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1、第四章 根轨迹分析法n根轨迹法概述控制系统设计的主要方法之一；确定闭环系统的零点、极点的分布与开环传递函数零点、极点的关系；研究分析系统参数的变化对系统特征根的影响；根轨迹是一种图解法，它是根据系统开环传递函数的零点、极点分布情况，用作图法简便的求得闭环系统的特征根与系统参数值（如开环增益）间的关系。第1页/共90页第一节 根轨迹的基本概念 当系统的某个参数变化时，特征方程的根随之在S平面上移动，系统的性能也跟着变化。研究S 平面上根的位置随参数变化的规律及其与系统性能的关系是根轨迹分析法的主要内容。第四章 根轨迹分析法第2页/共90页一、根轨迹设系系统的的结构如构如图闭环特征方程式特征方程式
2、 特征方程的根特征方程的根 得相得相应的的闭环特征根特征根值:s2+2s+Kr C(s)R(s)=Kr s2+2s+Kr=0-Krs(s+2)R(s)C(s)s1.2 1-Kr=-1 Kr s1 s2 0 0 -2 -1 1 -12 -1+j -1-j -1+j -1-j Kr变化化时,闭环特征特征根在根在s平面上的平面上的轨迹迹:-1-21-1 s1 s2j0 Kr=01 Kr Kr 从根从根轨迹可知迹可知:(1)左半平面左半平面为稳定定 极点；右半平面极点；右半平面为 不不稳定极点；虚定极点；虚轴 上上为临界极点。界极点。(2)0Kr1时，系，系统 有呈有呈过阻尼状阻尼状态。(3)当当Kr
3、=1时，系，系统 呈呈临界阻尼状界阻尼状态。(4)1Kr0k0k0k0的的的的值值是是是是稳稳定的。定的。定的。定的。n稳态稳态性能性能性能性能：如：如：如：如图图有一个开有一个开有一个开有一个开环环极点极点极点极点s=0s=0s=0s=0，说说明属于明属于明属于明属于I I I I型系型系型系型系统统，阶跃阶跃作用作用作用作用下的下的下的下的稳态误稳态误差差差差为为0 0 0 0。n动态动态性能性能性能性能：过过阻尼阻尼阻尼阻尼 临临界阻尼界阻尼界阻尼界阻尼 欠阻欠阻欠阻欠阻尼。尼。尼。尼。K K K K越大，阻尼比越大，阻尼比越大，阻尼比越大，阻尼比 越小，超越小，超越小，超越小，超调调量
4、量量量%越大。越大。越大。越大。-1-21-1 s1 s2j0 Kr=01 Kr Kr 第6页/共90页第一节 根轨迹的基本概念 三、闭环零、极点与开环零、极点的关系G(S)H(S)-R(s)C(s)系系统传递函数函数为前向通路前向通路传递函数函数其中：其中：前向通路增益前向通路增益前向通路根前向通路根轨迹增益迹增益第7页/共90页第一节 根轨迹的基本概念 反反馈通路通路传递函数函数G(S)H(S)-R(s)C(s)开开环传递函数函数第8页/共90页闭环传递函数函数结论结论闭环闭环系系系系统统根根根根轨轨迹增益迹增益迹增益迹增益，等于开，等于开，等于开，等于开环环系系系系统统前向通路根前向通路
5、根前向通路根前向通路根轨轨迹增益。迹增益。迹增益。迹增益。对对于于于于单单位反位反位反位反馈馈系系系系统统，闭环闭环系系系系统统根根根根轨轨迹增益等于开迹增益等于开迹增益等于开迹增益等于开环环系系系系统统根根根根轨轨迹益。迹益。迹益。迹益。闭环闭环零点零点零点零点有有有有前向通道零点前向通道零点前向通道零点前向通道零点和和和和反反反反馈馈通道极点通道极点通道极点通道极点构成，构成，构成，构成，对对于于于于单单位反位反位反位反馈馈系系系系统统，闭环闭环零点零点零点零点就是开就是开就是开就是开环环零点。零点。零点。零点。闭环闭环极点极点极点极点与与与与开开开开环环零点零点零点零点，开开开开环环极点
6、极点极点极点及及及及开开开开环环根根根根轨轨迹增益迹增益迹增益迹增益有关。有关。有关。有关。第一节 根轨迹的基本概念 第9页/共90页四、根轨迹方程设系系统的的结构如构如图系系统闭环传递函数函数为 开开环传递函数的函数的 一般表达式一般表达式为C(s)R(s)=G(s)1+G(s)H(s)Krj=1 n(s-zi)(s-pj)G(s)H(s)=i=1m根根轨迹增益迹增益开开环传递函数零点函数零点开开环传递函数极点函数极点-R(s)G(s)H(s)C(s)闭环特征方程式特征方程式为 即即 1+G(s)H(s)=0G(s)H(s)=-1根根轨迹方程迹方程为 满足开足开环传递函数等于函数等于-1 的
