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1、4-1 4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.1.1 根轨迹 反馈控制系统的性质取决于闭环传递函数。只要求解出闭环系统的特征根，系统响应的变化规律就知道了。但是对于3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可变参数时，求根就更困难了。第1页/共81页 1948年，伊凡思伊凡思提出了一种确定系统闭环特征根的图解法根轨迹法根轨迹法。在已知开环零极点开环零极点分布的基础上，当某些参数变化时，利用该图解法可以非常方便的确定闭环极点。定义：定义：当系统开环传递函数中某一参数从0时，闭环系统特征根在s 平面上的变化轨迹，就称作系统根轨迹系统根轨迹。一般取开环传递系数开环传递系数（根轨迹增益Kg
2、）作为可变参数。第2页/共81页式中，K为系统的开环比例系数。Kg=2K 称为系统的开环根轨迹增益根轨迹增益。系统的闭环传递函数为：举例说明：已知系统的结构图，分析举例说明：已知系统的结构图，分析0 0 K K ，闭环特征根在，闭环特征根在s s平面上的移动路径及其平面上的移动路径及其特征。特征。Ks(0.5s+1)+R(s)C(s)解：系统的开环传递函数为一定要写一定要写成零极点成零极点表达式表达式第3页/共81页 系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为：s2+2s+Kg=0 求得闭环特征根为：求得闭环特征根为：(1)Kg=0：s1=0,s2=2,是根迹的起点(开环极点开环极点),用“”表
3、示。2 j 01(2)0 Kg1：Kg=0Kg=0Kg=1KgKg第4页/共81页 根据根据2阶系统根轨迹的特点，可以推得阶系统根轨迹的特点，可以推得n阶系统，会有如下的阶系统，会有如下的结论：结论：（1）n阶系统有阶系统有n个根，根轨迹有个根，根轨迹有n条分支条分支；（2）每条分支的起点）每条分支的起点(Kg=0)位于开环极点处；位于开环极点处；（3）各分支的终点）各分支的终点(Kg)或为开环零点处或为无限点；或为开环零点处或为无限点；（4）重根点，称为分离点或汇合点。）重根点，称为分离点或汇合点。2 j 01Kg=0Kg=0Kg=1KgKg根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能1.稳定性 当Kg
4、从0 时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入s右半平面，因此二阶系统对所有的Kg值都是稳定的。第5页/共81页 如果高阶系统的根轨迹有可能进入s 右半平面，此时根迹与虚轴交点处的Kg 值，成为临界开环增益临界开环增益。2.2.稳态性能稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，系统属于1 1 型型系统，因而根规迹上的Kg 值就是静态速度误差系数Kv。如果给定系统对ess 有要求，则对Kg有要求，由根迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。2 j 01Kg=0Kg=0Kg=1KgKg第6页/共81页2 j 01Kg=0Kg=0Kg=1KgKg3.3.动态性能动态性能 由图可见，当当0 0 KgKg 1 1Kg
