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1、定义定义范围范围已知两个已知两个_向量向量a，b，作，作 a，b，则，则AOB叫作向叫作向量量a与与b的夹角的夹角(如图如图)向量夹角向量夹角的范围是的范围是_ 当当_时，两向量时，两向量共线；共线；当当_时，两向时，两向量垂直，记作量垂直，记作ab(规定规定零向量可与任一向量垂零向量可与任一向量垂直直).，0或18090非零0，180第1页/共67页(2)射影的定义设是a与b的夹角，则_叫作b在a方向上的射影_叫作a在b方向上的射影射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量当_时，它是正值；当_时，它是负值；当_时，它是0.(90，18090|b|cos|a|cos0，90)第2页/共67页
2、提示：不正确求两个向量的夹角时，两向量起点应相同，向量a与b的夹角为ABC.思考感悟第3页/共67页|a|b|cos|a|cosab0ab第4页/共67页cos_对任意两个向量a、b，有|ab|a|b|，当且仅当ab时等号成立(3)向量数量积的运算律给定向量a，b，c和实数，有abba；(交换律)(a)b(ab)_；(数乘结合律)a(bc)_(分配律)a(b)abac第5页/共67页思考感悟2当a0时，由ab0一定有b0吗？提示：不一定ab0有三种情形；a0；b0；ab即a与b的夹角为90.第6页/共67页3平面向量数量积的坐标运算(1)平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a(x1，y1)
3、，b(x2，y2)，则ab_.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和x1x2y1y2第7页/共67页x2y2(4)两个向量垂直的充要条件设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20第8页/共67页2(原创题)若a0，ab0，则满足条件的b的个数是()A0 B1 C2 D无数个第9页/共67页答案：C第10页/共67页2(原创题)若a0，ab0，则满足条件的b的个数是()A0 B1C2 D无数个解析：选D.只要ba即可，故b有无数个第11页/共67页答案：C第12页/共67页第13页/共67页答案：C第14页/共67页5(2010山东卷)定义平面向量之间的一种运算“”如下
4、：对任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp.下面说法错误的是()A若a与b共线，则ab0BabbaC对任意的R，有(a)b(ab)D(ab)2(ab)2|a|2|b|2解析：若a与b共线，则有mqnp0，故A正确；因为bapnqm，而abmqnp，所以有abba，故B错误；因为a(m，n)，所以(a)bmqnp.又(ab)(mqnp)(a)b，故C正确；因为(ab)2(ab)2(mqnp)2(mpnq)2(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2，故D正确答案：B第15页/共67页第16页/共67页答案：36答案：C第17页/共67页答案：2第18页/共67页9 9、（、（1 1）已知
5、）已知O O是是ABCABC内部一点，内部一点，=0 0，且且BACBAC=30=30，则，则AOBAOB的面积为的面积为（）A.2A.2B.1B.1C.C.D.D.解析解析 由由 =0 0得得O O为为ABCABC的重心的重心.S SAOBAOB=S SABCABC.又又 cos 30=2 cos 30=2 ，得得 =4.=4.S SABCABC=sin 30=1.=sin 30=1.S SAOBAOB=.=.D第19页/共67页（2 2）（20092009重重庆庆理理，4 4）已已知知|a a|=1,|=1,|b b|=6,|=6,a a(b b-a a)=2)=2，则向量，则向量a a与
6、与b b的夹角是的夹角是（）A.A.B.B.C.C.D.D.解析解析 a a(b b-a a)=)=a ab b-a a2 2=2,=2,a ab b=2+=2+a a2 2=3=3 cos cosa a，b b=a a与与b b的夹角为的夹角为 .C第20页/共67页第21页/共67页、(1)(2010年高考北京卷)若a，b是非零向量，且ab，|a|b|，则函数f(x)(xab)(xba)是()A一次函数且是奇函数B一次函数但不是奇函数C二次函数且是偶函数D二次函数但不是偶函数第22页/共67页第23页/共67页【思路点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律及模的求法，即可解决第24页/共6
7、7页【答案】(1)A(2)D(3)B第25页/共67页第26页/共67页题型二题型二 利用平面向量的数量积解决垂直问题利用平面向量的数量积解决垂直问题【例例2 2】已知向量已知向量a a=(cos(-=(cos(-),sin(-),sin(-),),b b=（1 1）求证：）求证：a ab b；（2 2）若存在不等于）若存在不等于0 0的实数的实数k k和和t t，使，使x x=a a+(+(t t2 2+3)+3)b b,y y=-=-k ka a+t tb b，满足，满足x xy y，试求此时，试求此时 的最小值的最小值.（1 1）可通过求可通过求a ab b=0=0证明证明a ab b.