7、的 s 即即为闭环特征方程特征方程式的根。式的根。根根轨迹方程又可迹方程又可分解分解为幅幅值方程和方程和相角方程。相角方程。即即幅幅值方程方程 Krj=1 n(s-zi)(s-pj)=1i=1m或或 相角方程相角方程 K=(0,1,2)mnj=1(s-zi)i=1(s-pj)=(2k+1)Kr1j=1 n(s-zi)(s-pj)=i=1m=-1Kri=1m(s-zi)j=1n(s-pj)当当s s 满足相角方程足相角方程时，必然能找到一个必然能找到一个K Kr r值，使得，使得该 s s 满足幅足幅值方程。方程。所有所有满足相角方程的足相角方程的s s 构成了构成了闭环特征方程式根特征方程式根
8、的的轨迹。迹。第一节 根轨迹的基本概念 注注n相角条件是确定相角条件是确定相角条件是确定相角条件是确定S S S S平面上根平面上根平面上根平面上根轨轨迹的充要条件迹的充要条件迹的充要条件迹的充要条件，即，即，即，即绘绘制根制根制根制根轨轨迹迹迹迹时时，只需使用相角条件；，只需使用相角条件；，只需使用相角条件；，只需使用相角条件；n当需要确定根当需要确定根当需要确定根当需要确定根轨轨迹上各点的迹上各点的迹上各点的迹上各点的 时时，才使用模植条，才使用模植条，才使用模植条，才使用模植条件。件。件。件。第10页/共90页第一节 根轨迹的基本概念 结论n相角方程相角方程：所有：所有开开环零点零点指向
9、指向任一任一闭环极点极点（根（根轨迹上任一点）的向量与正迹上任一点）的向量与正实轴的的夹角之和减去所有角之和减去所有开开环极点极点指向指向同一同一闭环极点极点的向量与正的向量与正实轴的的夹角之和角之和满足足(2k+1)(2k+1)相角方程的物理意义第11页/共90页模模值方程的物理意方程的物理意义结论n模模值方程方程：所有：所有开开环零点零点指向指向任一任一闭环极点极点的的向量向量的的长度之度之积与所有开与所有开环极点指向极点指向同一同一闭环极点极点的的向向量量的的长度之度之积的比等于开的比等于开环根根轨迹增益倒数。迹增益倒数。第一节 根轨迹的基本概念 第12页/共90页根据根据根据根据相角条
10、件相角条件相角条件相角条件判断某点是否在根判断某点是否在根判断某点是否在根判断某点是否在根轨轨迹上！迹上！迹上！迹上！s1 z1 z2 p3 p2 p1 问题判断判断s s1 1是否根是否根轨迹上的点迹上的点?第一节 根轨迹的基本概念 第13页/共90页例 已知系统的开环传递函数，根据相角方程确定系统的根轨迹图。Krs(s+2)G(s)=解：解：开开环零、极点分布零、极点分布为：j0-2 p1 p2该系系统的相角方程的相角方程为：-2j=1(spj)=(2k+1)s1 设实轴上任意点上任意点s1 s1与开与开环零、极点之零、极点之间的矢量的矢量：12s1的相角方程的相角方程为：-2j=1(s1
11、pj)=-180s1为根根轨迹上的点。迹上的点。p1p2 为根根轨迹段。迹段。=-1-2第一节 根轨迹的基本概念 第14页/共90页j0-2 p1 p2s2 设复平面开复平面开环极点中极点中线上任意点上任意点s2 s2与开与开环零、极点之零、极点之间的矢量：的矢量：12s2的相角方程的相角方程为：-2j=1(s2pj)=-180=-1-(180o-1)=-1-2 中中线上的点都是根上的点都是根轨迹上的点迹上的点。设任意点任意点s3s3s3的相角方程的相角方程为：12-2j=1(s3pj)=-1-2-180 s3 不是根不是根轨迹上的点迹上的点。根据相角方程得系根据相角方程得系 统的根的根轨迹迹
12、为：第一节 根轨迹的基本概念 第15页/共90页第二节 根轨迹绘制的基本法则 第四章 线性系统的根轨迹法 根据根根据根轨迹的基本特征和关迹的基本特征和关键点，就能比点，就能比较方方便地近似便地近似绘制出根制出根轨迹曲迹曲线。根据根根据根轨迹方程，无需迹方程，无需对闭环特征方程式求特征方程式求解，只需解，只需寻找所有找所有满足相角方程的足相角方程的s s，便可得到，便可得到闭环特征方程式根的特征方程式根的轨迹。同迹。同时，可由幅，可由幅值方程方程来确定根来确定根轨迹所迹所对应的的K Kr r值。根根轨迹基本特征迹基本特征为以下八条：以下八条：第16页/共90页j01.起点起点根根轨迹方程：迹方程