5、 1时，闭环极点为一对共轭复数极点，系统为欠阻尼欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程。第7页/共81页4.1.2 4.1.2 4.1.2 4.1.2 根轨迹方程根轨迹方程根轨迹方程根轨迹方程 研究下图所示反馈控制系统的一般结构。系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为G(s)R(s)C(s)+H(s)该系统的闭环特征方程为该系统的闭环特征方程为:D(s)=1 G(s)H(s)=0 或或 G(s)H(s)=1若将系统的开环传递函数G(s)H(s)写成如下形式：一定要写一定要写成零极点成零极点表达式表达式第8页/共81页 式中K Kg g为系统的根迹增益，为系统的根迹增益，z zi i 为系统的
6、为系统的开环开环零点，零点，p pj j为系统的为系统的开开环环极点极点。上述方程又可写为：“-”“-”号，对应负反馈，号，对应负反馈，“+”+”号对应正反馈。号对应正反馈。由于满足上式的任何s都是系统的闭环极点，所以当系统的结构参数，如Kg在某一范围内连续变化时，由上式制约的s在s平面上描画的轨迹就是系统的根轨迹。因此上式称之为系统的根轨迹方程根轨迹方程。根轨迹的幅值方程：第9页/共81页根轨迹的幅角方程：根轨迹的幅角方程：式中，k=0，1，2，（全部整数）。（4-6）通常称为180 180 根轨迹；根轨迹；（4-7）称作称作 0 0 根轨迹。根轨迹。根据这两个条件，可完全确定s平面上根轨迹
7、及根轨迹上任一点对应的Kg值。幅角条件幅角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件充要条件，因此，绘制根轨迹时，只需要使用幅角条件；而当需要确定根轨迹上各点的Kg值时，才使用幅值条件。“-”“-”号，对应负反馈号，对应负反馈“+”+”号对号对应正反馈应正反馈第10页/共81页 下面看看怎样按上式表示的幅值条件和幅角条件绘制系统的闭环根轨迹图。下面看看怎样按上式表示的幅值条件和幅角条件绘制系统的闭环根轨迹图。已知负反馈系统开环零极点分布如图示。p2p3 j 0p1z1s11123 在在s平面找一点平面找一点s1，画出各开环零、极点到画出各开环零、极点到s1点的向量。点的向量。检验s1是否满足幅角条件：
8、(s1 z1)(s1 p1)+(s1 p2)+(s1 p3)=1 1 2 3=(2k+1)？如果s1点满足幅角条件，则是根轨迹上的一点。寻找第11页/共81页在s 平面内满足幅角条件的所有s1 点，将这些点连成光滑曲线，即是闭环系统根轨迹。在1948年，伊凡思（W.R.Evdns）提出了用图解法绘制根迹的一些基本法则基本法则，可以迅速绘制闭环系统的根轨迹草图，在根轨迹草图的基础上，必要时可用幅角条件使其精确化，从而使整个根规迹的绘制过程大为简化。第12页/共81页4-2 4-2 绘制系统根轨迹的基本法则绘制系统根轨迹的基本法则4.2.1 绘制180根轨迹的基本法则 法则法则1 1 根轨迹的连续
9、性根轨迹的连续性 由于根轨迹增益是连续的，根也是连续的，根轨迹当然也是连由于根轨迹增益是连续的，根也是连续的，根轨迹当然也是连续的。利用这一性质，只要精确画出几个特征点，描点连线即可续的。利用这一性质，只要精确画出几个特征点，描点连线即可画出整个根轨迹。画出整个根轨迹。180180根轨迹的幅值方程：根轨迹的幅值方程：根轨迹的幅角方程：根轨迹的幅角方程：在下面的讨论中，假定系统变化的参数是开环根轨迹增益Kg，这种根轨迹习惯上称之为常规根轨迹常规根轨迹。绘制常规根轨迹的基本方法如下：第13页/共81页法则法则2 2 根轨迹的对称性根轨迹的对称性 由于闭环特征根是实数或者共轭复数，因此根轨迹是由于闭
10、环特征根是实数或者共轭复数，因此根轨迹是关于实轴对称的。利用这一性质，只要绘制出实轴上部关于实轴对称的。利用这一性质，只要绘制出实轴上部的根轨迹，实轴下部的根轨迹可由对称性绘出。的根轨迹，实轴下部的根轨迹可由对称性绘出。法则法则3 3 根轨迹的条数根轨迹的条数 n阶系统，其闭环特征方程有n个根。当Kg 从0连续变化时，n个根将绘出有n条轨迹分支。因此根轨迹的条数或分支数等于其闭环特征根的个数，即系统的阶数。第14页/共81页 j 0K=0K=0KK 0j 0jKg Kg Kg 第15页/共81页 0 j 0 j-1-2 j1第16页/共81页法则法则4 4 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点