8、（2 2）由由x xy y得得x xy y=0=0，即即求求出出关关于于k k,t t的的一一个个方方程程，从从而而求求出出 的的代代数数表表达达式式，消消去去一一个个量量k k，得得出出关关于于 t t的函数，从而求出最小值的函数，从而求出最小值.思维启迪第27页/共67页(1)(1)证明证明 a ab b=cos(-=cos(-)cos(-)cos(-)+sin(-)+sin(-)sin(-sin(-)=sin)=sin cos cos-sin-sin coscos=0.=0.a ab b.（2 2）解解 由由x xy y得得x xy y=0,=0,即即a a+（t t2 2+3+3）b
9、b（-k ka a+t tb b）=0=0，-k ka a2 2+（t t3 3+3+3t t）b b2 2+t t-k k（t t 2 2+3+3）a ab b=0=0，-k k|a a|2 2+（t t3 3+3+3t t）|b b|2 2=0.=0.又又|a a|2 2=1=1，|b b|2 2=1=1，-k k+t t3 3+3+3t t=0=0，k k=t t3 3+3+3t t.故当故当t t=时，时，有最小值有最小值 .第28页/共67页 探探究究提提高高 （1 1）两两个个非非零零向向量量互互相相垂垂直直的的充充要要条条件件是是它它们们的的数数量量积积为为零零.因因此此，可可以
10、以将将证证两两向向量量的的垂垂直问题，转化为证明两个向量的数量积为零直问题，转化为证明两个向量的数量积为零.（2 2）向向量量的的坐坐标标表表示示与与运运算算可可以以大大大大简简化化数数量量积积的的运运算算，由由于于有有关关长长度度、角角度度和和垂垂直直的的问问题题可可以以利利用用向向量量的的数数量量积积来来解解决决，因因此此，我我们们可可以以利利用用向向量量的的坐标研究有关长度、角度和垂直问题坐标研究有关长度、角度和垂直问题.第29页/共67页知能迁移知能迁移2 2 已知平面向量已知平面向量a a=（-,-,）,b b=(-,-1).=(-,-1).(1)(1)证明：证明：a ab b;(2
11、)(2)若存在不同时为零的实数若存在不同时为零的实数k k、t t,使使x x=a a+(+(t t2 2-2)-2)b b,y y=-=-k ka a+t t2 2b b,且且x xy y，试把，试把k k表示为表示为t t的函数的函数.(1)(1)证明证明 a ab b=(,-1)=(,-1)a ab b.第30页/共67页(2)(2)解解 x xy y,x xy y=0,=0,即即a a+(+(t t2 2-2)-2)b b（-k ka a+t t2 2b b）=0.=0.展开得展开得-k ka a2 2+t t2 2-k k(t t2 2-2)-2)a ab b+t t2 2(t t2
12、 2-2)-2)b b2 2=0,=0,a ab b=0,=0,a a2 2=|=|a a|2 2=1,=1,b b2 2=|=|b b|2 2=4,=4,-k k+4+4t t2 2（t t2 2-2-2）=0,=0,k k=f f(t t)=4)=4t t2 2(t t2 2-2).-2).第31页/共67页题型三题型三 向量的夹角及向量模的问题向量的夹角及向量模的问题【例例3 3】（1212分分）已已知知|a a|=1|=1，a ab b=，（a a-b b）（a a+b b）=，求：（求：（1 1）a a与与b b的夹角；的夹角；（2 2）a a-b b与与a a+b b的夹角的余弦值
13、的夹角的余弦值.解解 （1 1）（a a-b b）（a a+b b）=，|a a|2 2-|-|b b|2 2=，又又|a a|=1|=1，|b b|=|=3 3分分 设设a a与与b b的夹角为的夹角为，则则cos cos=0 0 180 180,=45.6=45.6分分5 5分第32页/共67页（2 2）（a a-b b）2 2=a a2 2-2-2a ab b+b b2 2|a a-b b|=|=8 8分分（a a+b b）2 2=a a2 2+2+2a ab b+b b2 2=1+2=1+2|a a+b b|=,|=,设设a a-b b与与a a+b b的夹角为的夹角为 ，1010分分
14、则则cos =cos =1212分分第33页/共67页 探探究究提提高高 （1 1）求求向向量量的的夹夹角角利利用用公公式式coscosa a，b b=.=.需分别求向量的数量积和向量的模需分别求向量的数量积和向量的模.（2 2）利用数量积求向量的模，可考虑以下方法）利用数量积求向量的模，可考虑以下方法.|a a|2 2=a a2 2=a aa a;|;|a ab b|2 2=a a2 222a ab b+b b2 2;若若a a=(=(x x,y y)，则，则|a a|=.|=.第34页/共67页第35页/共67页【典例4】已知a，b是两个非零向量，同时满足|a|b|ab|，求a与ab的夹角
