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1、第1章数字电路基础第1页，共56页，编辑于2022年，星期日第1章数字电路基础1.1数字与码制1.2逻辑代数基础1.3逻辑函数的表示方法及相互转换1.4逻辑函数的代数化简法1.5逻辑函数的卡诺图化简法第2页，共56页，编辑于2022年，星期日 第第1 1章章 数字电路基础数字电路基础 用电子电路来研究数字量问题即为数字电路。数字量需要表示、变换、化简，这将决定数字电路的形式及使用。本章讨论数字电路的基础问题，包括计数体制，逻辑代数及化简。1.1数制与码制数制与码制 1.1.11.1.1数制数制 数制即指计数的方法。日常生活中经常使用的有十进制、二十四进制及六十进制等。数字电路还经常使用二进制、
2、八进制及十六进制。第3页，共56页，编辑于2022年，星期日 进制是日常生活中常用的计数体制。每一位的系数可以是、中的一个，计数的基数是，超过的数用多位数表示，其相邻的低位和高位间的关系是“逢十进一”。故称为十进。任意一个十进制数可展开为：(1-1)1.十进制式中是位的系数，它可以是十个数码中的任何一个，i称为位的权，0i称为第i位的权系数。第4页，共56页，编辑于2022年，星期日若以代替式（1-1）中的10,则可得到任意进制数的展开式:(1-2)式中Ki为第i的系数,N为计数基数,Ni为第i的权,KiNi为第i位的加权系数,故任意进制数的数值等于各加权系数之和。第5页，共56页，编辑于20
3、22年，星期日2.二进制二进制 在二进制中，每位有0和1两个数码，计数基数为2，相邻低位和高位的进位关系是“逢二进一”。故称为二进制，其加权系数展开式为：(1-3)例如；（1101.11）2=123+122+021+120+12-1+12-2=(13.75)10上式中用下标2和10表示括号里的二进制数及十进制数。第6页，共56页，编辑于2022年，星期日 3.八进制 八进制数中，每一位可以是0中的每个数码，计数基数是，超过要用多位数表示，相邻低位与高位的进位关系是“逢八进一”。故称为八进制。其加权系数展开式为：（1-4）例如:(132.4)8=182+381+280+48-1=(90.5)第7
4、页，共56页，编辑于2022年，星期日 4.十六进制 在十六进制中，每一位有十六个不同的数码，分别用、A（10）、B（11）、C（12）、D（13）、E（14）、F（15）表示，计数基数是，超过的要用多位数表示，相邻的低位和高位的进位关系是“逢十六进一”，故称十六进制，其加权系数展开式为：（1-5）由此式可计算出它所表示的十进制数值，例如：（）3161+15160+816-1+1216-2=(63.546875)10 第8页，共56页，编辑于2022年，星期日 1.1.2 1.1.2 数制数制转换 .二十进制转换 把二进制数转换成等值的十进制数称为二十进制转换。转换时只要按加权系数式展开，再把
5、各项的数值相加即为十进制数。例如：（）（）第9页，共56页，编辑于2022年，星期日 2.十十二进制转换二进制转换 指将十进制数转换成等到值的二进制数。可分为整数部分和小数部分转换两种情形。对整数部分可采用连除法，即所谓“除取余作系数，从低位到高位”的方法。小数部分的转换可采用连乘法，即所谓“乘取整作系数，从高位到低位”的方法。第10页，共56页，编辑于2022年，星期日例如，将（）化为二进制数：故（）（）第11页，共56页，编辑于2022年，星期日例如，将（）转换为二进制数。所以有（）（）第12页，共56页，编辑于2022年，星期日 .其他进制十进制转换 可将其他进制数按加权系数展开式展开，
