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1、第第1章章 数字电路基础知识数字电路基础知识 1.1 数制与码制数制与码制 1.2 逻辑代数基础逻辑代数基础1.1 数制与码制数制与码制 数制是进位计数制的简称，即构成若干位数码中某一位的方法和高低位之间的进（借）位规则。1.1.1 十进制数 1.1.2 二进制数 1.1.3 八进制数和十六进制数 1.1.4 进位计数制之间的转换1.1.5 BCD码1.1 数制与码制数制与码制 1.1.6 ASCII码 1.1.7 其他码1.1.8 算术运算1.1.1 十进制数十进制数 (Decimal Number)十进制的基数为10，它的计数原则是：逢十进一，借一当十。十进制数的按权展开式，ND=7164
2、.8 ND=7164.8=7103+1102+6101+4100+810-1 任一个十进制数ND=an-1an-2a2a1a0a-1a-m，均可以按权展开写作：说明ai为十进制数码中第i位的值，可以是09中的任何一个；10i为第i位的权，也叫位权；10为进位的基数，也就是基本计数符号的个数；n、m均为正整数，分别是整数部分和小数部分的位数；下标D表示十进制数，也可以用数字10表示。任一进制J的数均可以表示为：ai为J进制数码中第i位的值；Ji为第i位的权；J为基数；n、m均为正整数，分别是整数部分和小数部分的位数 1.1.2 二进制数二进制数 (Binary Number)二进制数采用0和1两
3、个数码，其基数是2，其计数原则为：逢二进一，借一当二。任何一个二进制数均可以表示为：1.1.3 八进制数和十六进制数八进制数和十六进制数(Octal Number And Hexadecimal Number)八进制数的计数规则为：逢八进一、借一当八。任何一个八进制数均可以表示为：十六进制数计数规则为：逢十六进一、借一当十六。任何一个十六进制数均可以表示为：【例例11】将下列数码分别按权展开。(1)715.406D (2)100.0001B (3)645.17O (4)92A.E4H解解715.406D=7102+1101+5100+410-1+010-2+610-3100.0001B=122
4、+021+020+02-1+02-2+02-3+12-4645.17O=682+481+580+18-1+78-292A.E4H=9162+2161+A160+E16-1+416-2 =9162+2161+10160+1416-1+416-21.1.4 进位计数制之间的转换进位计数制之间的转换1.任意非十进制数转换成十进制数：按权展开并计算出结任意非十进制数转换成十进制数：按权展开并计算出结果即可。果即可。【例例12】将下列数码分别转换成十进制数。将下列数码分别转换成十进制数。(1)110.1011B (2)417.35O (3)9B.CFH 解解 110.1011B=122+121+020+
5、12-1+02-2+12-3+12-4=6.6875D417.35O=482+181+780+38-1+58-2=313.453125D9B.CF H=9161+B160+C16-1+F16-2 =9161+11160+1216-1+1516-2=155.8085937D2.十进制数转换为二进制数十进制数转换为二进制数(1)整数部分的转换。整数部分的转换采用除2取余法。【例例13】将168D和35D分别转换为二进制数。168D=10101001B 36D=100100B(2)小数部分的转换。小数部分的转换采用乘2取整法。【例例14】将0.875D和0.645D转换为相应的二进制数。（若小数部分
6、不能精确转换，要求最多保留小数点后4位）0.875D=0.111B 0.645D 0.1010B【例例15】将169.875D转换为二进制数 解解 分别采用除2取余法和乘2取整法对整数和小数部分进行转换。根据【例例13】和【例例14】的转换结果，可以得到：169.875D=169+0.875=10101001+0.111=10101001.111B注意：二进制数转换为十进制数时，可以完整的进行转换；而十进制数转换为二进制数时，有时不能完全转换，只能达到一定的精度。3.二进制数与八、十六进制数之间的转换二进制数与八、十六进制数之间的转换(1)二进制数和八进制数的转换。将欲转换二进制数的整数部分从
