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1、南京信息工程大学滨江学院在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第三章第三章矩阵的初等变换与矩阵的初等变换与线性方程组习题课线性方程组习题课一一.主要内容主要内容二二.习题讲解习题讲解在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1、矩、矩阵的初等的初等变换初等行（或列）初等行（或列）变换(1)互互换变换:对调两行两行(列列)(对调i与与j两行两行(列列)记为)(3)消去消去变换:把某一行把某一行(列列)所有元素的所有元素的k倍分倍分别加到另加到另一行一行(列列)对应的元素
2、上去的元素上去(第第j行行(列列)k倍加到倍加到第第i行行(列列)上去上去,记为).(2)倍法倍法变换:以数以数乘第乘第i行行(列列)的所有元素的所有元素(记为)一、主要内容一、主要内容在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么初等初等变换的的应用用用初等用初等变换求逆矩求逆矩阵的方法的方法:1)构造矩构造矩阵(A|E);2)做初等行做初等行变换用初等用初等变换解矩解矩阵方程方程:AX=B(其中其中A可逆可逆)的方法的方法:用初等用初等变换解矩解矩阵方程方程:XA=B(其中其中A可逆可逆)的方法的方法:用初等用初等变换求矩求矩阵的秩
3、的方法的秩的方法:1）将）将A用初等用初等变换化化为行行阶梯矩梯矩阵；2）R(A)=A的行的行阶梯矩梯矩阵的非零行数的非零行数.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么初等矩初等矩阵由由单位矩位矩阵E经过一次一次初等初等变换得到的矩得到的矩阵.定定理理 对A施施行行一一次次初初等等行行变换的的结果果等等于于用用一一个个相相应的的初初等等阵左左乘乘矩矩阵A;对A施施行行一一次次初初等等列列变换的的结果果等于用一个相等于用一个相应的初等的初等阵右乘矩右乘矩阵A.2、初等矩、初等矩阵在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未
4、意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3、矩矩阵的秩的秩定定义矩矩阵A中非零子式的最高中非零子式的最高阶数叫作矩数叫作矩阵A的秩的秩.即若即若R(A)=r，则A中至少有一个中至少有一个r 阶子式非零，子式非零，而所有而所有阶数大于数大于r 的子式全的子式全为零零.若矩若矩阵A中某个中某个s阶子式不子式不为0,若矩若矩阵A中所有中所有t 阶子式全子式全为0,则性性质在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么性性质(7)R(A+B)R(A)+R(B);(8)R(AB)minR(A),R(B),当矩当矩阵A或或B可逆可逆时,R
5、(AB)R(A)（或或R(B)）(6)若若P、Q可逆，可逆，则R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)(9)R(AB)R(A)+R(B)-n;在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么4、线性方程性方程组的解的解有解有解无解无解有唯一解有唯一解有无有无穷多解多解(2)将增广矩将增广矩阵B化化为行最行最简矩矩阵,写出同解方程写出同解方程组；(3)取定自由未知量写出方程取定自由未知量写出方程组通解通解.(1)对增广矩增广矩阵B施行初等行施行初等行变换，将其化，将其化为行行阶梯矩梯矩阵，观察察R(A)=R(B)，若若R(A)=R(B
6、)，转向向2)步；步；若若R(A)R(B)，则方程方程组无解，解无解，解题完完毕；有非零解有非零解R(A)n.解非齐次线性方程组解非齐次线性方程组 的一般步骤为：的一般步骤为：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解：解：行阶梯形行阶梯形故故R(A)=3.例例1：求求的秩，并求最高的秩，并求最高阶的非零子式。的非零子式。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例1解解在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不
7、了什么所以所以R(A)=3矩阵矩阵B的非零行的首非零元分别位于的非零行的首非零元分别位于B的第的第1,2,3行和第行和第1,2,4列，列，对应于矩阵对应于矩阵A的第的第4,2,3行和第行和第1,2,4列，它们的交叉元素组成列，它们的交叉元素组成的子式一定是一个最高阶非零子式，即的子式一定是一个最高阶非零子式，即在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例2 已知矩已知矩阵的秩的秩为2,求求 t 的的值.解：解：R(A)=2,3 t=0,即即 t=3.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为
8、浪费这一点点算不了什么解解：由由AB=O,BO得得:例例3 设线性方程性方程组的系数矩的系数矩阵为A,3阶矩矩阵BO,且且AB=O,试求求a的的值.方程方程组 有非零解有非零解,R(A)1),那么那么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么习题三选讲习题三选讲1(1)解解 r2(2)r1,r3(3)r1 r2(1)r3(2)r3 r2 r3 3 r2 3r3 r1(2)r2 r1 r3)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么5(1)解解 r1r2 r2 3r1 r3
9、 r1 r3 r2 矩阵的秩为矩阵的秩为2是一个最高阶非零子式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么6(2)解解对系数矩阵对系数矩阵A进行初等行变换进行初等行变换 有有于是于是 故方程组的解为故方程组的解为 (k1 k2为任意常数为任意常数)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么7(2)解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等行变换进行初等行变换 有有于是于是 即即 (k为任意常数为任意常数)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你
10、认为浪费这一点点算不了什么8.8.取何取何值时值时 非非齐齐次次线线性方程性方程组组(1)有唯一解有唯一解(2)无解无解(3)有无穷多个解有无穷多个解?在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 (1)(1)要使方程组有唯一解要使方程组有唯一解 必须必须R(A)3 因此当因此当 1 1且且 2 2时方程组有唯一解时方程组有唯一解.(2)(2)要使方程组无解要使方程组无解 必须必须R(A)R(B)故故(1(1 )(2)(2 )0 0 (1(1)()(1)1)2 2 0 0 因此因此 2 2时时 方程组无解方程组无解 (3)(3)要使方程组有有无穷多个解要使方程组有有无穷多个解 必须必须R(A)R(B)3 3 故故(1(1 )(2)(2 )0 0 (1(1)()(1)1)2 2 0 0 因此当因此当 1 1时时 方程组有无穷多个解方程组有无穷多个解.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么11(1)解解故逆矩阵为故逆矩阵为 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么12(1)设设 求求X使使AX B 所以所以