6、得到的即为等效的十进制数。.二十六进制转换 若将二进制数转换成等值的十六进制数，只要从低位到高位将位二进制数分为一组，代之以等值的十六进制数，得到的即为十六进制数。例如，将（）2化为十六进制数：第13页，共56页，编辑于2022年，星期日 5.十六进制转换 若将十六进制转换成等值二进制，只需将十六进制每一位用等值的位二进制数代替即可。例如：（）转换为二进制数第14页，共56页，编辑于2022年，星期日 1.1.3 1.1.3 码制制 码制是指用二进制数表示数字符的编码方法。例如用位二进制数码表示一位十制数的这十个状态，使其可在数字电路中运行时，有很多种不同的码制，见表1.1所示。通常将用位二进
7、制码表示十进制的编码方法叫做二十进制码，简称为码。第15页，共56页，编辑于2022年，星期日第16页，共56页，编辑于2022年，星期日.逻辑代数基础逻辑代数基础1.2.1 1.2.1 逻辑变量与量与逻辑函数函数 年，英国数学家乔治布尔（GeorgeBoole）布尔代数,称为开关代数或逻辑代数。逻辑代数中，也用字母来表示变量，这种变量叫做逻辑变量。逻辑变量的取值只有和两个，这时和不再表示数量的大小，只表示两种不同的逻辑状态。如和0只表示是和非、开和关、高和低等。在研究事件的因果变化关系时，决定事件变化的因素称为逻辑自变量，而与之对应的事件的结果称为逻辑结果，以某种形式表示的逻辑自变量与逻辑结
8、果之间的函数关系称为逻辑函数。第17页，共56页，编辑于2022年，星期日1.2.21.2.2基本基本逻辑运算运算 基本的逻辑关系有三种，即逻辑与、逻辑或、逻辑非；与之相对，在逻辑代数中，基本的逻辑运算也有三种：与运算、或运算、非运算。第18页，共56页，编辑于2022年，星期日 （a）图表示只有决定事件结果的全部条件均具备时结果才发生，这种逻辑关系叫逻辑与、与逻辑或逻辑相乘。若把开关的闭合作为条件，把灯泡的亮暗作为结果，那么三图代表的逻辑关系如下：第19页，共56页，编辑于2022年，星期日 (b)图表示决定事件的所有条件中只要一个满足，结果就能发生，这种逻辑关系叫逻辑或、或逻辑、或逻辑相加
9、。(c)图表示决定事件的条件满足时，结果便不会发生，而条件不具备时，结果反而会发生，这种逻辑关系叫逻辑非、非逻辑或逻辑求反。第20页，共56页，编辑于2022年，星期日 若以、来表示逻辑自变量，表示逻辑因变量，、取时表示开关断开，取表示开关闭合；取表示灯泡熄灭，取表示灯泡亮，即可列出因变量与自变量之间变化关系的图表，这种图表称为逻辑真值表。第21页，共56页，编辑于2022年，星期日 将上述三种基本逻辑运算的逻辑自变量与逻辑因变量之间的关系表示成逻辑函数的形式为：与逻辑运算或逻辑运算 非逻辑运算 式中的“”表示与运算，“”表示或运算，变量上面的“”表示非运算。同时，把实现与逻辑运算的单元电路叫
10、与门，把实现或逻辑运算的单元电路叫或门，实现非逻辑运算的单元电路叫非门。第22页，共56页，编辑于2022年，星期日 与、或、非逻辑运算不仅可以用逻辑函数的形式来表示，还用图形符号来表示，这些图形符号不仅可以表示有关的逻辑运算，还可表示相应的门电路。第23页，共56页，编辑于2022年，星期日 1.2.3 1.2.3 组合合逻辑运算运算 在实际的问题中，事件的因果关系往往比单一的与、或、非要复杂得多，不过它们均可用与、或、非组合来实现。我们将含有两个或以上基本逻辑的逻辑函数关系式称为组合逻辑函数。通常组合逻辑函数包含与非、或非、与或非、异或等。第24页，共56页，编辑于2022年，星期日第25
11、页，共56页，编辑于2022年，星期日图13 组合逻辑函数的图形符号第26页，共56页，编辑于2022年，星期日1.2.4逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律第27页，共56页，编辑于2022年，星期日1.2.5 逻辑代数常用公式和基本规则逻辑代数常用公式和基本规则 1.常用公式（1）A+AB=A (1-6)证明：A+AB=A（1+B）=A1=A（2）A+AB=A+B (1-7)证明：A+AB=（A+A）（A+B）=1（A+B）=A+B（3）AB+AB=A (1-8)证明：AB+AB=A（B+B）=A1=A第28页，共56页，编辑于2022年，星期日（4）A(A+B)=A (1-9)证明：A（