11、 根轨迹起始于系统开环极点，根轨迹起始于系统开环极点，终止于系统开环零点。终止于系统开环零点。根轨迹上KgKg=0=0的点为起点，KgKg时的点为终点。1+G(s)H(s)=0证明：当当 Kg=0 时，有时，有 s=pj (j=1,2,n)上式说明上式说明Kg=0时，闭环特征方程的根就是开环极点。时，闭环特征方程的根就是开环极点。第17页/共81页 当 Kg 时，有 s=zi (i=1,2,m)所以根轨迹必终止于开环零点。在实际系统中，开环传函中 m n，有m 条根轨迹终点为开环零点处，另有nm条根轨迹的终点将在无穷远处，可以认为有有n n mm 个无穷远处的开环零点个无穷远处的开环零点。将特
12、征方程改写为：第18页/共81页法则法则5 5 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 根据法则法则4 4，当开环传递函数中m 0Kg0否？否？)分分离点上根轨迹的分离角为离点上根轨迹的分离角为90。0j 如果方程的阶次高时，可用如果方程的阶次高时，可用试探法试探法确定分离点。确定分离点。d1=0.472第28页/共81页 例例4-34-3 已知系统开环传函为已知系统开环传函为试绘制系统的根轨迹。试绘制系统的根轨迹。解：解：0jd=2.5 左左=0.67 右右=0.4d=2.01 左左=0.99 右右=99.49d=2.25 左左=0.8 右右=3.11d=2.47 左左=0.68 右右=0.65d=2
13、.47第29页/共81页法则法则8 8 根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点 若根轨迹与虚轴相交（临界稳定状态），则交点上的坐标（包包括闭环极点和临界增益括闭环极点和临界增益）可按下述两种方法求出：方法一：在系统的闭环特征方程方法一：在系统的闭环特征方程D D(s s)=0)=0中，令中，令s s=j j，D D(jj)=0=0的解即是交点坐标。的解即是交点坐标。方法二：由劳斯稳定判据求出。例4-5 求例4-1系统的根轨迹与s平面虚轴的交点的交点坐标。解：方法一：方法一：s3+6s 2+5s +Kg=0令令s=j，则，则 (j)3+6(j)2+5(j)+Kg=0第30页/共81页 3+5=0 62
14、+Kg=0Kg=0(起点，舍去起点，舍去)，Kg=30方法二：方法二：s3+6s 2+5s +Kg=0劳斯表为劳斯表为s3 1 5s2 6 Kgs1 (30 Kg)/6s0 Kg 当当Kg=30时，时，s1行全零，劳斯表第一列不变号，系统行全零，劳斯表第一列不变号，系统存在共轭虚根。共轭虚根可由存在共轭虚根。共轭虚根可由s2行的辅助方程求出：行的辅助方程求出：6s 2+Kg=0(j)3+6(j)2+5(j)+Kg=0第31页/共81页 0 j d=0.472 Kg=30Kg Kg Kg j2.24 Kg=30第32页/共81页法则法则9 9 根轨迹的出射角与入射角根轨迹的出射角与入射角根轨迹离
15、开开环复数极点开环复数极点处的切线与正实轴方向的夹角，称为出射角(起始角)，用 根轨迹进入开环复数零点开环复数零点处的切线与正实轴方向的夹角，称为入射角(终止角)，用 表示；求出这些角度可按如下关系表示。证明：设开环系统有一对共轭复数极点证明：设开环系统有一对共轭复数极点px,x+1。在十分靠近待。在十分靠近待求起始角的复数极点求起始角的复数极点px 的根轨迹上取一点的根轨迹上取一点s1。“加零去余极加零去余极”“加极去余零加极去余零”第33页/共81页pxPx+1 j 0s1 由于由于s1无限接近无限接近 px，因此，除，因此，除px 外，所有其它开环零、极点到外，所有其它开环零、极点到s1
