初等模型PPT讲稿.ppt

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1、初等模型第1页，共26页，编辑于2022年，星期五2.1 公平的席位分配公平的席位分配系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 6.615 3.570 21.000 21问问题题三个系学生共三个系学生共200名（甲系名（甲系100，乙系，乙系60，丙系，丙系40），代表会议共），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。席。现因学生转系，现因学

2、生转系，三系人数为三系人数为103,63,34,问问20席如何分配。席如何分配。若增加为若增加为21席，又如何分配。席，又如何分配。比比例例加加惯惯例例对对丙丙系系公公平平吗吗系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 总和总和 200 100.0 20.0 20系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4总和

3、总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21第2页，共26页，编辑于2022年，星期五“公平公平”分配方法分配方法衡量公平分配的数量指标衡量公平分配的数量指标 人数人数 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2当当p1/n1=p2/n2 时，分配公平时，分配公平 p1/n1 p2/n2 对对A的的绝对不公平度绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2

4、=100p1/n1 p2/n2=5但后者对但后者对A的的不公平程不公平程度已大大降低度已大大降低!虽二者虽二者的的绝对不绝对不公平度相同公平度相同若若 p1/n1 p2/n2，对对 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5第3页，共26页，编辑于2022年，星期五公平分配方案应使公平分配方案应使 rA,rB 尽量小尽量小设设A,B已分别有已分别有n1,n2 席，若增加席，若增加1席，问应分给席，问应分给A,还是还是B不妨设分配开始时不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2，即对即对A不公平不公平 对对A的的相对不公平度相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量类似地定义类似地定

5、义 rB(n1,n2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2，定义定义第4页，共26页，编辑于2022年，星期五1）若）若 p1/(n1+1)p2/n2，则这席应给则这席应给 A2）若）若 p1/(n1+1)p2/(n2+1)，应计算应计算rB(n1+1,n2)应计算应计算rA(n1,n2+1)若若rB(n1+1,n2)p2/n2 问：问：p1/n1rA(n1,n2+1),则这席应给则这席应给 B第5页，共26页，编辑于2022年，星期五当当 rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),该席给

6、该席给ArA,rB的定义的定义该席给该席给A否则否则,该席给该席给B 定义定义该席给该席给Q值值较大的一方较大的一方推广到推广到m方方分配席位分配席位该席给该席给Q值最大的一方值最大的一方Q 值方法值方法计算，第6页，共26页，编辑于2022年，星期五三系用三系用Q值方法重新分配值方法重新分配 21个席位个席位按人数比例的整数部分已将按人数比例的整数部分已将19席分配完毕席分配完毕甲系：甲系：p1=103,n1=10乙系：乙系：p2=63,n2=6丙系：丙系：p3=34,n3=3用用Q值方法分配第值方法分配第20席和第席和第21席席第第20席席第第21席席同上同上Q3最大，最大，第第21席席给

7、丙系给丙系甲系甲系1111席，乙系席，乙系6 6席，丙系席，丙系4 4席席Q值方法值方法分配结果分配结果公平吗？公平吗？Q1最大，最大，第第20席席给甲系给甲系第7页，共26页，编辑于2022年，星期五进一步的讨论进一步的讨论Q值方法比值方法比“比例加惯例比例加惯例”方法更公平吗？方法更公平吗？席位分配的理想化准则席位分配的理想化准则已知已知:m方人数分别为方人数分别为 p1,p2,pm,记总人数为记总人数为 P=p1+p2+pm,待分配的总席位为待分配的总席位为N。设理想情况下设理想情况下m方分配的席位分别为方分配的席位分别为n1,n2,nm(自然自然应有应有n1+n2+nm=N)，记记qi

8、=Npi/P,i=1,2,m,ni 应是应是 N和和 p1,pm 的函数，即的函数，即ni=ni(N,p1,pm)若若qi 均为整数，显然应均为整数，显然应 ni=qi 第8页，共26页，编辑于2022年，星期五 qi=Npi/P不全为整数时，不全为整数时，ni 应满足的准则：应满足的准则：记记 qi=floor(qi)向向 qi方向取整；方向取整；qi+=ceil(qi)向向 qi方向取整方向取整.1)qi ni qi+(i=1,2,m),2)ni(N,p1,pm)ni(N+1,p1,pm)(i=1,2,m)即即ni 必取必取qi,qi+之一之一即当总席位增加时，即当总席位增加时，ni不应减