12、A+B）=AA+AB=A(1+B)=A1=A 证明:AB+AC+BC=AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B)=AB1+AC1 =AB+AC（5）AB+AC+BC=AB+AC (1-10)第29页，共56页，编辑于2022年，星期日 2基本规则 （1）代入规律 将等式两边的同一个逻辑变量均以一个逻辑函数取代之，则等式仍然成立，这一规则称为代入规则。利用代入规则，可将前面所讲过的基本定律和常用公式推广，撑握这些推广的形式，对逻辑函数化简非常有用。（2）反演规则 对于任意一个逻辑函数式Y，若将其中所有的“”换成“+”，“+”换成“”，0换成1，1换成
13、0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，得到的函数式就是Y，这就是反演规则。利用反演规则可非常方便地求反函数Y第30页，共56页，编辑于2022年，星期日 (3)对偶规则 对于任意一个逻辑函数式Y，若将其中的“”换成“+”，“+”换成“”，0换成1，1换成0，所行到的一个新的逻辑函数式，就是函数Y的对偶式，记为Y，这就是对偶规则。可以证明，若两个逻辑函数相等，则其对应的对偶式也相等，利用这一结果，可先证明某一等式两边函数的对偶式相等，再得出两函数相等，这样可简化证明过程。第31页，共56页，编辑于2022年，星期日1.3.1逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法 前面已经讲过，任何一个因果事件均
14、可用逻辑自变量与逻辑因变量之间关系式逻辑函数来进行描述，但在实际使用中，逻辑函数的表示方法有多种，一般可用逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图及卡诺图等来表示。1.逻辑真值表 将逻辑自变量所有取值和与相对应的逻辑因变量的结果列成表格即得到真值表，真值表可将事件的因果关系非常直观地表示出来。第32页，共56页，编辑于2022年，星期日 2.逻辑函数式 将逻辑自变量和逻辑因变量的关系用与、或、非等运算的组合形式表示出来，得到的即为逻辑函数式 逻辑函数式对事件的因果关系表示非常简洁，也便于利用公式法对其进行化简。3.逻辑图 将逻辑函数式中的与、或、非等逻辑关系用对应的图形符号表示得到的即为逻辑图。逻辑图便
15、于将事件的因果关系连成逻辑电路,因最终的逻辑功能均依靠电路来实现。第33页，共56页，编辑于2022年，星期日 1.3.2.各种表示方法间的相互转换各种表示方法间的相互转换 1.从真值表到逻辑函数式 由已知真值表，写出逻辑函数式的方法如下：a.找出真值表中使Y=1的那些输入变量的组合；b.每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，取1的写成原变量，取0的写成反变量；c.将这些乘积项相加，得到的即为逻辑函数式；第34页，共56页，编辑于2022年，星期日例1.4 已知一奇偶判断电路的真值表如下，试写出它的逻辑函数式。解：从真值表的变化规律可知，当变量A、B、C中有两个同时为1时，输出Y为1，否则Y为
16、0，而：故Y的逻辑函数式为上述三个乘积项之和 即 第35页，共56页，编辑于2022年，星期日2.由逻辑函数式列出真值表 将输入变量的所有取值组合代入逻辑函数式中，求出函数值，列成表格，即可得到真值表。例1.5 已知Y=AB+BC，求其对应的真值表解：将A、B、C的八种取值组合逐一代入函数式，得出函数值，列成表格，即可得到其对应真值表第36页，共56页，编辑于2022年，星期日 3.由逻辑函数式画出逻辑图由逻辑函数式画出逻辑图 用图形符号逐一代替函数式的运算符号,即可得到逻辑图。例1.6 已知Y=AB+BC,试画出逻辑图解：函数式Y的逻辑图如图1.4所示 图1.4 例1.5逻辑图 第37页，共