7、右向左、每三位一组，最后不足三位时左面用零补齐；小数部分从左向右、每三位一组，最后不足三位时右面用零补齐。最后将一组三位二进制数对应的八进制数写出即可。将八进制数转换为二进制数时，只需将每位八进制数用对应的三位二进制数写出即可。(2)二进制数和十六进制数的转换。将欲转换的二进制数的整数部分从右向左、每四位一组，最后不足四位时左面用零补齐；小数部分从左向右、每四位一组，最后不足四位时右面用零补齐。最后将一组四位的二进制数所对应的十六进制数写出即可。将十六进制数转换为二进制数时，只需将每位十六进制数用对应的四位二进制数写出即可。【例例16】完成下面二进制数和八进制数之间的转换。（1）1010101
8、.1011011B=?O （2）315.47O=?B解解 按照转换方法,1100110.0111001B与对应的八进制数之间的关系为：001 010 101 .101 101 100 1 2 5 .5 5 4 所以,1010101.1011011B=125.554O 按照转换方法,315.47O与对应的二进制数之间的关系为：3 1 5 .4 7 011 001 101 .100 111 所以，315.47O=11001101.100111B【例例17】完成下面二进制数和十六进制数之间的转换。（1）11010100101.10011B=?H（2）B58.EDH=?B解解 按照转换方法，11010
9、100101.10011B与对应十六进制数之间的关系为：0110 1010 0101 .1001 1000 6 A 5 .9 8 所以，11010100101.10011B=6A5.98H 按照转换方法，B58.EDH与对应的二进制数之间的关系为：B 5 8 .E D 1011 0101 1000 .1110 1101 所以，B58.EDH=101101011000.11101101B 1.1.5 BCD码码在数字电路中，0和1不仅可以代表二进制数的两个数码，而且还可按照规律排列表示特定的信息。此时0和1不再带有数量的含义，而是不同事物的代号，称之为代码(Code)。一定的代码有一定的规则，这
10、些规则称为码制。如果把十进制数的十个数码09用二进制代码来表示，称之为二十进制编码，即BCD(Binary Coded Decimal)编码。常用的8421码、2421码、5421码、余3码等。前三种属于有权编码，后一种属于无权编码。有权BCD码中，十进制数(N)D与二十进制编码(a3a2a1a0)BCD的关系可以表示为：(N)D=w3a3+w2a2+w1a1+w0a0 w3w0为二进制各位的权重。有权BCD码1.8421码码 8421码是码是BCD码中使用最多的一码中使用最多的一种码，是一种有权码。表示的种码，是一种有权码。表示的十进制数为：十进制数为：(N)D=8a3+4a2+2a1+1a
11、0【例例1.8】将将53D用用8421码表示。码表示。解解 53D=0101 00118421BCD【例例1.9】将将0111010000108421BCD用十进制数表示。用十进制数表示。解解 0111010000108421BCD=742D 2.2421码码2421码也是一种有权码，其表示码也是一种有权码，其表示的十进制数为：的十进制数为：(N)D=2a3+4a2+2a1+1a02421码的特点是具有对码的特点是具有对9的自补的自补特性，是一种对特性，是一种对9的自补代码。的自补代码。【例例18】将53D和19.28D分别用8421码表示。解解 53D=0101 00118421BCD 19
12、.28D=0001 1001.0010 10008421BCD【例例19】将0111 0100 0010 8421BCD、0011 0111.0101 0100 8421BCD分别用十进制数表示。解解 0111 0100 0010 8421BCD=742D 0011 0111.0101 0100 8421BCD=37.54D1.1.6 ASCII码编码可以表示数值，也可以表示其他符号。编码可以表示数值，也可以表示其他符号。ASCII码是美国信息交换标准代码的简称，采码是美国信息交换标准代码的简称，采用用7位二进制编码格式、共有位二进制编码格式、共有128种不同编码，种不同编码，分别表示十进制字