9、少不应减少“比例加惯例比例加惯例”方法满足方法满足 1），但不满足），但不满足 2）Q值方法满足值方法满足 2）,但不满足但不满足 1）。令人遗憾！令人遗憾！第9页，共26页，编辑于2022年，星期五2d墙墙室室内内 T1室室外外 T2dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2问问题题双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失窗相比，减少多少热量损失假假设设热量传播只有传导，没有对流热量传播只有传导，没有对流T1,T2不变，热传导过程处于稳态不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数材料均匀，热传导系数为常数建建模模热传导定律热传导定律Q1Q2

10、Q 单位时间单位面积传导的热量单位时间单位面积传导的热量 T温差温差,d材料厚度材料厚度,k热传导系数热传导系数2.3 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效第10页，共26页，编辑于2022年，星期五dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta内层玻璃的外侧温度内层玻璃的外侧温度Tb外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度k1玻璃的热传导系数玻璃的热传导系数k2空气空气的热传导系数的热传导系数建模建模第11页，共26页，编辑于2022年，星期五记单层玻璃窗传导的热量记单层玻璃窗传导的热量Q22d墙墙室室内内 T1室室外外 T2Q2双层与单层窗传

11、导的热量之比双层与单层窗传导的热量之比k1=4 10-3 8 10-3,k2=2.5 10-4,k1/k2=16 32对对Q1比比Q2的减少量作的减少量作最保守的估计，最保守的估计，取取k1/k2=16建模建模第12页，共26页，编辑于2022年，星期五hQ1/Q24200.060.030.026模型应用模型应用取取 h=l/d=4,则则 Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可料的单层玻璃窗相比，可减少减少97%的热量损失。的热量损失。结果分析结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数

12、k2 2,而这要求空气非常干燥、不流通。而这要求空气非常干燥、不流通。房间通过天花板、墙壁房间通过天花板、墙壁 损失的热量更多。损失的热量更多。双层窗的功效不会如此之大双层窗的功效不会如此之大第13页，共26页，编辑于2022年，星期五问问题题甲有物品甲有物品X,乙有物品乙有物品Y,双方为满足更高的需要，商定双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。相互交换一部分。研究实物交换方案。yxp.用用x,y分别表示甲分别表示甲(乙乙)占有占有X,Y的数量。设交换前甲占有的数量。设交换前甲占有X的数量为的数量为x0,乙占有乙占有Y的数量为的数量为y0,作图：作图：若不考虑双方对若不考

13、虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y)都是一种交换方案：甲占有都是一种交换方案：甲占有(x,y)，乙占有，乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0 xo2.6 实物交换实物交换第14页，共26页，编辑于2022年，星期五xyyoy1y20 x1x2xop1p2.甲的无差别曲线甲的无差别曲线分析与建模分析与建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)与占有与占有(x2,y2)具有具有同样的满意程度，即同样的满意程度，即p1,p2对甲是对甲是无差别的，无差别的，MN将将所有与所有与p1,p2无差别的点连接无差别的点连接起来，得到一条起来，得到一条无差别曲线无差别曲线MN,

14、线上各点的满意度相同线上各点的满意度相同,线的形状反映对线的形状反映对X,Y的偏爱程度，的偏爱程度，N1M1p3(x3,y3).比比MN各点满意度更高的点如各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线，在另一条无差别曲线M1N1上。于是上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。形成一族无差别曲线（无数条）。第15页，共26页，编辑于2022年，星期五p1.p2.c1 y0 xf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：无差别曲线族的性质：单调减单调减(x增加增加,y减小减小)下凸下凸(凸向原点凸向原点)互不相交互不相交在在p1点占有点占有x少、少、y多，宁多，宁愿以较多的愿以较多的 y换取较少换取较少的

15、的 x;在在p2点占有点占有y少、少、x多，就多，就要以较多的要以较多的 x换取较少换取较少的的 y。甲的无差别曲线族记作甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1满意度满意度（f 等满意度曲线）等满意度曲线）第16页，共26页，编辑于2022年，星期五xyOg(x,y)=c2c2 乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同性质具有相同性质（形状可以不同）（形状可以不同）双方的交换路径双方的交换路径xyyoOxof=c1Oxyg=c2乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g=c2(坐标系坐标系xOy,且反向）且反向）甲的无差别曲线族甲的无差别曲线族 f=c1ABp P 双方满意的

