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1、力刚体的定轴转动第1页，共44页，编辑于2022年，星期五第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.1 5.1 刚体的运动刚体的运动 5.2 5.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 （包括转（包括转 动惯量）动惯量）5.3 5.3 转动中的功和能转动中的功和能 5.4 5.4 刚体的角动量和角动量守恒定律刚体的角动量和角动量守恒定律第2页，共44页，编辑于2022年，星期五5.1 5.1 刚体的运动刚体的运动 一、刚体（一、刚体（rigid bodyrigid body）定义：）定义：特殊的质点系，特殊的质点系，形状和体积不变化，形状和体积不变化，理想化的模型。理想化的模型。平动和转动，
2、可以平动和转动，可以描述所有质元（质描述所有质元（质点）的运动。点）的运动。平动平动（translationtranslation）时，刚体上所有点时，刚体上所有点运动都相同。运动都相同。转动转动（rotationrotation）:绕某一轴转动绕某一轴转动o ooo第3页，共44页，编辑于2022年，星期五二、定轴转动二、定轴转动（rotation rotation about a fixed axisabout a fixed axis）：刚体上任意点都绕同刚体上任意点都绕同一轴作圆周运动，且一轴作圆周运动，且，都相同。都相同。P O Ov,rr r定轴定轴刚体刚体参参考考方方向向z第4页
3、，共44页，编辑于2022年，星期五5.2 5.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 类似于多质点系类似于多质点系刚体对刚体对 z z 轴的轴的转动惯量转动惯量 OFimii定轴定轴刚体刚体vi,ririz一、转动惯量和转动定律一、转动惯量和转动定律转动定律转动定律第5页，共44页，编辑于2022年，星期五二、二、转动惯量的计算转动惯量的计算 J J由质量对轴的分布决定。由质量对轴的分布决定。dmrm一）一）.常用的几个常用的几个J J1 1、均匀圆环：、均匀圆环：Jc=mR2；RmC C第6页，共44页，编辑于2022年，星期五2 2、均匀圆盘：、均匀圆盘：3 3、均匀杆：、均匀杆：CA
4、ml2l2RmC第7页，共44页，编辑于2022年，星期五例例1 1 已知：已知：t t v vR R=0.2=0.2m m，m m=1=1kgkg，o o=0=0，h h=1.5=1.5m m，绳轮无相对滑动，绳，绳轮无相对滑动，绳不可伸长，下落时间不可伸长，下落时间 =3=3s s。求：轮对求：轮对O O轴轴J J=？解：动力学关系：解：动力学关系：对轮：对轮：TRJ=(1),对对：mmg T ma-=(2)三、转动定律应用举例三、转动定律应用举例 定轴定轴O OR Rt th hm mv v0 0=0=0绳绳TGRNmgT =-T ma第8页，共44页，编辑于2022年，星期五运动学关系
5、：运动学关系：=aR(3)hat=122(4)(1)(4)联立解得：联立解得：JgthmR=-()2221=-=(.).9832151102114222kg m第9页，共44页，编辑于2022年，星期五 例例2、一个飞轮的质量为一个飞轮的质量为m=60kg,半径为半径为R=0.25m,正以每分正以每分1000转的转速转动转的转速转动.现要制动现要制动飞轮飞轮,要求在要求在t=5.0s内使它减速而停下来内使它减速而停下来.求闸瓦求闸瓦对轮的压力对轮的压力N。假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数。假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为为m m=0.4,而飞轮的质量视为全部分布在轮的外而飞轮的质量视为全部分布在轮的
6、外周。周。wFNf解：w=10002p/60a=w/tM=f R=m NR第10页，共44页，编辑于2022年，星期五例例3已知：重物已知：重物m1m2，滑轮滑轮 M1 M2，R1 R2。T1T2aT1T2J=J1+J2二根绳子，不同a,一个滑轮，相同a第11页，共44页，编辑于2022年，星期五课堂练习课堂练习2.2.求系统求系统的加速度和拉力的加速度和拉力M2R2M1R1aT3T2T1第12页，共44页，编辑于2022年，星期五第13页，共44页，编辑于2022年，星期五 A=F r cos=M=F cosr ()(A F S)=力矩力矩的空的空间积间积累效累效应：应：5.3 5.3 定轴
7、转动中的功能关系定轴转动中的功能关系 二二.定轴转动动能定理定轴转动动能定理 dLdtzzM外外=dzJdt=一一.力矩的功力矩的功 d zx 轴轴rF第14页，共44页，编辑于2022年，星期五令令转动动能转动动能E EJ Jk k=1 12 22 2w w（可证：（可证：）121222Jm vi i=则则A EEkk=-21应用：应用：飞轮储能，飞轮储能，E Ek k w w2 2w w E Ek k 定轴转动动能定理定轴转动动能定理 MdLdtJddtzzz外外=第15页，共44页，编辑于2022年，星期五三三.定轴转动的功能原理定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立：质点系功能原