13、符、英文字母、基本运算字分别表示十进制字符、英文字母、基本运算字符、控制符、其他符号。如表符、控制符、其他符号。如表1.6所示。所示。表中，具有表中，具有96个图形字符：个图形字符：26个英文大写、小个英文大写、小写字母；写字母；10个数字符号；个数字符号；34个专用符号。此外个专用符号。此外还有还有32个控制字符。合计个控制字符。合计128个字符。个字符。计算机键盘一般采用计算机键盘一般采用ASCII码。例如：按下码。例如：按下A键，键盘送出键，键盘送出1000001。1.1.7其它码1.余余3码码 余余3码也是利用四位二进码也是利用四位二进制数表示一位十进制数。制数表示一位十进制数。它是在
14、相应的它是在相应的8421码基码基础上加础上加0011得到的，因得到的，因此叫做余此叫做余3码。它也是码。它也是一种对一种对9的自补代码，的自补代码，但各位没有固定的权值，但各位没有固定的权值，是一种无权码。是一种无权码。2.余余3循环码循环码余余3循环码也是一种无权循环码也是一种无权码，特点是两个相邻码码，特点是两个相邻码之间只有一位不同。之间只有一位不同。3.格雷（格雷（Gray）码与奇偶校验码）码与奇偶校验码格雷码是一种无权码，也称作循环码、反射循环码。特点是两个相邻码之间只有一位不同。当按顺序对数码进行排列时，相邻数码只有一位发生变化，可以降低误码率，提高数码可靠性。二进制数码信息在传
15、输过程中，有时会出现传输错误。奇偶校验码具有检查错码的能力。它有两部分组成：一是若干位信息码(需传送的信息)；二是一位校验码。校验位的取值(0或1)将使包括信息码和校验码在内的整个代码所包含1的个数为奇数或偶数：1的个数为奇数，称为奇校验码；1的个数为偶数，称为偶校验码。1.2 逻辑代数逻辑代数(Logic Algebra)基础基础逻辑代数又叫布尔(Boolean)代数或开关代数，是由英国数学家乔治布尔(George Boole)1847年首先创立的。逻辑代数与普通代数都是由字母来代替变量，但逻辑代数与普通代数的概念不同，它不表示数量大小之间的关系，而是描述客观事物一般逻辑关系的一种数学方法，
16、是分析与设计数字系统的数学基础。逻辑代数有三种基本的运算与、或、非。1.2.1 基本逻辑运算基本逻辑运算(Basic Logic Operations)1.与运算（与运算（AND Logic Operations）将开关将开关A、B的状态作为因，将灯的状态作为因，将灯F的状态作为果，下图描述的状态作为果，下图描述的逻辑关系就是逻辑与的关系：只有当决定事件发生的所有的逻辑关系就是逻辑与的关系：只有当决定事件发生的所有条件均具备时，事件才发生；否则事件不会发生。条件均具备时，事件才发生；否则事件不会发生。1.与运算（与运算（AND Logic Operations）状态赋值:如果用1、0分别表示开
17、关的通、断和灯的亮、灭；用字母A、B及F表示开关(因)和灯(果)的状态，将图1.1(b)表示为图1.1(c)。用字母和符号1，0表示事件条件与结果全部可能情况的过程。真值表(Truth Table):由字母和符号1,0组成、经过赋值的表格。逻辑符号:表示逻辑运算的图形符号，称作逻辑运算图形符号。与逻辑表达式为：F=AB 与运算的运算规则可以归纳为：“有有0出出0，全，全1为为1”。2或运算或运算(OR Logic Operations)将开关将开关A、B的状态作为因，将灯的状态作为因，将灯F的状态作为果，下图描述的的状态作为果，下图描述的逻辑关系就是逻辑或的关系：逻辑关系就是逻辑或的关系：只要
18、决定事件发生的条件具备一只要决定事件发生的条件具备一个或一个以上时，事件就发生；只有当决定事件发生的所有条个或一个以上时，事件就发生；只有当决定事件发生的所有条件均不具备时，事件才不会发生。件均不具备时，事件才不会发生。或逻辑表达式为：F=A+B或运算的运算规则可以归纳为：“全全0出出0，有，有1为为1”。3.非运算（非运算（NOT Logic Operations）将开关将开关A的状态作为因，将灯的状态作为因，将灯F的状态作为果，下图描述的的状态作为果，下图描述的逻辑关系就是逻辑非的关系：逻辑关系就是逻辑非的关系：某条件具备时，事件不发生；某条件具备时，事件不发生；该条件不具备时，事件会发生
