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1、第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组习题课习题课典型例题典型例题主要内容主要内容1矩阵的初等变换矩阵的初等变换矩阵的初等变换矩阵的初等变换相关定理相关定理相关定理相关定理初等变换初等变换初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等矩阵初等矩阵等价矩阵等价矩阵等价矩阵等价矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形矩阵的标准形行最简矩阵行最简矩阵行最简矩阵行最简矩阵秩的定义秩的定义秩的定义秩的定义相关定理及性质相关定理及性质相关定理及性质相关定理及性质矩矩矩矩阵阵阵阵的的的的秩秩秩秩有解判别定理有解判别定理有解判别定理有解判别定理
2、方程组的解法方程组的解法方程组的解法方程组的解法线线线线性性性性方方方方程程程程组组组组返回返回下页下页2一、初等变换一、初等变换1.1.初等变换的定义初等变换的定义上页上页返回返回下页下页3初初 等等 变变 换换逆逆 变变 换换三三种种初等变换都是可逆的初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一且其逆变换是同一类型的初等变换类型的初等变换上页上页返回返回下页下页4反身性反身性传递性传递性对称性对称性2.矩阵的等价矩阵的等价上页上页返回返回下页下页53.初等矩阵初等矩阵三种三种初等变换对应着三种初等矩阵初等变换对应着三种初等矩阵由单位矩阵由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵经过一次初等变换得到
3、的矩阵称为初等矩阵称为初等矩阵(1)对调两行对调两行(列列),得初等矩阵得初等矩阵 E(i,j).上页上页下页下页返回返回6(2)以数以数 k(非零非零)乘某行乘某行(列列),得初等矩阵得初等矩阵E(i(k).上页上页下页下页返回返回7(3)以数以数 k 乘某行乘某行(列列)加到另一行加到另一行(列列)上去上去,得初等矩阵得初等矩阵E(ij(k).上页上页下页下页返回返回8经过初等行变换经过初等行变换,可把矩阵化为行阶梯形矩阵可把矩阵化为行阶梯形矩阵,其特点是：可画出一条阶梯线其特点是：可画出一条阶梯线,线的下方全为线的下方全为0 0；每；每个台阶只有一行个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数
4、台阶数即是非零行的行数,阶梯线阶梯线的竖线的竖线(每段竖线的长度为一行每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素后面的第一个元素为非零元为非零元,也就是非零行的第一个非零元也就是非零行的第一个非零元例如例如4.行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵上页上页下页下页返回返回9经过初等行变换经过初等行变换,行阶梯形矩阵还可以进一步行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵化为行最简形矩阵,其特点是其特点是:非零行的第一个非非零行的第一个非零元为零元为1,且这些非零元所在列的其它元素都为且这些非零元所在列的其它元素都为0例如例如5.行最简形矩阵行最简形矩阵上页上页下页下页返回返回10对行阶梯形矩阵再进行初等列变换对行阶
5、梯形矩阵再进行初等列变换,可得到矩可得到矩阵的标准形阵的标准形,其特点是其特点是:左上角是一个单位矩阵左上角是一个单位矩阵,其余元素都为其余元素都为0例如例如6.矩阵的标准形矩阵的标准形上页上页下页下页返回返回11所有与所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合等价的矩阵组成的一个集合,称为一称为一个等价类个等价类,标准形标准形 F 是这个等价类中形状最简单的是这个等价类中形状最简单的矩阵矩阵上页上页下页下页返回返回127.矩阵的秩矩阵的秩上页上页下页下页返回返回13行行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数8.矩阵秩的性质及定理矩阵秩的性质及定理上页上页下页下页返回返回14二
6、、线性方程组二、线性方程组1.线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理上页上页下页下页返回返回15齐齐次次线性方程组线性方程组：把系数矩阵化成行最简形：把系数矩阵化成行最简形矩阵矩阵,写出通解写出通解非齐非齐次次线性方程组线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解通解2.线性方程组的解法线性方程组的解法上页上页下页下页返回返回16上页上页下页下页返回返回17上页上页下页下页返回返回18三、初等矩阵与可逆矩阵的
7、关系三、初等矩阵与可逆矩阵的关系上页上页下页下页返回返回19一、求矩阵的秩一、求矩阵的秩一、求矩阵的秩一、求矩阵的秩二、求解线性方程组二、求解线性方程组二、求解线性方程组二、求解线性方程组三、求逆矩阵的初等变换法三、求逆矩阵的初等变换法三、求逆矩阵的初等变换法三、求逆矩阵的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法典型例题典型例题上页上页返回返回下页下页20求求矩阵的秩有下列基本方法矩阵的秩有下列基本方法 (1)计算矩阵的各阶子式计算矩阵的各阶子式,从阶数最高的子式从阶数最高的子式开始开始,找到不等于零的子式中阶数最大的一
8、个子式找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式,则这个子式的阶数就是矩阵的秩则这个子式的阶数就是矩阵的秩一、求矩阵的秩一、求矩阵的秩(2)用初等变换用初等变换.即用矩阵的初等行即用矩阵的初等行(或列或列)变变换换,把所给矩阵化为阶梯形矩阵把所给矩阵化为阶梯形矩阵,由于阶梯形矩阵由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行的秩就是其非零行(或列或列)的个数的个数,而初等变换不改而初等变换不改变矩阵的秩变矩阵的秩,所以化得的阶梯形矩阵中非零行所以化得的阶梯形矩阵中非零行(或或列列)的个数就是原矩阵的秩的个数就是原矩阵的秩上页上页返回返回下页下页21第一种方法当矩阵的行数与列数较高时第一种方法当矩阵的行数与列数较高
9、时,计算计算量很大，第二种方法则较为简单实用量很大，第二种方法则较为简单实用例例1 求下列矩阵的秩求下列矩阵的秩解解 对对 A 施行初等行变换化为阶梯形矩阵施行初等行变换化为阶梯形矩阵上页上页下页下页返回返回22注意注意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形阶梯形上页上页下页下页返回返回23当方程的个数与未知数的个数不相同时，一当方程的个数与未知数的个数不相同时，一般用初等行变换求方程的解般用初等行变换求方程的解当方程的个数与未知数的个数相同时，求线当方程的个数与未知数的个数相同
10、时，求线性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法则法和克莱姆法则二、求解线性方程组二、求解线性方程组 例例2 当当 a 取何值时取何值时,下述齐次线性方程组有下述齐次线性方程组有非零解非零解,并且求出它的通解并且求出它的通解上页上页下页下页返回返回24解法一系数矩阵解法一系数矩阵A的行列式为的行列式为上页上页下页下页返回返回25从而得到方程组的通解从而得到方程组的通解上页上页下页下页返回返回26解法二解法二 用初等行变换把系数矩阵用初等行变换把系数矩阵 A 化为阶梯形化为阶梯形上页上页下页下页返回返回27上页上页下页下页返回返回28三、求逆矩阵的初等变换法三、求逆矩阵的初等变换法上页上页下页下页返回返回29例例3 求下述矩阵的逆矩阵求下述矩阵的逆矩阵解解上页上页下页下页返回返回30注意：注意：用初等行变换求逆矩阵时用初等行变换求逆矩阵时,必须始终必须始终用行变换用行变换,其间不能作任何列变换其间不能作任何列变换.同样地同样地,用用初等列变换求逆矩阵时初等列变换求逆矩阵时,必须始终用列变换必须始终用列变换,其其间不能作任何行变换间不能作任何行变换上页上页下页下页返回返回31四、解矩阵方程的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法或或上页上页下页下页返回返回32例例4解解上页上页下页下页返回返回33上页上页返回返回34