8、理对刚体仍成立：A外外+A内非内非=（Ek2+Ep2）（Ek1+Ep1）刚体重力势能：刚体重力势能：若若A A外外+A A内非内非=0=0，则则E Ek k+E Ep p=常量。常量。Ep=cmgh=mighi gmhii ChchimiEp=0mm第16页，共44页，编辑于2022年，星期五起动时q=900力矩例例1 1 一根质量为一根质量为m，长为，长为L的的均匀细棒均匀细棒AB,AB,可绕可绕一水平的光滑转轴一水平的光滑转轴O O在竖直平面内转动，在竖直平面内转动，O O轴离轴离A A端的距离为端的距离为l/3,/3,今使棒从静止开始由水平位置今使棒从静止开始由水平位置绕绕O O轴转动，
9、求：轴转动，求：（1 1）棒起动时的角加速度）棒起动时的角加速度;第17页，共44页，编辑于2022年，星期五角加速度(2)(2)棒在竖直位置的棒在竖直位置的角速度和角加速度角速度和角加速度 重力矩作功与重力作功相同AB第18页，共44页，编辑于2022年，星期五两端速度相同（3 3）棒在竖直位置时棒的两端和中点）棒在竖直位置时棒的两端和中点 的速度和加速度的速度和加速度竖直位置力矩第19页，共44页，编辑于2022年，星期五 例例22 已知：均匀直杆已知：均匀直杆m m，长为，长为l l，初始水平静止，轴光滑，初始水平静止，轴光滑，AOAOl l=4 4 。求求:杆下摆杆下摆角后，角速度角后
10、，角速度w w=?=?解：杆解：杆 地球系统，地球系统，+只有重力作功，只有重力作功，E E守恒。守恒。初始：初始：，E Ek k1 10 0=令令 E EP P1 10 0=末态：末态：E EJ Jk ko o2 22 21 12 2=w w,E Emgmgl lP P2 24 4=-sinsin 则：则：1 12 24 40 02 2J Jmgmgl lo ow w-=sinsin (1)(1)第20页，共44页，编辑于2022年，星期五 由平行轴定理由平行轴定理 JJmdoc=+2=+=1124748222mlmlml()(2)由由(1)、(2)得：得：=267glsin第21页，共44
11、页，编辑于2022年，星期五5.45.4刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律力矩对时间的积累效应：力矩对时间的积累效应：刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 z=0当当 M时，时，zJ =const.大小不变大小不变正、负不变正、负不变 冲量矩冲量矩角动量守恒定律角动量守恒定律第22页，共44页，编辑于2022年，星期五 若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动，若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动，z当当M外外=0 时，时，J const.iz i=，这时角动量可在内部传递。，这时角动量可在内部传递。mmr2看录像看录像第23页，共44页，
12、编辑于2022年，星期五解：解：m m下落：下落：mghmv=122vgh=2(1)h h例例1 1如图示已知：如图示已知：M M=2=2m m，=60=60求：碰撞后瞬间盘的求：碰撞后瞬间盘的w w0 0=？P P转到转到x x轴时盘的轴时盘的w w=?=?=?半径：半径：R,R,第24页，共44页，编辑于2022年，星期五碰撞碰撞 t t 极小，对极小，对 m m+盘系统，冲力远大于重力，故重力对盘系统，冲力远大于重力，故重力对O O力矩可力矩可忽略，角动量守恒：忽略，角动量守恒：则：则：P P、x x重合时重合时E EP P=0=0。令令1mgRJJosin +=12222(5)mvRJ
13、ocos =(2)JMRmRmR=+=122222 (3)由由(1)(2)(3)得：得：oghR=22cos (4)对对m m+M M+地球系统，只有重力做功，地球系统，只有重力做功，E E守恒，守恒，第25页，共44页，编辑于2022年，星期五由由(3)(4)(5)得得：=+ghRgR222cossin=+12243RghR.()()=60oo=MJ2=mgRmRgR22第26页，共44页，编辑于2022年，星期五例例2、一根长一根长l,质量为质量为m的均匀细的均匀细棒静止在一光滑的水平面上，棒静止在一光滑的水平面上，一质量为一质量为m的小球以水平的小球以水平速度速度v0垂直冲击其一端垂直冲