19、。该条件不具备时，事件会发生。非逻辑表达式为：非逻辑表达式为：非运算的运算规则可以归纳为：非运算的运算规则可以归纳为：“有有0出出1，是，是1为为0”。4.复合逻辑运算复合逻辑运算(Compound Logic Operations)复合逻辑指由与、或、非三种基本逻辑关系组合而成的逻辑关系。常见的复合逻辑运算主要包括：与非、或非、与或非、异或、同或等。(1)与非逻辑(NAND Logic)。与非运算的运算规则可以归纳为：“有有0出出1，全，全1为为0”。(2)或非逻辑(NOR Logic)。或非运算的运算规则可以归纳为：“全全0出出1，有，有1为为0”。(3)与或非逻辑。(4)异或运算(XOR
20、 Logic)。以两输入异或运算为例，当两个输入不同时，输出为1；两个输入相同时，输出为0。异或逻辑表达式为：(5)同或运算(XNOR Logic)。以两输入同或运算为例，当两个输入不同时，输出为0；两个输入相同时，输出为1。同或逻辑表达式为：F=AB=异或、同或逻辑的逻辑运算符号如下 1.2.2 逻辑函数逻辑函数(Logic Function)概述概述数字电路中，用来实现各种逻辑运算的电子电路，称作逻辑门(Logic Gate)电路。各种逻辑运算的图形符号，同时作为相应门电路的图形符号。门电路还有常用符号举例 数字电路主要由各种门电路构成，分别用A1，A2，An代表电路的输入信号，称作输入逻
21、辑变量；F 代表电路的输出信号，称作输出逻辑变量。当输入逻辑变量A1，A2，An 的值确定以后，输出逻辑变量F的值就唯一的确定下来，称输出逻辑变量F是输入逻辑变量A1，A2，An 的逻辑函数，并表示为：F=f(A1，A2，An)逻辑函数常用的描述方法有五种：逻辑函数表达式、逻辑函数真值表、逻辑图、卡诺图、波形图。（1）逻辑函数表达式是描述输入逻辑变量和输出逻辑变量之间逻辑函数关系的代数式。函数表达式常用的有两种形式：a.与或表达式(SOP Form)。函数表达式包含若干个与项，与项中的变量分别以原变量或反变量的形式出现，各个与项以或的形式连接起来，构成函数的与或表达式。如：b.或与表达式(PO
22、S Form)。函数表达式包含若干个或项，或项中的变量分别以原变量或反变量的形式出现，各个或项以与的形式连接起来，构成函数的或与表达式。如：（2）如前所述，由字母和符号1、0组成，经过赋值的，描述输入逻辑变量取值及相应输出逻辑变量取值的表格，称作真值表。逻辑函数的真值表具有唯一性。（3）实现逻辑函数的电原理图，称为逻辑图。它由逻辑门电路图形符号和连线构成。【例例117】列出函数F=AB+C的真值表，画出相应逻辑图。解解 函数F=A+BC的真值表与逻辑图如下所示。输入逻辑变量 输出逻辑变量 ABCF00000011010001101000101111011111【例例1.18】逻辑函数F的真值表
23、见表所示，根据真值表写出函数F的表达式，画出逻辑图。解解 根据真值表写出表达式的方法为：将真值表中函数值F(输出逻辑变量)为1的行对应的输入逻辑变量组合取出，变量值为1的输入变量以原变量形式出现，变量值为0的输入变量以反变量形式出现；同一组合中的输入变量(一行)构成一个与项，再把若干与项相或，便由真值表得到逻辑函数的与或表达式。所以：输入逻辑变量 输出逻辑变量 ABF001010100111【例例1.19】逻辑函数F的逻辑图如图所示，写出F的表达式，并列出真值表。解解 根据电路图中门的连接方式和门的功能得到相应的逻辑函数表达式为 输入逻辑变量 输出逻辑变量 ABCF00010010010001