16、点的向量幅角，都可以用它们到点的向量幅角，都可以用它们到px 的向量幅角来代替，而的向量幅角来代替，而px到到s1点点的向量幅角即为起始角。根据的向量幅角即为起始角。根据s1点点必满足幅角条件，应有必满足幅角条件，应有移项后，立即得到法则中的公式。证毕第34页/共81页 0 j-1-2 j1试绘制出系统的根轨迹。试绘制出系统的根轨迹。解：解：例例4-44-4 设负反馈系统的开环传递函数为设负反馈系统的开环传递函数为起始角与终止角起始角与终止角 1 2 3 1 3 2=180 +1+2+3 1 2 3=180 +56.5 +19 +59 108.5 37 90 =79 第35页/共81页 0 j
17、-1-2 j1=180 117 90 +153 +63.5 +119 +121 =149.5 第36页/共81页试绘制出系统的根轨迹。试绘制出系统的根轨迹。解：三个开环极点解：三个开环极点 p1=0、p2,3=1 j 渐近线：渐近线：3条条 0 j例例4-6 4-6 设负反馈系统的开环传递函数为设负反馈系统的开环传递函数为第37页/共81页 根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点：系统的闭环特征方程为：系统的闭环特征方程为 s3+2s2+2s +Kg=0 劳斯表劳斯表s3 1 2s2 2 Kgs1 (4 Kg)/2s0 Kg 令令s1系数为系数为0，得，得 Kg=4代入辅助方程代入辅助方程 2s2+
18、Kg=0 实轴上根轨迹：(，0)，即整个负实轴。出射角：第38页/共81页绘制出系统根轨迹如图所示。0 j12Kg Kg Kg j1.414 Kg=4-45-45第39页/共81页法则法则10 10 闭环极点的和与积闭环极点的和与积 绘制根轨迹，或利用根轨迹进行系统性能分析时，可利用该法则。若开环传函分母阶次n比分子阶次m高2次或2次以上，即n m 2，则系统闭环极点之和等于其开环极点之和系统闭环极点之和等于其开环极点之和。证明：式中(韦达定理韦达定理)第40页/共81页根据高阶方程系数与根的关系式，根据高阶方程系数与根的关系式，若若n m 2，则，则 利用上述基本法则，可以迅速绘制闭环系统的
19、根轨迹草图，对需要准确绘制的根轨迹，可根据幅角方程条件使其精确化，一般而言，靠近虚轴或原点附件的根轨迹对分析系统的性能至关重要靠近虚轴或原点附件的根轨迹对分析系统的性能至关重要，应尽可能的准确绘制。证毕 -a1称为系统闭环极点或开环极点的重心重心。表明当Kg变化时，一些根增大时，另一些必然减小；即一些根轨迹右行，一些必然左行，重心保持不变。1 1）根的分量之和是一个与）根的分量之和是一个与Kg Kg 无关的常数；无关的常数；2 2）各分支要保持总和平衡，走向左右对称。）各分支要保持总和平衡，走向左右对称。第41页/共81页试绘制出系统的根轨迹。试绘制出系统的根轨迹。解：解：例4-7 设负反馈系
20、统的开环传递函数为一定要写一定要写成零极点成零极点表达式表达式第42页/共81页 0 j-1-2 j1 d=0.59(舍去舍去)d=3.41 结论：由两个极点和一个有限零点组成的开环系统，只只要有限零点没有位于两个实数极点之间要有限零点没有位于两个实数极点之间，当K从0 时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点为半径的一个圆，或圆的一部分。d第43页/共81页 0 j-1-4-2 j1试绘制出系统的根轨迹。试绘制出系统的根轨迹。解：解：例4-8 设负反馈系统的开环传递函数为渐近线：渐近线：a=2 a=45,135 分离点：d=2 d=2 j2.45与虚轴交点：Kg=26
