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1、平面向量数量积时平面向量数量积时 特别地，当特别地，当=0 0或或 =0=0时时,=0 =0复习回顾 向量的数乘我们规定实数 与向量 的积仍是个向量，记作 并规定方向如下 当 时，的方向与 的方向相同 当 时，的方向与 的方向相反 第1页/共21页OBA当0时，；OAB当180时，反向；OABB当90时，称 垂直，记为 .OAab已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ,作作则叫做向量第2页/共21页问题其中力F 和位移s 是向量，是F 与s 的夹角，而功是数量.从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念.一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？第3页/共21
2、页平面向量的数量积的定义规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0 （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定（2）不能写成 ，表示向量的另一种运算 已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积），记作 ，即第4页/共21页例题讲解解：例1已知|=5，|=4，与 的夹角 ，求 .第5页/共21页例题讲解例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）（2）（3）ACB第6页/共21页例题讲解例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）（2）（3）ACB第7页/共21页例题讲解例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）（2）（3）ACB第8页/共21
3、页例题讲解例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）（2）（3）ACB第9页/共21页向量的数量积的几何意义（1）投影的概念如图所示：B过B作 垂直OA，垂足为 ,则 ，在 方向上的投影 叫做向量 OA 叫做向量 在 方向上的投影BOAab投影是向量还是数量？为钝角时，|b|cos0OABab为锐角时，|b|cos0OABab为直角时，|b|cos=0第10页/共21页向量的数量积的几何意义（2）数量积的几何意义数量积 等于 的长度 的几何意义是 与 在 方向上的投影 的乘积例3、，与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影为 。第11页/共21页讨论总结性质：（4）(判断两向量垂直的依据)设 与 都是非零向量，为 与 的夹角(2)当 与 同向时，当 与 反向时，（3）或 （5）你能得出哪些结论？快速讨论一下！第12页/共21页第13页/共21页例5 判断正误第14页/共21页平面向量的数量积的运算律已知向量 ，和实数 ，则（1）。（交换律）（2）=。（3）。（与数乘的结合律）（分配律）第15页/共21页 .ONMa+bbac 证明运算律(3)第16页/共21页例6 证明证明第17页/共21页证明第18页/共21页练习第19页/共21页小结：1.1.可用来求向量的模2.投影3性质第20页/共21页