13、：则一、根轨迹的起点和终点Kr=0s=pj 根根轨迹起始于开迹起始于开环传递函数的极点函数的极点 即即Krs(s+2)G(s)=例：例：-2 p1 p2=Kr1-i=1m(s-zi)j=1n(s-pj)=i=1m(s-zi)j=1n(s-pj)=0j=1n(s-pj)第二节 根轨迹绘制的基本法则第17页/共90页2.终点点s=ziKr8=0i=1m(s-zi)m条根条根轨迹迹终止于开止于开环传递函数的零点函数的零点 s8n-m条根条根轨迹迹终 止于无止于无穷远根根轨迹方程迹方程：=Kr1-i=1m(s-zi)j=1n(s-pj)则即即另：另：=0i=1m(s-zi)j=1n(s-pj)=0sn
14、-m1i=1m(s-zi)j=1n(s-pj)第二节 根轨迹绘制的基本法则第18页/共90页 p3=-2 p2=-1 例例 已知系已知系统的开的开环传递函数，函数，试确定确定 系系统的根的根轨迹迹图。解：解：系系统的三条根的三条根轨迹起始迹起始于三个开于三个开环传递函数的极函数的极点点。开开环零、极点分布：零、极点分布：p1=0 z1=-1+j z2=-1-js(s+1)(s+2)Kr(s2+2s+2)G(s)H(s)=j1-1-1-20p1 p2 p3z1 两条根两条根轨迹迹终止于开止于开环传递函数的两个零点，另一条函数的两个零点，另一条趋于无于无穷远。z2 第二节 根轨迹绘制的基本法则第1
15、9页/共90页二、根轨迹的对称性和分布性1根根轨迹迹对称于称于实轴 闭环特征方程特征方程实数根数根分布分布在在S 平面的平面的实轴上。上。复数根复数根则成成对出出现，实部相等，虚部大小相等部相等，虚部大小相等符号相反。符号相反。根根轨迹迹必定必定对称于称于实轴。j0s1 s2 s3 s4 s5 s6 2.n阶系系统有有n条根条根轨迹迹 Kr取某一数取某一数值时,n阶特征方特征方程有程有n个确定的根个确定的根。Kr=0每一个根由始点每一个根由始点连续地向其地向其终点移点移动，形成一条根，形成一条根轨迹，迹，n个根形个根形成成n条根条根轨迹。迹。第二节 根轨迹绘制的基本法则第20页/共90页三、根
16、轨迹的渐近线当开当开环极点数极点数n n大于开大于开环零点数零点数m m，有，有n-mn-m条根条根轨迹分支沿着与迹分支沿着与实轴交角交角为 和交点和交点为 的一的一组渐进线趋向无向无穷远处。渐近近线与与实轴的的夹角角：渐近近线与与实轴的交点的交点：第二节 根轨迹绘制的基本法则第21页/共90页例例 已知系已知系统的开的开环传递函数，函数，试确定确定 系系统的根的根轨迹迹图。解：解：s(s+1)(s+2)KrG(s)H(s)=6001）开开环零、极点：零、极点：2）实轴上的根上的根轨迹段：迹段：j0p1 p3p2-1-2p1=0p2=-1p3=-2p1p2p3-83）根根轨迹的迹的渐近近线：与
17、与实轴的的夹角角:n-m=3 3(2k+1)+=K=0+60o=+180o=K=14）系）系统的根的根轨迹迹 与与实轴的交点的交点:3=-1-2=-1第二节 根轨迹绘制的基本法则第22页/共90页j0p1p2p3p4z2 z1 s1 121234s1的相角方程的相角方程为：设实轴上任意点上任意点s1四、实轴上的根轨迹段系系统开开环零、极点分布零、极点分布为：s1与开与开环零、极零、极点之点之间的矢量：的矢量：1=-2(s1-zi)-2i=14j=1(s1pj)1-2-3-4=1+2-=-1-2=-1803=-4共共轭开开环零、极点构零、极点构 成的相角正成的相角正负抵消抵消 实轴上根上根轨迹段
18、右迹段右侧的开的开环零、极点个数之和零、极点个数之和为奇数奇数。第二节 根轨迹绘制的基本法则第23页/共90页例例 已知系已知系统的开的开环传递函数，函数，试确定确定 系系统的根的根轨迹迹图。解：解：1）T(1)开开环零、极点分布零、极点分布 p1z1段段:j0p1 右右侧一个开一个开环极点极点 右右侧三个开三个开环零极点零极点z1p2p1=0(2)实轴上根上根轨迹段迹段(3)系系统的的 根根轨迹迹KrG(s)H(s)=1(s+1Ts(s+)1z1=-1p2=-T1-T1-p2 段：段：-第二节 根轨迹绘制的基本法则第24页/共90页(1)开开环零、极点分布零、极点分布j0p1 z1p2(2)
19、实轴上根上根轨迹段迹段 p1和和p2为根根轨迹迹 的起点的起点z1和和-为根根轨迹迹 的的终点点(3)系系统的根的根轨迹迹p1=0p1p2 2）T1z1=-1p2=-T1-T1-z1-第二节 根轨迹绘制的基本法则第25页/共90页 五、根轨迹的分离点和分离角第二节 根轨迹绘制的基本法则 根根轨迹分离点迹分离点 两条或两条以上的根两条或两条以上的根轨迹分支在迹分支在 s s 平面上相平面上相遇遇又立即分开的点称又立即分开的点称为分离点（会合点）。分离点（会合点）。分离点分离点的坐的坐标 d d 由下列方程所决定：由下列方程所决定：注：注：（1 1）根）根轨迹出迹出现分离点分离点说明明对应是特征根