14、击其一端并粘上。求碰撞后球的速度并粘上。求碰撞后球的速度v和棒和棒的角速度以及由此损失的机械能的角速度以及由此损失的机械能。OV系统角动量守恒（没有外力矩）转轴处有外力（动量不守恒）第27页，共44页，编辑于2022年，星期五初角动量OV0末角动量球和棒粘在一起求出第28页，共44页，编辑于2022年，星期五前能量后能量第29页，共44页，编辑于2022年，星期五小结小结1 1、什么是刚体？、什么是刚体？2 2、为何研究刚体的定轴转动？、为何研究刚体的定轴转动？3 3、转动中的物理量、转动中的物理量4 4、转动惯量、转动惯量一般运动平动定轴转动一般运动平动定轴转动不连续不连续连续连续与质量大小
15、、分布与质量大小、分布转轴位置有关转轴位置有关第30页，共44页，编辑于2022年，星期五6 6、转动定律、转动定律5 5、力矩、力矩怎样力矩为零怎样力矩为零7 7、角动量、角动量L=J 8 8、转动动能、转动动能角动量定理角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律M=0时时J=C第31页，共44页，编辑于2022年，星期五P158.P158.表表5.25.2对应关系：对应关系：(量纲不同量纲不同)第32页，共44页，编辑于2022年，星期五牛顿定律牛顿定律转动定律转动定律动量守恒定理动量守恒定理动量矩守恒定理动量矩守恒定理动能定理动能定理动能定理动能定理作业作业：5.105.10(5.11),(
16、5.11),5.115.11(5.12),(5.12),5.135.13(5.13),(5.13),5.145.14(5.14)(5.14)课堂练习课堂练习3:5.15(3:5.15(5.155.15)第33页，共44页，编辑于2022年，星期五5.12解解：（1 1）取子弹与棒为系统，系统）取子弹与棒为系统，系统动量矩守恒动量矩守恒(2)棒受力如图所示，其中棒受力如图所示，其中F F为棒所受为棒所受的子弹在的子弹在tt内的平均冲力。内的平均冲力。法向：法向：解解(i)：切向：切向：第34页，共44页，编辑于2022年，星期五角动量角动量定理定理*N*Nt t的另一种表示：的另一种表示：第35
17、页，共44页，编辑于2022年，星期五（3）令令可得可得第36页，共44页，编辑于2022年，星期五4.5 解：由动能定理可得解：由动能定理可得代入数据，可得代入数据，可得4.6 解：以地面为参考系，因子弹和解：以地面为参考系，因子弹和 木块系统水平方向木块系统水平方向 不受到力的作用，不受到力的作用，所以系统动量守恒，于是有所以系统动量守恒，于是有第37页，共44页，编辑于2022年，星期五（V为系统的最后的共同速度）为系统的最后的共同速度）（1）设）设S1为子弹停在木块内之前木块移动的距为子弹停在木块内之前木块移动的距离，于是子弹对地面的位移为离，于是子弹对地面的位移为s=s1+s。对子弹
18、。对子弹应用动能定理，得子弹的动能增量为应用动能定理，得子弹的动能增量为木块动能的增量木块动能的增量=摩擦力的功，即摩擦力的功，即第38页，共44页，编辑于2022年，星期五（2）因）因f=f，所以两式相加得，所以两式相加得即，一对摩擦力之一沿相对位移所做的功即，一对摩擦力之一沿相对位移所做的功=子弹和子弹和木块总机械能的增量木块总机械能的增量4.11解解：（1）设）设M、m、地球为系统，因、地球为系统，因M、m间的相间的相互作用力与两者的相对位移垂直，而无外力做互作用力与两者的相对位移垂直，而无外力做功，所以系统机械能守恒：功，所以系统机械能守恒：第39页，共44页，编辑于2022年，星期五
19、而在水平方向上，而在水平方向上，M、m系统不受力的作用，设系统不受力的作用，设m的运动方向为正方向，则有的运动方向为正方向，则有（2）（3）物体）物体m到达最低点时，水平方向受力为到达最低点时，水平方向受力为零，竖直方向上受力为零，竖直方向上受力为M对对m的向上的正压力的向上的正压力（N）和向下的重力，于是有）和向下的重力，于是有第40页，共44页，编辑于2022年，星期五球对槽球对槽M的作用力为的作用力为 N=-N第41页，共44页，编辑于2022年，星期五4-2法向：N和mgcosqmgNFf 受力情况：切向：F和f，mgsinqF=f+mg sinqN=mg cosqq=Wf+WG第42
20、页，共44页，编辑于2022年，星期五质点系所受合外力为零，总动量不随时间改变，即质点系所受合外力为零，总动量不随时间改变，即1.1.合外力为零，或外力与内力相比小很多；合外力为零，或外力与内力相比小很多；2.2.合外力沿某一方向为零；合外力沿某一方向为零；3.3.只适用于惯性系；只适用于惯性系；4.4.比牛顿定律更普遍的最基本的定律。比牛顿定律更普遍的最基本的定律。3.2 3.2 动量守恒定理动量守恒定理第43页，共44页，编辑于2022年，星期五机械能机械能质点系只有保守内力做功，质点系只有保守内力做功，机械能守恒机械能守恒。保守内力作功保守内力作功是系统是系统势能势能与与动能动能相互相互转化转化的手段和度量。的手段和度量。一个孤立系统不管经历何种变化，系统所有能量的总和保一个孤立系统不管经历何种变化，系统所有能量的总和保持不变。持不变。普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律A保内保内 04.6 4.6 机械能守恒定律机械能守恒定律 第44页，共44页，编辑于2022年，星期五