21、0 s=j3.16第44页/共81页4.2.2 04.2.2 0 根轨迹的基本法则根轨迹的基本法则此时研究正反馈系统，系统的特征方程式为此时研究正反馈系统，系统的特征方程式为 D(s)=1 G(s)H(s)=0或或此时的根轨迹称为0 0 根轨迹。根轨迹。第45页/共81页根轨迹的幅角方程：根轨迹的幅角方程：根轨迹的幅值方程：绘制0根轨迹的基本法则如下：法则法则1 1 根轨迹的连续性同根轨迹的连续性同180180 根轨迹。根轨迹。法则法则2 2 根轨迹的对称性同根轨迹的对称性同180180 根轨迹。根轨迹。法则法则3 3 根轨迹的条数同根轨迹的条数同180180 根轨迹。根轨迹。法则法则4 4
22、根轨迹的起点根轨迹的起点(K Kg g=0)=0)和终点和终点(K Kg g)同同180180 根轨迹。根轨迹。显然显然0 0 根轨迹的幅值方程与根轨迹的幅值方程与180180 根轨迹的完全相同，只是幅角根轨迹的完全相同，只是幅角相差一个相差一个，因此只要把，因此只要把18180 0 根轨迹法则中，与幅角相关的项进行根轨迹法则中，与幅角相关的项进行修正，即可获得绘制修正，即可获得绘制0 0 根轨迹的基本法则。根轨迹的基本法则。第46页/共81页法则法则5 5 根轨迹的渐近线。根轨迹的渐近线。当开环传函中m a；（3）b=a （4）ba时，起始于时，起始于坐标原点的两条根轨迹的坐标原点的两条根轨
23、迹的渐近线位于右半渐近线位于右半s平面，系平面，系统结构不稳定。统结构不稳定。0 ja(ba)/2 0 jb第66页/共81页 （3）b=a时，起始于坐标原点的两条根轨迹为与虚轴上，系统临界稳定。P=-a和z=-b构成开环偶极子。j 0 jb=-a第67页/共81页 （4）ba时，起始于坐标原点的两条根轨迹的渐近线位于左半s平面，系统结构稳定。0 ja(ba)/2 0 jb第68页/共81页 （5）b=0，a为有限量时，系统为没有开环零点的二阶系统，结构稳定。j 0 j-a-a/2第69页/共81页 从上例可以看出，增加一个开环零点对系统的根轨迹有如下影响：（1）改变了实轴上根轨迹的分布。（2
24、）改变了根轨迹渐近线的条数、与实轴交点的坐标及夹角的大小。（3）使系统的根轨迹向左偏移。提高了系统的稳定度，有利于改善系统的动态特性。（4）开环零点和极点重合或相近时，二者构成开环偶极子,抵消有损系统性能的极点对系统的不利影响。2.2.开环极点对根轨迹的影响开环极点对根轨迹的影响 分析例4-10的根轨迹图可以看出，增加一个开环极点对系统的根轨迹有如下影响：（1）改变了实轴上根轨迹的分布。第70页/共81页 （2）改变了根轨迹渐近线的条数、与实轴交点的坐标及夹角的大小。（3）使系统的根轨迹向右偏移。降低了系统的稳定度，有损于系统的动态特性，使得系统相应的快速性变差。3.3.开环偶极子对根轨迹的影
25、响开环偶极子对根轨迹的影响 开环偶极子(零极点重合或相近)，提供相同的幅角和幅值，根据根轨迹方程，对根轨迹的影响为：（1）开环偶极子不影响根轨迹的形状；（2）开环偶极子不影响根轨迹上各点的根轨迹增益值，但可能影响根轨迹上各点开环比例系数的值；（3）合理配置偶极子中的开环零极点，可以在不影响动态性能的基础上，改善系统的稳态性能。第71页/共81页P126，式，式3-111；p153,式式4-2增加一对离原点很近的零极点构成开环偶极子，则增加一对离原点很近的零极点构成开环偶极子，则若取若取zc=-0.1,pc=-0.01,则则Kc=10K。不影响动态性不影响动态性能但提高了稳态性能能但提高了稳态性