20、出是特征根出现了重根。了重根。（2 2）若）若实轴上的根上的根轨迹的左右两迹的左右两侧均均为开开环零点（包括零点（包括 无限零点）或开无限零点）或开环极点（包括无限极点），极点（包括无限极点），则在此在此 段根段根轨迹上必有分离点。迹上必有分离点。（3 3）分离点若在复平面上，）分离点若在复平面上，则一定是成一定是成对出出现的。的。第26页/共90页第二节 根轨迹绘制的基本法则例例开开环传递函数函数解解n=2n=2，没有零点，由，没有零点，由可知可知亦可直接用特征方程求取亦可直接用特征方程求取得得 K=1K=1，s=-1s=-1注由分离点公式求出由分离点公式求出由分离点公式求出由分离点公式求出
21、d d d d后，一定要后，一定要后，一定要后，一定要进进行行行行检查检查，应应舍弃不在根舍弃不在根舍弃不在根舍弃不在根轨轨迹上的点迹上的点迹上的点迹上的点d d d d。第27页/共90页第二节 根轨迹绘制的基本法则例例 开开环传递函数函数解解-1+j-1-j-1-2-3-4j显然然d d2 2不在根不在根轨迹上，迹上，应舍弃。舍弃。注注仅由由两个极点两个极点(实数或复数数或复数)和和一个有限零点一个有限零点组成的开成的开环系系统。只要有限零。只要有限零点没有位于两个点没有位于两个实数极点之数极点之间。当。当k k*从从0 0变到无到无穷大大时,闭环根根轨迹的复数部分迹的复数部分是以是以有限
22、零点有限零点为圆心心,以以有限零点到分离点的距离有限零点到分离点的距离为半径半径的的圆或或圆的一部分。的一部分。第28页/共90页第二节 根轨迹绘制的基本法则问题如何判断如何判断实轴上的分离点上的分离点?若若实轴上两个相上两个相邻开开环极点之极点之间是根是根轨迹，迹，则这两极两极点之点之间至少存在一个分离点。至少存在一个分离点。若若实轴上两个相上两个相邻开开环零点之零点之间是根是根轨迹，迹，则这两两零点之零点之间至少存在一个分离点（其中一个零点可以至少存在一个分离点（其中一个零点可以是无限大零点）。是无限大零点）。第29页/共90页第二节 根轨迹绘制的基本法则n分离点分离点处根根轨迹分支迹分支
23、间的的夹角角如果有如果有l l条根条根轨迹迹进入分离点入分离点,必然有必然有l l条根条根轨迹分迹分支离开分离点。支离开分离点。根根轨迹分支迹分支进入分离点的切入分离点的切线与离开分离点的切与离开分离点的切线方向方向夹角称角称为分离角分离角,则第30页/共90页第二节 根轨迹绘制的基本法则例例设系系统结构构图与开与开环零、极点分布如零、极点分布如图所示，所示，试绘制其概略根制其概略根轨迹。迹。解解解解 由法由法则3 3，实轴上区域上区域0,-10,-1和和-2,-3-2,-3是根是根轨迹。迹。由法由法则1 1，该系系统有三条根有三条根轨迹分支，且迹分支，且对称于称于实轴。由法由法则2 2，一条
24、根，一条根轨迹分支起于开迹分支起于开环极点极点(0)(0)，终于开于开环有限零点有限零点(-1)(-1)，另两条根，另两条根轨迹起于开迹起于开环极点极点(-2)(-2)和和(-(-3)3)，终于无于无穷远处（无限零点）。（无限零点）。由法由法则4 4，两条，两条终于无于无穷的根的根轨迹的迹的渐近近线与与实轴交角交角为9090和和270270交点坐交点坐标为第31页/共90页第二节 根轨迹绘制的基本法则 闭环特征方程的根在特征方程的根在S平面上的重合平面上的重合点称点称为根根轨迹的分离点或会合点。迹的分离点或会合点。一般将根一般将根轨迹迹离开复平面离开复平面进入入实轴的点称的点称为会合点会合点离
25、开离开实轴进入复平面的点称入复平面的点称为分离点分离点设系系统的开的开环传递函数函数为 A(s)KrB(s)G(s)H(s)=闭环特征方程式：特征方程式：KrB(s)+A(s)=0KrB(s)+A(s)=0+KrdB(s)dsdA(s)ds=0重根必重根必须同同时满足以下两式足以下两式 KrB(s)+A(s)=0Kr=A(s)B(s)-即即解上式得解上式得 A(s)B(s)=A(s)B(s)注意：只有位于根注意：只有位于根轨迹上的重根才是迹上的重根才是 分离点或会合点。分离点或会合点。第32页/共90页例例 已知系已知系统的开的开环传递函数，函数，试确定确定 系系统的根的根轨迹迹图。解：解：(