24、1010001010110011111.2.3 逻辑代数基本定律与规则逻辑代数基本定律与规则1逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律定律名称 定律内容 01律 A0=0 A+1=1 自等律 A1=A A+0=A 重叠律 AA=A A+A=A 互补律 A =0 A+=1 交换律 AB=BA A+B=B+A 结合律 A(B C)=(AB)C A+(B+C)=(A+B)+C 分配律 A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)吸收律 A(A+B)=A A+AB=A 反演律 =+=还原律 =A 2逻辑代数的常用公式逻辑代数的常用公式注意冗余项的概念注意冗余项的概念公式公式1 AB+A =A(
25、A+B)(A+)=A 公式公式2A+B=A+B A(+B)=AB 公式公式3 AB+C=(A+C)(+B)(A+B)(+C)=AC+B 公式公式4 公式公式5 公式公式6 3逻辑代数的三个法则逻辑代数的三个法则（1）代入法则。在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边所有出现某一变量的地方，代之以一个逻辑函数，则此等式仍然成立。【例例1.13】已知等式 ，将函数F（C,D）=C+D 代替原等式中的变量B，证明等式仍然成立。证明证明 将F（C,D）=CD代入原等式：等式左边=等式右边=等式左边 等式成立。（2）反演法则。根据原函数求反函数的过程叫反演。对于任一逻辑函数F，求其反函数时，只需将F中所有的
26、原变量变为反变量，反变量变为原变量；“”变为“+”，“+”变为“”；0变为1，1变为0，就得到反函数 。注意事项：一是保证原运算顺序，即运算的优先顺序为：括号内的逻辑运算、逻辑与、逻辑或；二是非单个变量上的非号应保持不变。【例例123】利用反演法则，求逻辑函数F的反函数。（1）F1=A(B+C)+CD （2）解解 利用反演法则可直接写出函数F的反函数 F1=A(B+C)+CD（3）对偶法则。对于任一逻辑函数F，将F中的“”变为“+”，“+”变为“”；0变为1，1变为0；变量保持不变，得到一个新的逻辑函数F，称其为函数F的对偶函数或对偶式。若两个逻辑函数相等，则它们各自的对偶函数也相等。这就是对
27、偶法则 在求函数对偶式的过程中，同样应注意保持原函数的运算顺序不变；非单个变量上的非号应保持不变。【例例1.24】利用对偶法则，求逻辑函数F的对偶函数（1）F1=A(B+C)+CD （2）解解（1）F1=A(B+C)+CD （2）1.2.4 逻辑函数标准表达式逻辑函数标准表达式逻辑函数的常用表示形式还有“与非与非”式、“或非或非”式、“与或非”式等。具体表示如下：“与非与非”式，如：“或非或非”式，如：“与或非”式，如：函数不同表示形式之间的转换见【例例116】1.标准标准“与与或或”表达式表达式最小项之和表达最小项之和表达式式最小项(minterm)，是指包含逻辑函数中所有变量的一个与项，其
28、中每个变量仅以原变量或反变量的形式出现一次，也称作标准与项。一个逻辑函数可以用最小项之和的形式表示，称为函数的最小项之和表达式，即标准与或表达式。如：F(A,B,C)=ABC+BC+AB 是函数的最小项之和表达式，而Y(A,B,C)=ABC+AC+B不是函数的最小项之和表达式。对于n变量的逻辑函数来说，有2n个最小项。在一个函数的标准表达式中，可能包含所有的最小项，也可能只包含部分最小项。为方便表示，一般用mi表示第i个最小项：在输入变量顺序确定后，将某一最小项中的原变量记为1，反变量记为0，由此形成一个二进制数，此二进制数对应的十进制数即为i 在知道最小项编号的情况下，可以方便的写出它的变量
29、表达式。使用最小项时应注意的问题 逻辑函数的最小项之和表达式是唯一的，就象一个逻辑函数真值表是唯一的一样。任何逻辑函数的表达式都可以写成最小项之和表达式的形式。逻辑函数的真值表和最小项表达式之间可以直接相互转换。【例例1.25】三变量逻辑函数F(A,B,C)的真值表如下所示，试写出其最小项之和的标准形式。输入逻辑变量输出逻辑变量输入逻辑变量输出逻辑变量ABCFABCF00011000001110110100110001111110解解 构成函数最小项的变量取值组合，所对应的函数值为1。由上表可知：当ABC取值为000、001、011、101时，F为1。所以，该函数最小项之和表达式为：【例例1.