26、能第72页/共81页学习指导与小结 1.基本要求 通过本章学习，应当做到：（1）掌握开环根轨迹增益Kg变化时系统闭环 根轨迹的绘制方法。理解和熟记根轨迹的绘制法则。会利用幅值方程求特定的Kg值。（2）了解闭环零、极点的分布和系统阶跃响应的定性关系及系统根轨迹分析的基本思路。（3）掌握0根轨迹、参变量根轨迹及非最小相位根轨迹绘制的基本思路和方法。2.内容提要 本章主要介绍了根轨迹的基本概念、控制系统根轨迹的绘制方法以及根轨迹法在控制系统分析中的应用。第73页/共81页系统根轨迹的幅值方程为系统根轨迹的幅值方程为系统根轨迹的幅角方程为系统根轨迹的幅角方程为 1）根轨迹的基本概念）根轨迹的基本概念
27、根轨迹是当系统中某参数由根轨迹是当系统中某参数由0变化时，系统的闭环变化时，系统的闭环极点在极点在s平面上移动的轨迹。平面上移动的轨迹。2 2）根轨迹方程）根轨迹方程 负反馈系统根轨迹方程的一般形式为负反馈系统根轨迹方程的一般形式为第74页/共81页 3）绘制系统轨迹的基本法则）绘制系统轨迹的基本法则 根据系统的根轨迹方程式，按照绘制系统根轨迹的基根据系统的根轨迹方程式，按照绘制系统根轨迹的基本法则，即可由系统开环零极点的分布直接绘制出闭环系本法则，即可由系统开环零极点的分布直接绘制出闭环系统的概略根轨迹。统的概略根轨迹。4）控制系统的根轨迹分析）控制系统的根轨迹分析 控制系统的根轨迹分析即应
28、用闭环系统的根轨迹图，控制系统的根轨迹分析即应用闭环系统的根轨迹图，分析系统的稳定性、计算系统的动态性能和稳态性能，或分析系统的稳定性、计算系统的动态性能和稳态性能，或在根轨迹图上可以进行反馈系统的综合或校正。在根轨迹图上可以进行反馈系统的综合或校正。5）附加开环零极点对根轨迹的影响）附加开环零极点对根轨迹的影响 根轨迹是根据开环零极点的分布绘制的，系统开环根轨迹是根据开环零极点的分布绘制的，系统开环零极点的分布影响着根轨迹的形状。通过附加零极点，可零极点的分布影响着根轨迹的形状。通过附加零极点，可以改造系统根轨迹的形状，使系统具有满意的性能指标。以改造系统根轨迹的形状，使系统具有满意的性能指
29、标。第75页/共81页 第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法1 基本知识点 A 根轨迹的概念，根轨迹方程p151；B 绘制1800，00根轨迹的法则；p155；C 参变量系统，非最小相位系统根轨迹的绘制p167；D 根轨迹分析方法：闭环零极点确定，开环零极点对根轨迹的影响p170；2 有关例题一、设系统的开环传递函数为，画根轨迹草图，判系统的稳定性。（12分）解：跟轨迹图（略）。系统为：不稳定 二、设某控制系统的开环传递函数为试绘制参量Kg由0变至时的根轨迹图，并求开环增益临界值。（15分）第76页/共81页解：1）2）3）三（12分）一单位负反馈系统的开环传递函数为绘制系统当a从到变化时的
30、根轨迹；（要求有主要过程，并将必要的数值标在图上）求系统单位阶跃响应无超调时a的取值范围。1 系统的闭环特征方程 s(s+a)+3=0 根轨迹方程 得会合点 d=-1.73出射角 =180-90+90=180绘出根轨迹如图。第77页/共81页 2系统无超调，闭环极点应在负实轴上。会合点的增益为=3.46 a的取值范围为 3.46a 结论：由两个极点和一个有限零点组成的开环系统，只结论：由两个极点和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个要有限零点没有位于两个实数极点实数极点之间，当之间，当K K从从0 0 时，时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点为半径的一个圆，或圆的一部分。点到分离点为半径的一个圆，或圆的一部分。0 j-1-2 j1d j2-j2-j1第78页/共81页课外作业：课外作业：系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为：试作出试作出K（由（由0）时的系统闭环根轨迹。）时的系统闭环根轨迹。第79页/共81页O(_)O谢谢第80页/共81页感谢您的观看！第81页/共81页