17、56页，编辑于2022年，星期日 4.由逻辑图写出逻辑函数式由逻辑图写出逻辑函数式 从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，即可得到对应的逻辑函数式。例1.7 己知某一函数的逻辑图如图1.5所示，写出对应的逻辑函数式。解：Y=ABC+AC 图1.5例1.6逻辑图第38页，共56页，编辑于2022年，星期日 1.4.1 最简与或表达式最简与或表达式 在分析逻辑问题时，我们会发现，同一个逻辑函数虽然它所实现的逻辑功能是确定的，但其表达形式却多样，例如：1.4 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法 所谓最简与或式，是指函数式的乘积项最少，且每个乘积项中的因子数也最少。第39页，共56页
18、，编辑于2022年，星期日1.4.2 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法 所谓代数化简法,即指采用前面所讲的基本定律及常用公式对函数进行化简。现将常用的化简法列于表1.13中。第40页，共56页，编辑于2022年，星期日1.5 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法1.5.1 逻辑函数最小项表达式逻辑函数最小项表达式 1.最小项及最小项表达式最小项及最小项表达式在n变量的逻辑函数中，若其与或表达式的乘积项包含了n个因子，且n个因子均以原变量或反变量的形式在乘积项中出现一次，则称这样的乘积项为逻辑函数的最小项。如果一函数式的与或表达式其与项均为最小项，则此函数式称为逻辑函数的最小项表
19、达式。第41页，共56页，编辑于2022年，星期日例如：A.B.C三变量的最小项有（8个）最小项。故n变共有2n个最小项。可以证明，任何逻辑函数均有其最小项表达式。如第42页，共56页，编辑于2022年，星期日2最小项的编号最小项的编号在逻辑函数的最小项表达式中，为了方便起见，常以mi的形式表示最小项，m代表最小项，i表示最小项的编号。i是n变量取值组合排成二进制所对应的十进制数，若变量以原变量形式出现视为1，以反变量形式出现视为0。例如 =m6+m7+m3 =第43页，共56页，编辑于2022年，星期日3最小项的性质最小项的性质(1)输入变量的任何一组取值必有一个最小项，且仅有一个最小项的值
20、为1。(2)全体最小项之和为1。(3)在输入变量的任何一组取值下，任意两最小项之积为0。(4)若两个最小项只有一个因子不同,则称这两个最小项具有相邻性.具有相邻性的最小项之和可合并成一项并消去一对因子.第44页，共56页，编辑于2022年，星期日1.5.2 逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法1.表示最小项的卡诺图。表示最小项的卡诺图。卡诺图是逻辑函数的图形表示法。它是由美国工程师卡诺首先提出来的，故称为卡诺图。这种方法是将n变量的全部最小项各用小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形称为n变量最小项的卡诺图。第45页，共56页，编辑于2022年
21、，星期日图1.5二、三、四变量最小项卡诺图.(a)二变量(b)三变量(c)四变量第46页，共56页，编辑于2022年，星期日卡诺图两侧所标的0和1表示对应小方块中最小项为1的变量取值。另外，为了确保卡诺图中小方块所表示的最小项几何上相邻时逻辑上也有相邻性，两侧标注的数码不能按从小到大的规则排列。除几何相邻的最小项有逻辑相邻的性质外，图中每一行或每一列两端的最小项也具有逻辑相邻性，故卡诺图可看成一个上下、左右闭合的图形。当输入变量的个数在五个或以上时，不能仅用二维空间的几何相邻来代表其逻辑相邻，故其卡诺图较复杂，一般不常用。第47页，共56页，编辑于2022年，星期日2.用卡诺图表示逻辑函数用卡