26、s+1)(s+2)Kr(s+3)G(s)H(s)=1）开）开环零、极点零、极点 2）实轴上的根上的根轨迹段迹段 p1p2z1-8p2=-2p1=-1z1=-3j0p1 z1p2-1-2-3 3）根）根轨迹的迹的渐近近线 n-m=15)根根轨迹迹=+180o 1+=(2k+1)4）分离点和会合点分离点和会合点A(s)=s2+3s+2B(s)=s+3B(s)=1A(s)=2s+3A(s)B(s)=A(s)B(s)整理得整理得 (s2+3s+2)=(2s+3)(s+3)s2+6s+7=0s2根根轨迹的会合点迹的会合点 解方程得解方程得 s1根根轨迹的分离点迹的分离点第二节 绘制根轨迹的基本方法 第3
27、3页/共90页例例 试确定系确定系统分离点。分离点。s(s+1)(s+2)KrG(s)H(s)=解：解：前例已求得根前例已求得根轨迹的迹的渐近近线和和实轴上的根上的根轨迹段迹段 600j0p1 p3p2-1-2根根轨迹的分离点：迹的分离点：A(s)B(s)=A(s)B(s)3s2+6s+2=0s1s2s2没有位于根没有位于根轨迹上，舍去。迹上，舍去。第二节 绘制根轨迹的基本方法 第34页/共90页 六、根轨迹的起始角和终止角起始角：起始角：设开开环零、极点分布：零、极点分布：根根轨迹在复数起点迹在复数起点处的的切切线与正与正实轴的的夹角。角。j0p1p2p3p4z1 11234s1 s1为根根
28、轨迹上的点迹上的点则(s1-z1)-(s1-p1)-(s1-p2)-(s1-p3)-(s1-p4)3-(s1-zi)-1i=14j=1(s1pj)(2k+1)+=(2k+1)s1 p3 (p3-z1)(p3-p1)-(p3-p2)-(p3-p4)-(s1-p3)=3=(2k+1)即有即有 (p3-z1)3=+(p3-p1)-(p3-p2)-(p3-p4)-起始角的一般表达式：起始角的一般表达式：mi=1(pl-zi)-(pl-pj)nj=l l=+同理，可得同理，可得终止角止角的一般表达式：的一般表达式：nj=1(zl-pj)(zl-zi)+mi=l l=-第二节 绘制根轨迹的基本方法 第35
29、页/共90页例例 已知系已知系统的开的开环传递函数，函数，试确定确定 系系统的根的根轨迹迹图。解：解：s(s+2.5)(s2+s+1.5)G(s)H(s)=Kr(s+1.5)(s2+4s+5)1）开）开环零、极点零、极点为 p2p1=0z1Pz=-2jj0108 7956.5 37 19 59 90p1 p2 p3 p4 z1 z2 z3 2）实轴上的根上的根轨迹段迹段 p1z1p2-8 3）根）根轨迹的迹的渐近近线 n-m=1+180o=4）根）根轨迹的起始角迹的起始角 -79 1+=(2k+1)+3i=1i4j=3-=3j=+56.5+19+59-108-90-37=79同同时可得可得4=
30、-79第二节 绘制根轨迹的基本方法 第36页/共90页开开环零、极点分布零、极点分布:j015319963.5 90p1 p2 p3 p4 z1 z2 z3 5）根）根轨迹的迹的终止角止角 121117149.5=2=+-117-90+153o+199+1216）系）系统根根轨迹迹+4j=13i=2-=ji2第二节 绘制根轨迹的基本方法 第37页/共90页七、根轨迹与虚轴的交点设与虚与虚轴相交的相交的闭环极点极点为 解方程即可求得解方程即可求得代入代入闭环特征方程特征方程 Krs=j 1+G(s)H(s)=0 s=j 第二节 绘制根轨迹的基本方法 第三章方法第三章方法：如果根：如果根轨迹与虚迹
31、与虚轴有交点，有交点，则劳斯斯计算表中必出算表中必出现全全为零行，由零行，由辅助方程助方程确定交点确定交点，进而求得开而求得开环增益增益K K。第38页/共90页例例 已知系已知系统的开的开环传递函数，函数，试确定确定 系系统的根的根轨迹迹图。解：解：s(s+3)(s2+2s+2)G(s)H(s)=Kr(s+2)j0-1 1）开）开环零、极点零、极点 2）实轴根根轨迹段迹段 3）根）根轨迹的迹的渐近近线 p=-1jz1=-2p2=-3p1=0p1 p2 p3p4 z1 p1z1p2-8n-m=33=-3-1-1+2=-1=+180o+60o,13526.6 90 45-26.64）根）根轨迹的
