mmmaamnm 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物取取s s2 2=-n=-n时时：0121nan 222012!1nmmnnmmxyxJxmnm (5.19)可以得到方程可以得到方程另一个特解另一个特解J J-n-n(x)(x)称为
10、称为-n-n阶第一类贝塞尔函数阶第一类贝塞尔函数我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物Y Yn n(x)(x)称为称为n n阶第二类贝塞尔函数，诺伊曼函数阶第二类贝塞尔函数，诺伊曼函数Jn(x) 和和J-n(x)线性无关，故贝塞尔方程线性无关，故贝塞尔方程(5.12)的通解可表的通解可表示为：示为： nny xJxAxBJ(5.20)cot,cscAnBn 令 ，则 (5.20)可写成 cossinnnnJxnJxYxn(5.21)第二个线性无关特解贝塞尔方程贝塞尔方程(5.12)(5.12)的通
11、解可表示为：的通解可表示为： nny xJxCDYx(5.22)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物情形情形2 2：n n为整数，则为整数，则s s1 1-s-s2 2=2n=2n也为整数。与前面相同处理，当也为整数。与前面相同处理，当n=0n=0时，方程的一个解为：时，方程的一个解为： 22012!nmnmmnmJxmnmx(5.23) 22012!1nmmnmmnxmnJmx 1nnnJxJx cosilims naananJxaJxYxa(5.21)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，
12、为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 可见，不论可见，不论n n是不明为整数，贝塞尔方程是不明为整数，贝塞尔方程(5.12)(5.12)的通解都可的通解都可以表示为：以表示为： nny xJxCDYx情形情形3 3：n n为半奇数后面讨论。为半奇数后面讨论。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物05101520-0.500.51Jn（x）我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我
13、的猜测没有错：表里边有一个活的生物05101520-35-30-25-20-15-10-505Yn（x）我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物0246810012345Kn（x）我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物0246810050010001500200025003000In（x）我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：
14、表里边有一个活的生物 22012!1nmmnmmnxnxmmJ(5.18)5.2 5.2 贝塞尔函数的递推式贝塞尔函数的递推式 1nnnndx Jxx Jxdx 由(5.18)式可以得到第一类贝塞尔函数递推式： 1nnnndxJxxJxdx 1nnnJxJx 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 112nnnnJxJxJxx 112nnnJxJxJx 1nnnndx Nxx Nxdx 1nnnndxNxxNxdx 第二类贝塞尔函数 112nnnnNxNxNxx 112nnnNxNxNx我吓了一跳
15、，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物半奇数阶贝塞尔函数 122012sin32!2mnmmxxxmxmJ 122cosxxJx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物246810-0.4-0.20.20.40.60.8150JJ 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物5.1.2.虚宗量贝塞耳方程虚宗量贝塞耳方程 阶
16、虚宗量贝塞耳方程n22222()0d RdRxxxnRdxdxix22222()0d RdRnRdd220( )( 1)()!(1)2nkknknkixJknk220()!(1)2nknnkkixiknk201( )( )( )! (1) 2nnknnkxIxiJixknk定义：201( )()!(1)2nnknkxJiknk201( )( )( )! (1) 2nnknnkxIxi Jixknk通解：)()()(2211xICxICxy我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物5.3 5.3 贝塞尔
17、函数展开为级数贝塞尔函数展开为级数由于圆盘上温度的定解问题可表示：由于圆盘上温度的定解问题可表示： 22200,0r FrFrnF rF RF 贝塞尔方程贝塞尔方程(5.32)(5.32)的通解可表示为：的通解可表示为： nny xJxYCDx(5.32)(5.33)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物0nJR(5.34)由于由于(5.34)(5.34)式可知：当式可知：当 取不同值时，取不同值时，J Jn n(x)(x)有零值有零值, ,即即贝塞尔贝塞尔函数的零点函数的零点。由于由于 为无穷大
18、，由边界条件可以得到为无穷大，由边界条件可以得到D=0D=0，再利用另一，再利用另一个条件可以得到：个条件可以得到： 0nY1. J1. Jn n(x)(x)有无穷多个零点有无穷多个零点, ,关于原点对称分布。关于原点对称分布。2. J2. Jn n(x)(x)的零点和的零点和J Jn+1n+1(x)(x)的零点是彼此相间分布，且的零点是彼此相间分布，且J Jn n(x)(x)的零的零点更靠近坐标原点。点更靠近坐标原点。3. 3. 当当x x趋于无穷大时，趋于无穷大时，J Jn n(x)(x)两个零点之间的距离接近于两个零点之间的距离接近于。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放
19、在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物05101520-0.500.51J0(x)J1(x)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物利用上述关于贝塞尔函数的零点的结论，可设贝塞尔函数的零点的结论，可设 为为Jn(x)的正零点，则由（的正零点，则由（5.34）可得：）可得： 1,2,nmmL 1,2,nmRmL即即 21,2,nnmmmRL与这些固有值相对应的函数F可表示为： 1,2,nmmnFrJrmRL我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它
20、放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二、正交关系二、正交关系贝塞耳方程是施图姆刘维尔本征值方程：贝塞耳方程是施图姆刘维尔本征值方程：0222RRmdRddxdmn在区间在区间(0,R)(0,R)上带权上带权r r正交：正交： 00nnRmknnrJr Jr drmkRR我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物三三 贝塞耳函数的模贝塞耳函数的模定义积分：定义积分： 200nRmnrJr drR的平方根，为贝塞尔函数的平方根，为贝塞尔函数 的模：的模：
21、nmnJrR 222102nRnmnnmRrJr drJR我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物四四 傅立叶傅立叶-贝塞耳级数贝塞耳级数在求解贝塞耳方程时，往往要把已知函数在求解贝塞耳方程时，往往要把已知函数按贝塞耳函数按贝塞耳函数展开为级数。展开为级数。如果如果f(r)为定义在区间为定义在区间(0,R)内的分段连续函数，且积分内的分段连续函数，且积分 的值有限，则它必可以展开为以下级数形式：的值有限，则它必可以展开为以下级数形式： 120Rrf r dr 1nmmnmf rC JrR(5.42)性质：性质：1. 在级数在级数f(r)的连续点的连续点(5.42)收敛于收敛于f(r); 2. 在级数在级数f(r)的间断点的间断点r0收敛于该点的左右极限平均值。收敛于该点的左右极限平均值。 傅立叶傅立叶- -贝塞耳级数贝塞耳级数我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 02212nRmnmnnmr frJrdrRCRJ(5.43)系数系数Cm可以由下式确定：可以由下式确定：傅立叶傅立叶- -贝塞耳系数贝塞耳系数