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1、 第五章 贝塞尔函数5.1 5.1 贝塞尔方程贝塞尔方程 在利用分离变量法求解其它偏微分方程的定解问题时，会导在利用分离变量法求解其它偏微分方程的定解问题时，会导出其它形式的常微分方程的边值问题，从而得到各种各样的坐标出其它形式的常微分方程的边值问题，从而得到各种各样的坐标函数函数-特殊函数特殊函数。如贝塞尔函数、勒让德多项式等。如贝塞尔函数、勒让德多项式等 在在2.32.3节分析了圆域内的二维拉谱拉斯方程的定解，温度是稳定分节分析了圆域内的二维拉谱拉斯方程的定解，温度是稳定分布，与时间没有关系。布，与时间没有关系。分离变量分离变量 在极坐标系中：在极坐标系中：化简引入常量化简引入常量 欧拉方
2、程欧拉方程5.1.1 5.1.1 贝塞尔方程的导出贝塞尔方程的导出 假设半径为假设半径为R R的圆形薄盘，上下面绝热，圆盘边界上的温度的圆形薄盘，上下面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零度，且初始温度已知，求圆盘内温度的分布规律。始终保持为零度，且初始温度已知，求圆盘内温度的分布规律。由于温度是不是稳定分布，而是瞬时分布，即可表示这由于温度是不是稳定分布，而是瞬时分布，即可表示这分离变量分离变量化简引入常量化简引入常量Helmholtz方程 (5.5)为了求为了求Helmholtz方程方程(5.5)，可在极坐标中进行求解，可在极坐标中进行求解(5.7)(5.8)解：解：采用分离变量采用分离变量
3、再次分离变量再次分离变量 (5.9)(5.10)由于温度函数由于温度函数u(x,y,t)u(x,y,t)是单值的，所以是单值的，所以v(x,y)v(x,y)也是单值，因此也是单值，因此 应是以应是以2 2 为周期的函数。因此，为周期的函数。因此，,方程方程(5.10)(5.10)的解为：的解为：将将 代入代入(5.9)(5.9)式得到式得到(5.11)n阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程令令 ，记，记F(r)=y(x)F(r)=y(x)，则，则(5.11)(5.11)转化为：转化为：(5.12)贝塞尔方程贝塞尔方程由于圆盘上的温度是有限的，如圆心。因此，由于圆盘上的温度是有限的，如圆心。因此，,结合边界
4、条结合边界条件，件，(5.11)(5.11)式可定义为求解以下定解问题。式可定义为求解以下定解问题。(5.12)为二阶变系数常为二阶变系数常 微分方程，其解称贝塞尔函数或柱函数微分方程，其解称贝塞尔函数或柱函数(5.12)贝塞尔方程求解贝塞尔方程(5.12)，假设如下幂级数解：(5.13)将(5.13)代回贝塞尔方程(5.12)，整理得到：故有：故有：由于由于 ，可得，可得 ,需要分别讨论：需要分别讨论：(5.14)(5.15)(5.16)情形情形1 1：n n不为整数和半奇数，则不为整数和半奇数，则s s1 1-s-s2 2=2n=2n也不为整数。取也不为整数。取s s1 1=n=n代代入入
5、(5.15)式得到式得到a1=0,代入代入(5.16)式得到：式得到：(5.17)(5.18)J Jn n(x)(x)称为称为n n阶第一类贝塞尔函数阶第一类贝塞尔函数将所求的系数代回将所求的系数代回(5.13)(5.13)式得到式得到第一个特解第一个特解引入引入 函数并利用其递推式：函数并利用其递推式：，则一般项的系，则一般项的系数变为：数变为：取取s s2 2=-n=-n时时：(5.19)可以得到方程可以得到方程另一个特解另一个特解J J-n-n(x)(x)称为称为-n-n阶第一类贝塞尔函数阶第一类贝塞尔函数Y Yn n(x)(x)称为称为n n阶第二类贝塞尔函数，诺伊曼函数阶第二类贝塞尔