32、出射角迹的出射角3=+1-2-41-=+45-135-90-26.6 5）与虚）与虚轴的交点的交点s(s+3)(s2+2s+2)+Kr(s+2)=0s4+5s3+8s2+6s+Krs+2Kr=0(j)4+5(j)3+8(j)2+j6+jKr+2Kr=04-82+2Kr=0-5 3+6+Kr=0Kr=0 Kr=7 2,3=1=0解得解得 6）系）系统根根轨迹迹第二节 绘制根轨迹的基本方法 第39页/共90页八、根之和 在一定条件下，开在一定条件下，开环极点与极点与闭环极极点点间有着固定的关系，有着固定的关系，根据根据这种关系可种关系可判判别闭环特征根的走向特征根的走向。n阶系系统闭环特征方程特征
33、方程为i=1m(s-zi)j=1 n(s-pj)+Kr=sn+a1sn-1+a2sn-2+an-1s+an=(s-s1)(s-s2)(s-sn-1)(s-sn)j=1 n(s-sj)=0=开开环零零 极点极点闭环极点极点 根据代数方程的根与系数根据代数方程的根与系数间的关系的关系,如果如果满足条件足条件则 n-m 2nj=1sj=a1=-nj=1pj-开开环极点之和等于极点之和等于闭环极点（极点（闭环特征方程）特征方程）之和，之和，为常数常数。如果一些如果一些闭环极点往极点往s平面左平面左边移移动，则必有另一些必有另一些闭环极点往极点往s平面的右平面的右边移移动。第二节 绘制根轨迹的基本方法
34、第40页/共90页例例 试确定系确定系统的根的根轨迹迹图。解：解：1）开）开环零、极点零、极点 j0p=-4j2p1=0 p1 s(s2+8s+20)G(s)H(s)=Krp2p3 2）实轴上的根上的根轨迹段迹段 p1-8n-m=3 3）根）根轨迹的迹的渐近近线 =+180o+60o,3=-4-4=-2.67153.4 90-63.4-24）根）根轨迹的出射角迹的出射角 =-905）与虚）与虚轴的交点的交点2=-1-3系系统闭环特征方程特征方程为 s3+8s2+20s+Kr=0 代入代入 s=j+Kr=0-82-33+20=0-j33-82+j20+Kr=0Kr=160 2,3Kr=0 1=0
35、6）分离点和会合点）分离点和会合点3s2+16s+20=0s1=-2s2A(s)B(s)=A(s)B(s)7）系）系统根根轨迹迹解得解得 第二节 绘制根轨迹的基本方法 第41页/共90页例例 s(s+4)(s2+4s+20)G(s)H(s)=Kr试确定系确定系统的根的根轨迹迹图。解：解：1）开）开环零、极点零、极点 j0p1 p=-2j4p1=0p2=-4p2p3 p42）实轴上根上根轨迹段迹段 p1p2 3）根）根轨迹的迹的渐近近线 n-m=44=-4-2-2=-2-24）根）根轨迹的出射角迹的出射角 =-180-90o=-90-22 90-90+1-23-4=-=904=+135o+45o
36、,5）根）根轨迹与虚迹与虚轴的交点的交点闭环特征方程特征方程为 s4+8s3+36s2+80s+Kr=0-83+80=04-362+Kr=0Kr=0 Kr=260 2,31=0+j804-j8 3-36 2+Kr=06）分离点和会合点）分离点和会合点4s3+24s2+72s+80=0A(s)B(s)=A(s)B(s)解得解得 s1=-2s s1在根在根轨迹段上迹段上为分离点分离点,s必必须判断判断才能确定才能确定.s2点的相角点的相角为:(s2-p3)-(s2-p4)-=-180+90-90=-180为根根轨迹上的点迹上的点 7）系）系统根根轨迹迹(s2-p1)-(s2-p2)-第二节 绘制根
37、轨迹的基本方法 第42页/共90页第二节 绘制根轨迹的基本方法 闭环极点的确定 每条根每条根轨迹上的任何一点，都是迹上的任何一点，都是对应于某一于某一K K*值的的闭环极点，极点，应在根在根轨迹上按迹上按模模值方程方程确定。确定。较简便的方法便的方法：对于特定的于特定的K K*值的的闭环极点，极点，使用使用试验法确定法确定实轴上的上的闭环极点的数极点的数值，然后，然后用用综合除法合除法或或根之和根之根之和根之积的代数方法的代数方法确定其余确定其余的的闭环极点。极点。第43页/共90页例例系系统结构如构如图所示所示（1 1）绘制系制系统的根的根轨迹；迹；（2 2）确定无超）确定无超调响响应的的K