22、诺图表示逻辑函数因为任何逻辑函数均可写成最小项表达式，而每个最小项又都可以表示在卡诺图中，故可用卡诺图来表示逻辑函数。方法是：将逻辑函数化为最小项表达式，然后在卡诺图上将式中最小项所对应的小方块内填上，其余位置上填上，得到的即为逻辑函数的卡诺图。第48页，共56页，编辑于2022年，星期日 .5.3用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数由于卡诺图中几何相邻的最小项在逻辑上也有相邻性，而逻辑相邻的两个最小项只有一个因子不同，根据互补律可知，将它们相加，可以消去不同的因子，只留下公共因子，这就是卡诺图化简法的依据。卡诺图化简法的步骤如下：（）将逻辑函数化成最小项表达式。（）用卡诺图表示逻辑函数。
23、（）找出可以合并（即几何上相邻）的最小项，并用包围圈将其圈住。（）选取可合并的最小项的公共因子作为乘积项，这样的乘积项之和即为化简后的逻辑函数。第49页，共56页，编辑于2022年，星期日在进行卡诺图化简时，为了保证化简的准确无误，在选取可合并的最小项时应遵循以下几条原则：(1)包围圈所圈住的相邻最小项（即小方块中对应的）的个数应为、个等，即为n个。(2)包围圈越大，即圈中所包含的最小项越多，其公共因子越少，化简的结果越简单。(3)包围圈的个数越少越好。因个数越少，乘积项就越少，化简后的结果就越简单。(4)须将函数的所有最少项都圈完。(5)划包围圈时，最小项可以被重复包围，但每个圈中至少有一个
24、最小项不被其他包围圈所圈住，以保证该化简项的独立性。如图.6所示第50页，共56页，编辑于2022年，星期日第51页，共56页，编辑于2022年，星期日第52页，共56页，编辑于2022年，星期日1.5.4 具有无关项的逻辑函数化简具有无关项的逻辑函数化简1.逻辑函数中的无关项逻辑函数中的无关项在实际工作中经常会遇到这样的逻辑函数，其输入变量的取值不是任意的，对某些取值要加以限制另外还有一种情况，即输入变量某些取值下的函数值是还是，对电路的逻辑功能无影响。第53页，共56页，编辑于2022年，星期日 具有无关项的逻辑函数的化简。由于无关项要么不在逻辑函数中出现，要么会出现但其值取或对电路的逻辑
25、功能无影响。因此对具有无关项的逻辑函数进行化简，无关项既可取，也可取。化简时具体步骤是：（1）将函数式中最小项在卡诺图对应小方块内填，无关项在对应小方块内填，其余位置补（2）画圈时将无关项看作是还是，以得到的圈最大，圈的个数最少为原则。（3）圈中必须至少有一个有效的最小项，不能全是无关项。第54页，共56页，编辑于2022年，星期日例1.14表1.13是一个用于判断用二进制码表示的十进制是否大于等于的真值表，试写出其最简的与或表达式。解：根据真值表，可画出的四变量卡诺图如图1.8所示。经化简后可得：Y=A+BD+BC第55页，共56页，编辑于2022年，星期日 本章小结本章小结二进制是数电路中
26、最常用的计数体制，和还可用来表示电平的高和低、开关的闭、断，事件的是与非等。二进制还可进行许多形式的编码。逻辑代数中的基本定律及基本公式是逻辑代数运算的基础，熟练撑握这些定律及公式可提高运算速度。逻辑函数可用真值表、逻辑函数公式、逻辑图和卡诺图表示，已知逻辑函数的任何一种形式，应有来将它转换成其它三种形式中的任何一种。逻辑函数的化简法有卡诺图法及公式法两种。由于公式化简法无固定的规律可循，因此必须在实际练习中逐渐撑握应用各种公式进行化简的方法及技巧。卡诺图化简法有固定的规律和步骤，且直观、简单。只要按已给步骤进行，即可在实践较快寻找到化简的规律。卡诺图化简法对五变量以下的逻辑函数化简非常方便。第56页，共56页，编辑于2022年，星期日