30、27】三变量逻辑函数 ，写出其最小项之和的标准形式。解解 除使用列真值表的方法外，还可以使用下述方法求出函数最小项之和的标准形式求函数的最小项之和表达式时，首先将函数变换成与或表达形式，然后使用“配项法”，即若某一与项缺少一变量x，则在该与项中填加 项，再利用上述方法展开、合并即可。2.标准标准“或或与与”表达式表达式最大项之积表达最大项之积表达式式最大项，是指包含逻辑函数中所有变量的一个或项，其中每个变量仅以原变量或反变量的形式出现一次，也称作标准或项。一个逻辑函数可以用最大项之积的形式表示，称为函数的最大项之积表达式，即标准或与表达式。用Mi表示最大项 使用最大项应注意的问题 一个逻辑函数
31、同时存在两种标准表达式：最小项之和表达式与最大项之积表达式。最小项给出函数值为1时的变量取值组合，最大项给出函数值为0时的变量取值组合。对同一函数：1.2.5 逻辑函数的化简逻辑函数的化简1公式化简法公式化简法 使用逻辑代数的基本定律和常用公式对函数使用逻辑代数的基本定律和常用公式对函数进行化简的方法。主要包括进行化简的方法。主要包括:(1)并项法。并项法。应用应用 (2)配项法。配项法。应用应用 (3)加项法。加项法。应用应用 (4)吸收法。吸收法。应用应用 公式化简法举例(1)并项法并项法 (2)配项法配项法(3)加项法。加项法。(4)吸收法吸收法对于或-与函数,应利用对偶法则化简函数【例
32、例1.32】化简函数 解解 2卡诺图（卡诺图（Karnaugh map）化简法）化简法 当逻辑函数的变量个数较少(不超过5个)时，卡诺图化简法是化简逻辑函数的有效工具。(1)卡诺图。卡诺图是逻辑函数真值表的一种图形表示形式。2、3、4、5变量卡诺图结构如图所示。画卡诺图时的注意事项:方格序号习惯上将行变量作为高位组，列变量作为低位组；行、列变量的取值顺序按照循环码的编码顺序排列；卡诺图方格的几何相邻与对称相邻。用卡诺图表示逻辑函数的步骤 a.函数标准式的填入。b.函数非标准式的填入。举例如下:卡诺图化简逻辑函数的步骤:a.根据逻辑函数填充卡诺图；b.找出可以合并的最小项（或最大项）圈围卡诺圈；
33、c.写出最简“与或”（或“或与”）表达式。圈围卡诺圈应注意的问题：a.“1”（或“0”）格允许被一个以上的圈包围；b.“1”（或“0”）格不能漏圈；c.圈的个数要尽量少；d.圈的面积尽量大，但必须为2n个方格；e.每个圈至少包括一个未被圈围过的“1”（或“0”）格。否则这个圈是多余的。【例例1.33】卡诺图法化简逻辑函数 。解 作出三变量函数的卡诺图，并根据具体函数填入，如下图。按照规则，对填“1”的方格进行圈圈，得到化简结果为【例例1.34】化简函数F(A,B,C)=m(1,2,3,4,5,6)解解 逻辑函数F的卡诺图如图(a)所示。可以采用两种圈法进行圈围，如图(b)、(c)所示。对两种圈
34、法分别进行化简，可得：此例说明，对函数进行化简，圈围的卡诺圈不同，结果不同。即函数表达式形式不具备唯一性。【例例1.37】卡诺图法化简逻辑函数解 逻辑函数F的卡诺图如下图(a)所示。分别按圈“1”法和圈“0”法圈卡诺圈，如图(b)、(c)所示。对两种圈法分别进行化简，可得：3.具有无关项的逻辑函数化简具有无关项的逻辑函数化简约束，具有约束的变量，约束项的概念。用约束条件描述约束，用一个使函数所有约束项之和恒等于0的表达式表示约束条件。任意项的概念。约束项和任意项统称为逻辑函数的无关项。含无关项逻辑函数的常用表示方法。【例例1.40】化简函数F(A,B,C,D)=m(5,6,7,8,9)+m(10,11,12,13,14,15)解解 由函数式填卡诺图如图(a)所示。如果不考虑无关项(即将其对应的最小项看作0)，卡诺图的圈围见图(b)所示；若从化简结果更加简单的角度出发考虑，可将所有无关项看作1参与化简，见图(c)所示。分别得到化简结果如下：