38、 K值范范围。第二节 绘制根轨迹的基本方法-解解（1 1）开）开环传递函数函数为（2 2）n n2 2，m m1 1有两个根有两个根轨迹分支。迹分支。渐近近线有有n nm m1 1条条-4 -2 0第44页/共90页（3 3）求分离点）求分离点-4 -2求系求系统无超无超调对应的的K*K*范范围（即（即闭环特征根位于特征根位于负实轴上）上）分析分析 （1 1）根）根轨迹在离开分离点迹在离开分离点d d2 2之前之前 （2 2）根）根轨迹在迹在进入分离点入分离点d d1 1之后之后 系系统的两个极点都位于的两个极点都位于负实轴上。故上。故应求两点求两点处的的K*K*的的值。第二节 绘制根轨迹的基
39、本方法 第45页/共90页第二节 绘制根轨迹的基本方法（4 4）由模）由模值方程方程所以系所以系统无超无超调对应的的K K范范围为第46页/共90页第二节 绘制根轨迹的基本方法 小结1 1、根轨迹的起点和终点，起于开环极点，终于开环零点、根轨迹的起点和终点，起于开环极点，终于开环零点2 2、分支数、对称性和连续性、分支数、对称性和连续性3 3、渐近线、交角和交点、渐近线、交角和交点4 4、实轴上的分布、实轴上的分布5 5、分离点和分离角、分离点和分离角6 6、起始角和终止角、起始角和终止角7 7、与虚轴的交点、与虚轴的交点8 8、根之和、根之和第47页/共90页第三节 广义根轨迹 第四章 线性
40、系统根轨迹法三、零度根轨迹二、附加开环零点的作用一、参数根轨迹 本本节将将讨论两种特殊情况。一种是不以开两种特殊情况。一种是不以开环增益增益K K为参量的根参量的根轨迹迹图，另一种是，另一种是闭环系系统为正反正反馈系系统（零度根（零度根轨迹）。迹）。第48页/共90页一、参数根轨迹 有有时也需要了解反也需要了解反馈系数、系数、时间常数等其它常数等其它参量参量对系系统性能的影响，性能的影响，这时就使开就使开环增益增益K K 为确定数，确定数，绘制出系制出系统的其它某个参量的其它某个参量K K变化化时的的根根轨迹，称迹，称为参数根参数根轨迹。迹。第三节 广义根轨迹 第49页/共90页第三节 广义根
41、轨迹 设系系统开开环传递函数函数为闭环特征方程特征方程为等效等效变换成成第50页/共90页第三节 广义根轨迹 令4-29显然，利用式429就可以画出关于零点变化的根轨迹，它就是广义根轨迹。第51页/共90页第三节 广义根轨迹 例如：开例如：开环极点极点变化化时的根的根轨迹迹设一一负反反馈系系统的开的开环传递函数函数为现在研究在研究 变化的根化的根轨迹。迹。等效开等效开环传递函数函数为 根据上式可画出根据上式可画出 变化化时的广的广义根根轨迹。迹。第52页/共90页第三节 广义根轨迹 已知系已知系统的开的开环传递函数函数为 试绘制当开制当开环增益增益K K为 时，时间常数常数 变化化时的根的根轨
42、迹。迹。解：解：题目目显然是求广然是求广义根根轨迹迹问题。系系统特征方程特征方程为等效开环传递函数为等效开等效开环传递函数有函数有3 3个零点，即个零点，即0 0，0 0，-1-1；2 2个极点，个极点，不同不同K K值可可计算出不同极点。算出不同极点。第53页/共90页第三节 广义根轨迹 按照常规根轨迹的绘制法则可绘制出广义根轨迹如图4-20。第54页/共90页二 附加开环零点的作用第三节 广义根轨迹 在控制系在控制系统设计中，常用附加位置适当的开中，常用附加位置适当的开环零零点的方法来改善系点的方法来改善系统性能。因此，研究开性能。因此，研究开环零点零点变化化时的根的根轨迹迹变化，有很大的
43、化，有很大的实际意意义。对系统稳定性的改善对系统稳定性的改善设系系统开开环传递函数函数为:式中式中 为附加的开附加的开环实数零点。取数零点。取 为不同不同值时，根，根轨迹如下：迹如下：第55页/共90页第三节 广义根轨迹 当当 时第56页/共90页第三节 广义根轨迹 当当 时第57页/共90页当当 时第三节 广义根轨迹 第58页/共90页当当 时第三节 广义根轨迹 第59页/共90页 分析：分析：由由图可可见，当开，当开环极点位置不极点位置不变，而在系，而在系统中附加开中附加开环负实数零点数零点时，将使系，将使系统的根的根轨迹迹图发生生趋向附加零点方向的向附加零点方向的变形，而且形，而且这种影
44、响将种影响将随开随开环零点接近坐零点接近坐标原点的程度而加原点的程度而加强。如果附。如果附加的开加的开环零点不是零点不是负实数零点，而是具有数零点，而是具有负实部部的共的共轭零点，那么它零点，那么它们的作用与的作用与负实数零点的作数零点的作用完全相同。用完全相同。第三节 广义根轨迹 第60页/共90页三、零点根轨迹第三节 广义根轨迹+R(S)G(S)H(S)C(S)正反正反馈的特征方程的特征方程为即即模模值方程方程为相角方程相角方程为注注 负反反馈系系统的根的根轨迹迹为180180根根轨迹迹 正反正反馈的根的根轨迹称迹称为零度根零度根轨迹迹第61页/共90页第三节 广义根轨迹 修改修改绘制根制