16、交换方案必在双方满意的交换方案必在AB（交换路径）上（交换路径）上因为在因为在AB外的任一点外的任一点p,(双方双方)满意度低于满意度低于AB上的点上的点p两族曲线切点连线记作两族曲线切点连线记作AB第17页，共26页，编辑于2022年，星期五ABp 交换方案的进一步确定交换方案的进一步确定交换方案交换方案 交换后甲的占有量交换后甲的占有量(x,y)0 x x0,0 y y0矩形矩形内任一点内任一点交换路径交换路径AB双方的无差别曲线族双方的无差别曲线族等价交换等价交换原则原则X,Y用货币衡量其价值，设交换前用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交价值相同，则等价交换原

17、则下交换路径为换路径为CD(x0,0),(0,y0)两点的连线两点的连线CDAB与与CD的的交点交点p设设X单价单价a,Y单价单价b,则等价交换下则等价交换下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0 xo.x第18页，共26页，编辑于2022年，星期五2.7 核军备竞赛核军备竞赛 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。，核军备竞赛不断升级。随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。裁军协议。在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存

18、在暂在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。时的平衡状态。当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。平衡状态会发生什么变化。估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。些因素影响。背背景景第19页，共26页，编辑于2022年，星期五以双方以双方(战略战略)核导弹数量描述核军备的大小。核导弹数量描述核军备的大小。假定双方采取如下同样的假定双方采取如下同样的核威慑战略：核威慑战略：认为对方可能发起所谓第

19、一次核打击，即倾其全部核导弹认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；攻击己方的核导弹基地；乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。方重要目标以毁灭性的打击。在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。的一个核导弹基地。摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。另一方的防御能力决定。模模型型假假设设第20页，共26页，编辑于

20、2022年，星期五图图的的模模型型y=f(x)甲方有甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数枚导弹，乙方所需的最少导弹数x=g(y)乙方有乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数枚导弹，甲方所需的最少导弹数当当 x=0时时 y=y0，y0乙方的乙方的威慑值威慑值xyy00y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数工业、交通中心等目标所需导弹数x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全区乙安全区甲安甲安全区全区双方双方安全区安全区P平衡点平衡点(双方最少导弹数双方最少导弹数)乙安

21、全线乙安全线第21页，共26页，编辑于2022年，星期五精细精细模型模型乙方乙方残存率残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。基地未被摧毁的概率。sx个基地未摧毁，个基地未摧毁，yx个基地未攻击。个基地未攻击。xy甲方以甲方以 x攻击乙方攻击乙方 y个基地中的个基地中的 x个个,y0=sx+yxx=yy0=sy乙的乙的xy个被攻击个被攻击2次，次，s2(xy)个未摧毁；个未摧毁；y(xy)=2y x个被攻击个被攻击1次，次，s(2y x)个未摧毁个未摧毁y0=s2(xy)+s(2y x)x=2yy0=s2yyx2yy=y0+(1-s)xy=y

22、0/sy=y0/s2第22页，共26页，编辑于2022年，星期五 a交换比交换比(甲乙导弹数量比甲乙导弹数量比)x=a y,精细模精细模型型x=y,y=y0/sx=2y,y=y0/s2y0威慑值威慑值s残存率残存率y=f(x)y是一条上凸的曲线是一条上凸的曲线y0变大，曲线上移、变陡变大，曲线上移、变陡s变大，变大，y减小，曲线变平减小，曲线变平a变大，变大，y增加，曲线变陡增加，曲线变陡xy0y0 xy,y=y0+(1-s)xx=yx=2yyx2y,第23页，共26页，编辑于2022年，星期五 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标乙方威慑值乙方

23、威慑值 y0变大变大xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。（其它因素不变）（其它因素不变）乙安全线乙安全线 y=f(x)上移上移模型解释模型解释 平衡点平衡点PP第24页，共26页，编辑于2022年，星期五 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架乙安全线乙安全线y=f(x)不变不变甲方残存率变大甲方残存率变大威慑值威慑值x 0和交换比不变和交换比不变x减小，甲安全线减小，甲安全线x=g(y)向向y轴靠近轴靠近xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)

24、模型解释模型解释 甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少PP第25页，共26页，编辑于2022年，星期五 双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标(x,y仍为双方核导弹的数量仍为双方核导弹的数量)双方威慑值减小，残存率不变，交换比增加双方威慑值减小，残存率不变，交换比增加y0减小减小 y下移且变平下移且变平xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)a 变大变大 y增加且变陡增加且变陡双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析模型解释模型解释 乙安全线乙安全线 y=f(x)第26页，共26页，编辑于2022年，星期五