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1、平面向量的数量积及平面向量应用举例平面向量的数量积及平面向量应用举例1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积量数量积的运算的运算.第1页/共43页4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平量积判断两个平面向量的垂直关系面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学
2、问题与其他一会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题些实际问题.第2页/共43页1.两个向量的夹角两个向量的夹角(1)定义和范围定义和范围第3页/共43页(2)两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件第4页/共43页思考探究思考探究1在在ABC中，设中，设a，b，则，则a与与b的夹角为的夹角为ABC吗？吗？提示：提示：不是不是.求两向量的夹角时，两向量的起点应相同，求两向量的夹角时，两向量的起点应相同，向量向量a与与b的夹角为的夹角为ABC.第5页/共43页2.平面向量的数量积平面向量的数量积第6页/共43页3.与平面向量的数量积有关的结论与平面向量
3、的数量积有关的结论已知已知a(x1，y1)，b(x2，y2)第7页/共43页思考探究思考探究2若若ab，则，则a与与b的数量积有何特点？的数量积有何特点？提示：提示：若若ab，则，则a与与b的夹角为的夹角为0或或180，ab|a|b|或或ab|a|b|.第8页/共43页1.已知已知a(1，2)，b(5,8)，c(2,3)，则，则a(bc)()A.34B.(34，68)C.68D.(34,68)解析：解析：a(bc)(1，2)(5283)(34，68).答案：答案：B第9页/共43页2.平面向量平面向量a与与b的夹角为的夹角为60，a(2,0)，|b|1，则，则|a2b|()A.B.C.4D.1
4、2解析：解析：|a|2，|a2b|2(a2b)2a24ab4b24421cos6041212，|a2b|.答案：答案：B第10页/共43页3.已知已知|a|1，|b|，且，且a(ab)，则向量，则向量a与向量与向量 b的夹角是的夹角是()A.30B.45C.90D.135第11页/共43页解析：解析：设向量设向量a与与b的夹角为的夹角为，由由a(ab)，得，得a(ab)0，即，即|a|2ab0，|a|b|cos|a|2，cos 45.答案：答案：B第12页/共43页4.已知向量已知向量a(3,2)，b(2,1)，则向量，则向量a在在b方向上的方向上的投影为投影为.解析：解析：ab|a|b|co
5、sa，b，|a|cosa，b答案：答案：第13页/共43页5.若若b(1,1)，ab2，(ab)23，则，则|a|.解析：解析：(ab)23，|a|2|b|22ab3，|a|2243，|a|25，|a|.答案：答案：第14页/共43页1.向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式ab|a|b|cos来计算，二是利用来计算，二是利用abx1x2y1y2来计算，来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用意数量积运算律的应用.2.利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握利用数量积
6、求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：此类问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2(ab)2a22abb2.第15页/共43页 已知已知|a|3，|b|4，a与与b的夹角为的夹角为 ，求：，求：(1)(3a2b)(a2b)；(2)|ab|.思路点拨思路点拨第16页/共43页课堂笔记课堂笔记(1)ab|a|b|cos34()6.a2329，b216.(3a2b)(a2b)3a28ab4b2398(6)649148.(2)|ab|2(ab)2a22abb292(6)162512.|ab|第17页/共43页若将例题已知条件改为若将例题已知条件改为“已知已知a(3，4
7、)，b(2,1)”，试解决上述问题，试解决上述问题.解：解：(1)a(3，4)，b(2,1)，3a2b(9，12)(4,2)(5，14)，a2b(3，4)(4,2)(1，6).第18页/共43页(3a2b)(a2b)(5，14)(1，6)5(1)(14)(6)58479.(2)ab(3，4)(2,1)(5，3)，|ab|第19页/共43页已知已知a与与b为不共线向量，且为不共线向量，且a与与b的夹角为的夹角为，则，则(1)ab0090；(2)ab0 90；(3)ab090 180.特别警示特别警示在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范围时，要注意两向量是否