45、根轨迹的法迹的法则（只要修改与（只要修改与相角方程相角方程有关的部分）有关的部分）实轴上的根上的根轨迹迹1 1、在、在实轴上自右向左数上自右向左数,凡凡偶数偶数零极点左零极点左边的一段的一段实轴是根是根轨迹，迹，第一个零极点右第一个零极点右边的的实轴也是根也是根轨迹迹。2 2、根、根轨迹迹渐近近线与与实轴正方向的正方向的夹角角 应改改为第62页/共90页第三节 广义根轨迹 3 3、计算根算根轨迹起始角与迹起始角与终止角的公式止角的公式应改改为:（只（只有复数极点与复数零点才有起始角与有复数极点与复数零点才有起始角与终止角）止角）mi=1(pl-zi)-(pl-pj)nj=l l=2k+nj=1
46、(zl-pj)(zl-zi)+mi=l l=2k-4、根、根轨迹与虚迹与虚轴的交点的交点v其它法其它法则与与180180根根轨迹法迹法则完全相同完全相同第63页/共90页第三节 广义根轨迹 例例设正反正反馈系系统的开的开环传递函数函数为，绘制根制根轨迹。迹。解解 开开开开环环极点极点极点极点S S1 1=-3=-3，S S2 2=-1+j=-1+j，S S3 3=-1-j=-1-j。开。开。开。开环环零点数零点数零点数零点数Z Z1 1=-2=-2。（1 1）有三条根有三条根有三条根有三条根轨轨迹，迹，迹，迹，2 2 2 2条条条条渐渐近近近近线线 （2 2）实轴上的根上的根轨迹迹-2,+),
47、(-,-3-2,+),(-,-3。(实轴上从右向左数上从右向左数,凡偶数零极点左凡偶数零极点左边的一段是根的一段是根轨迹迹,第一个零极点右第一个零极点右边的的实轴也是根也是根轨迹迹.）第64页/共90页第三节 广义根轨迹（3 3）根）根轨迹的起始角迹的起始角（4 4）根）根轨迹的分离点坐迹的分离点坐标 （5 5）坐）坐标原点原点对应的根的根轨迹增益迹增益为临界界值，可由模，可由模 值方程求出方程求出第65页/共90页第三节 广义根轨迹 j j-1+j-1+j-1-j-1-j-2-2-3-3K=1-0.8-0.80 0(K=0)(K=0)说明明 当当0K10K1K1时，将有一个，将有一个闭环极点
48、分布在极点分布在s s平平面的右半平面，系面的右半平面，系统不不稳定。定。当当时，阶跃响响应为衰减振衰减振荡曲曲线，为欠阻尼系欠阻尼系统。第66页/共90页第四节 系统性能的分析第四章 根轨迹分析法 根轨迹反映了闭环特征根随 Kr变化的规律，而闭环特征方程的根与系统的性能关系密切。通过根轨迹来分析系统的性能具有直观、方便的特点。第67页/共90页一、闭环零、极点位置与系统性能的关系n阶系系统单位位阶跃响响应的一般表达式的一般表达式为C(s)=sn+a1sn-1+an-1s+anb0sm+b1sm-1+bm-1s+bmR(s)sA0s-sjAjnj=1=+待定系数待定系数:i=1m(s-zi)j
49、=1n(s-sj)KrAj=s=sj(s-sj)A0=ss-s1+A1Ans-sn+系统的输出响应：c(t)=A0+nj=1Ajesjt负实数极点离虚轴越远,对应的分量 esjt 衰减越快系统的调节时间就越短,响应越快.由上式可见性能主要由系统闭环传递函数的极点决定。第四节 系统性能的分析 第68页/共90页=nncos=s1s201-2n-n1-2n-njs1.2 n =-n1-2 一对共轭复数极点在s平面上的分布:n=-+dj|s1|=|s2|=nd()2+2n=-1=cos复数极点的参数与系统性能的关系为 c(t)=1-t+)ent-21-dsin(e-1-2100%=3n=ts第四节
50、系统性能的分析 第69页/共90页复数极点的位置与性能的关系：（1）闭环复数极点的复数极点的实部部反映了反映了 系系统的的调整整时间；（2）闭环极点的虚部极点的虚部d表征了系表征了系统输 出响出响应的振的振荡频率率；（3）闭环极点与坐极点与坐标原点的距离原点的距离n表表 征了系征了系统的无阻尼自然振的无阻尼自然振荡频率；率；（4）闭环极点与负实轴的夹角反映 了系统的超调量；（5）闭环极点在s 左、右平面的分布 反映了系统的稳定性。当系当系统具有多个具有多个闭环极点极点时，可借，可借助于主助于主导极点的概念，将系极点的概念，将系统简化成低化成低阶系系统来来处理。理。第四节 系统性能的分析 第70