15、第36页/共67页第37页/共67页第38页/共67页 (2009年高考江苏卷)设向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin)(1)若a与b2c垂直，求tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若tantan16，求证：ab.例例例例2 2【思路点拨思路点拨】利用两向量垂直时数量积为利用两向量垂直时数量积为0的坐标运算的坐标运算公式可以解第一问，第二问中模的最值可以转化为三角公式可以解第一问，第二问中模的最值可以转化为三角函数的有界性求解，第三问中利用两向量平行的充要条函数的有界性求解，第三问中利用两向量平行的充要条件进行转化即可得证件进行转化即可得证第39
16、页/共67页第40页/共67页【名师点评】求解|bc|时注意到向量b与向量c的模都不是定值，因而利用坐标法先求和再求模，此方法较|bc|2b2c22bc要快捷得多证明两向量平行时，可以利用两向量平行的充要条件公式第41页/共67页第42页/共67页第43页/共67页向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、成角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题考点三考点三平面向量的应用平面向量的应用第44页/共67页【思路点拨】(1)根据向量加、减法的几何意义求解；(2)根据向量
17、数量积的坐标运算，列方程求解例例例例3 3第45页/共67页第46页/共67页【名师点评】利用向量解平面几何、解析几何问题要注意向量线性运算的几何意义及数量积的坐标表示的应用第47页/共67页第48页/共67页第49页/共67页方法技巧1要熟练类似(ab)(satb)sa2(ts)abtb2的运算律(、s、tR)(如例1(1)2解决向量模的问题的关键是利用|a|2a2，将模的问题转化为数量积的问题，通过数的精确计算来解决问题(如例2)方法感悟第50页/共67页3平面向量的数量积的运算法则把平面向量与实数紧密地联系在一起，使它们之间的相互转化得以实施因此，一方面我们要善于把向量的有关问题通过数量
18、积转化为实数问题，利用实数的有关知识来解决问题；另一方面，也要善于把实数问题转化为向量问题，利用向量作工具来解决相关问题(如例3)第51页/共67页1零向量：(1)0与实数0的区别，不可写错；0a00，a(a)00，a000；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系2ab0不能推出a0或b0，因为ab0ab.失误防范第52页/共67页第53页/共67页规范解答例例例例第54页/共67页第55页/共67页【解】(1)法一：bc(cos1，sin)，则|bc|2(cos1)2sin22(1cos).3分1cos1，0|bc|24，即0|bc|2.当co
19、s1时，有|bc|2，向量bc的长度的最大值为2.6分法二：|b|1，|c|1，|bc|b|c|2.3分当cos1时，有bc(2,0)，即|bc|2，所以向量bc的长度的最大值为2.6分第56页/共67页第57页/共67页第58页/共67页【名师点评】(1)本题易失误的是：对向量的加法、数量积的坐标运算公式掌握不清，不会运算，导致无从下手；知道相关知识，知道解决思路，但运算出现错误，结果不准确；书写过程不详细，逻辑性不强，语句不流畅，卷面不整洁，对而不全；出现|bc|b|c|这种错误第59页/共67页(2)本题主要考查平面向量、三角函数的概念、三角变换和向量运算等基本知识，考查基本运算能力此题
20、将平面向量、三角函数、三角变换三部分知识进行有机的融合，综合性强学科内知识融合的问题是近年来高考考查的热点，因为这类题能很全面地考查考生综合运用知识，分析问题、解决问题的能力第60页/共67页(3)一般来说向量与三角融合时，都会给出向量的坐标，都会进行向量的坐标运算，因此向量的坐标运算公式是必须要记住且要会使用涉及向量平行或垂直，两个坐标关系式也要会熟练地应用此题第(1)问，就是要先通过向量的加法运算求向量bc的坐标，第(2)问涉及a(bc)，要利用两个向量垂直的坐标关系式，再结合三角知识就可以使问题得到很好的解决第61页/共67页(4)向量的数量积的坐标运算经常会与其他数学问题联系起来，特别是与三角函数问题相联系，解答这类问题的关键是要熟练地运用向量的数量积的坐标运算公式，通过公式，将向量问题转化为一般的三角函数问题求解第62页/共67页名师预测第63页/共67页第64页/共67页第65页/共67页第66页/共67页感谢您的观看。第67页/共67页