8、共线围时，要注意两向量是否共线.第20页/共43页已知已知|a|1，ab，(ab)(ab)，求：求：(1)a与与b的夹角；的夹角；(2)ab与与ab的夹角的余弦值的夹角的余弦值.思路点拨思路点拨第21页/共43页课堂笔记课堂笔记(1)(ab)(ab)，|a|2|b|2，又又|a|1，|b|设设a与与b的夹角为的夹角为，则，则cos 45.第22页/共43页(2)(ab)2a22abb212|ab|.(ab)2a22abb212|ab|，设，设ab与与ab的夹角为的夹角为，则则cos第23页/共43页1.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共
9、线共线)的充要条件：的充要条件：ababx1y2x2y10(b0).2.证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：abab0 x1x2y1y20.第24页/共43页已知平面内已知平面内A、B、C三点在同一条直线上，三点在同一条直线上，(2，m)，(n,1)，(5，1)，且，且，求，求实数实数m，n的值的值.思路点拨思路点拨第25页/共43页课堂笔记课堂笔记由于由于C、A、B三点在同一条直线上，三点在同一条直线上，则则而而(7，1m)，(n2,1m)，7(1m)(1m)(n2)0，又又2nm0，联立联立解得解得第26页/共43页考题印证考题印证(2009湖南高考
10、湖南高考)(12分分)已知向量已知向量a(sin，cos2sin)，b(1,2).(1)若若ab，求，求tan的值；的值；(2)若若|a|b|,0，求，求的值的值.第27页/共43页【解解】(1)因为因为ab，所以，所以2sincos2sin，于是，于是4sincos，故，故tan(4分分)(2)由由|a|b|知，知，sin2(cos2sin)25，所以所以12sin24sin25.从而从而2sin22(1cos2)4，即，即sin2cos21，于是，于是sin(2).(8分分)又由又由0知，知，2，所以，所以2，或，或2.因此因此，或，或.(12分分)第28页/共43页自主体验自主体验已知已
11、知ABC的角的角A、B、C所对的边分别是所对的边分别是a、b、c，设，设向量向量m(a，b)，n(sinB，sinA)，p(b2，a2).(1)若若mn，求证：，求证：ABC为等腰三角形；为等腰三角形；(2)若若mp，边长，边长c2，角，角C，求，求ABC的面积的面积.第29页/共43页解：解：(1)证明：证明：mn，asinAbsinB，即即ab，其中，其中R是三角形是三角形ABC外接圆半径，外接圆半径，ab.ABC为等腰三角形为等腰三角形.(2)由题意可知由题意可知mp0，即即a(b2)b(a2)0.abab.第30页/共43页由余弦定理可知，由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab
12、，即即(ab)23ab40，ab4(舍去舍去ab1)，SabsinC4sin第31页/共43页1.(2009宁夏、海南高考宁夏、海南高考)已知已知a(3,2)，b(1,0)，向，向量量ab与与a2b垂直，则实数垂直，则实数的值为的值为()第32页/共43页解析：解析：a(3,2)，b(1,0).ab(13，2)，a2b(1,2).ab与与a2b垂直，垂直，(ab)(a2b)0，(13)(1)220，解得解得.答案：答案：A第33页/共43页2.在在ABC中，中，M是是BC的中点，的中点，AM1，点，点P在在AM上且满上且满足足则则等于等于()第34页/共43页解析：解析：M为为BC中点，得中点
13、，得又又P为为AM的的等分点，等分点，答案：答案：A第35页/共43页3.已知在已知在ABC中，若中，若则则ABC是是()A.等边三角形等边三角形B.锐角三角形锐角三角形C.直角三角形直角三角形D.钝角三角形钝角三角形第36页/共43页解析：解析：由由ABC是直角三角形是直角三角形.答案：答案：C第37页/共43页4.已知向量已知向量a与与b的夹角为的夹角为120，|a|1，|b|3，则，则|5a b|.答案：答案：7解析：解析：|5ab|225|a|2|b|210ab2591013()49.|5ab|7.第38页/共43页5.已知向量已知向量a(2，1)，b(x，2)，c(3，y)，若，若
14、ab，(ab)(bc)，M(x，y)，N(y，x)，则向量，则向量的模为的模为.第39页/共43页解析：解析：ab，x4，b(4，2)，ab(6，3)，bc(1，2y)；(ab)(bc)，(ab)(bc)0，即，即63(2y)0，y4，故向量，故向量(8,8)，8.答案：答案：8第40页/共43页6.已知已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中是同一平面内的三个向量，其中a(1,2).(1)若若|c|2，且，且ca，求，求c的坐标；的坐标；(2)若若|b|，且，且a2b与与2ab垂直，求垂直，求a与与b的夹角的夹角.第41页/共43页解：解：(1)设设c(x，y)，由，由ca和和|c|可得：可得：c(2,4)或或c(2，4).(2)(a2b)(2ab)，(a2b)(2ab)0，即，即2a23ab2b20，2|a|23ab2|b|20，253ab20，abcos1，0，.第42页/共43页