6、函数，诺伊曼函数Jn(x)和和J-n(x)线性无关，故贝塞尔方程线性无关，故贝塞尔方程(5.12)的通解可表的通解可表示为：示为：(5.20)令 ，则 (5.20)可写成(5.21)第二个线性无关特解贝塞尔方程贝塞尔方程(5.12)(5.12)的通解可表示为：的通解可表示为：(5.22)情形情形2 2：n n为整数，则为整数，则s s1 1-s-s2 2=2n=2n也为整数。与前面相同处理，当也为整数。与前面相同处理，当n=0n=0时，方程的一个解为：时，方程的一个解为：(5.23)(5.21)可见，不论可见，不论n n是不明为整数，贝塞尔方程是不明为整数，贝塞尔方程(5.12)(5.12)的
7、通解都可的通解都可以表示为：以表示为：情形情形3 3：n n为半奇数后面讨论。为半奇数后面讨论。Jn（x）Yn（x）Kn（x）In（x）(5.18)5.2 5.2 贝塞尔函数的递推式贝塞尔函数的递推式由(5.18)式可以得到第一类贝塞尔函数递推式：第二类贝塞尔函数半奇数阶贝塞尔函数5.1.2.虚宗量贝塞耳方程虚宗量贝塞耳方程 阶虚宗量贝塞耳方程定义：通解：5.3 5.3 贝塞尔函数展开为级数贝塞尔函数展开为级数由于圆盘上温度的定解问题可表示：由于圆盘上温度的定解问题可表示：贝塞尔方程贝塞尔方程(5.32)(5.32)的通解可表示为：的通解可表示为：(5.32)(5.33)(5.34)由于由于(
8、5.34)(5.34)式可知：当式可知：当 取不同值时，取不同值时，J Jn n(x)(x)有零值有零值,即即贝塞尔贝塞尔函数的零点函数的零点。由于由于 为无穷大，由边界条件可以得到为无穷大，由边界条件可以得到D=0D=0，再利用另一，再利用另一个条件可以得到：个条件可以得到：1.J1.Jn n(x)(x)有无穷多个零点有无穷多个零点,关于原点对称分布。关于原点对称分布。2.J2.Jn n(x)(x)的零点和的零点和J Jn+1n+1(x)(x)的零点是彼此相间分布，且的零点是彼此相间分布，且J Jn n(x)(x)的零的零点更靠近坐标原点。点更靠近坐标原点。3.3.当当x x趋于无穷大时，趋
9、于无穷大时，J Jn n(x)(x)两个零点之间的距离接近于两个零点之间的距离接近于。J0(x)J1(x)利用上述关于贝塞尔函数的零点的结论，可设贝塞尔函数的零点的结论，可设 为为Jn(x)的正零点，则由（的正零点，则由（5.34）可得：）可得：即即与这些固有值相对应的函数F可表示为：二、正交关系二、正交关系贝塞耳方程是施图姆刘维尔本征值方程：贝塞耳方程是施图姆刘维尔本征值方程：在区间在区间(0,R)(0,R)上带权上带权r r正交：正交：三三 贝塞耳函数的模贝塞耳函数的模定义积分：定义积分：的平方根，为贝塞尔函数的平方根，为贝塞尔函数 的模：的模：四四 傅立叶傅立叶-贝塞耳级数贝塞耳级数在求
10、解贝塞耳方程时，往往要把已知函数在求解贝塞耳方程时，往往要把已知函数按贝塞耳函数按贝塞耳函数展开为级数。展开为级数。如果如果f(r)为定义在区间为定义在区间(0,R)内的分段连续函数，且积分内的分段连续函数，且积分 的值有限，则它必可以展开为以下级数形式：的值有限，则它必可以展开为以下级数形式：(5.42)性质：性质：1.在级数在级数f(r)的连续点的连续点(5.42)收敛于收敛于f(r);2.在级数在级数f(r)的间断点的间断点r0收敛于该点的左右极限平均值。收敛于该点的左右极限平均值。傅立叶傅立叶-贝塞耳级数贝塞耳级数(5.43)系数系数Cm可以由下式确定：可以由下式确定：傅立叶傅立叶-贝塞耳系数贝塞耳系数