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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第三章第三章 向量与向量空间向量与向量空间 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物确定小鸟的飞行状态，确定小鸟的飞行状态，需要以下若干个参数：需要以下若干个参数：小鸟重心在空间的位置参数小鸟重心在空间的位置参数小鸟身体的水平转角小
2、鸟身体的水平转角小鸟身体的仰角小鸟身体的仰角鸟翼的转角鸟翼的转角所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组 mtx y z ( , , )P x y z（VectorVector）小鸟身体的质量小鸟身体的质量鸟翼的振动频率鸟翼的振动频率还有还有我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物个数组成的有序数组个数组成的有序数组12,na aa 12naaa 称为一个称为一个维向量维向量，其中称为第个，其中称为第个分量分量（坐标坐标）. .iai 12Tnaa
3、a ,.,TTT一般记作一般记作如：如：维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是，也就是行矩阵行矩阵，12naaa 如：如：一般记作一般记作, , ,. .维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是，也就是列矩阵列矩阵，（Row VectorRow Vector）（Column VectorColumn Vector）我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；、行向量和列向量都按照
4、矩阵的运算法则进行运算；、行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；、当没有明确说明时，都当作实的列向量、当没有明确说明时，都当作实的列向量.2 2、元素全为零的向量称为、元素全为零的向量称为零向量零向量（Null VectorNull Vector）. .3 3、长度为的向量称为、长度为的向量称为单位向量单位向量（Identity VectorIdentity Vector）. .4 4、维数相同的列（行）向量称为、维数相同的列（行）向量称为向量同型向量同型. .元素是复数的向量称为元素是复数的向量称为复向量复向量（Complex VectorComplex Vector）.1 1、元素是
5、实数的向量称为、元素是实数的向量称为实向量实向量（Real VectorReal Vector）. .5 5、对应分量相等的向量称为、对应分量相等的向量称为向量相等向量相等.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物12TTTmA 其第其第个列个列向量向量记作记作12jjjmjaaa 12nA 个维个维行向量行向量. .按行分块按行分块111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 按列分块按列分块个维个维列向量列向量. .其第其第个行个行向量向量记作记作 12Tiiiinaaa 矩阵与向量
6、的关系中矩阵与向量的关系中注意什么是向量的注意什么是向量的个个数数、什么是向量的、什么是向量的维维数数，二者必须分清，二者必须分清. .我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 1122()nnababab 12nkkkakaka 1122nnababab 1212,nnaaabbb 规定规定 12,naaakR 规定规定称为数称为数与向量与向量的的数量积数量积. .向量的加法与数乘合称为向量的向量的加法与数乘合称为向量的线性运算线性运算. .称为称为与与的的和向量和向量.称为称为与与的的差向量差向
7、量.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物对于维行向量对于维行向量为一阶方阵，即一个数为一阶方阵，即一个数. . 12Tnxxx 1212Tnnxxxxxx 为阶方阵；为阶方阵； 1212Tnnxxxxxx 12Tnxxx 12nxxx 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（1 1） （交换律）（交换律）（2 2） （结合律）（结合律）()() （3 3）O （4 4）()O （5 5） （减法）（
8、减法）() ( (设设, , ,均是维向量均是维向量, ,，为实数为实数) )（6 6）1 （7 7）()()() （8 8）() （9 9）() .orO .0.orandO O 0 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2()TTTE 110022 设维向量，矩阵设维向量，矩阵,2TTAEBE ，其中，其中为设阶单位阵，为设阶单位阵，证明：证明：.ABE 证明：证明：()(2)TTABEE 22() ()TTTTE T 又又111442122TTABE 故故E TTE 我吓了一跳，蝎子是多么丑
9、恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 1110T ，设设 3340T 2011T ， 12331,21 .11 求求解解 12312332 441.T 123321033 12 11 4010 012.T 123 012 1031 11 11 4010 441 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做所组成的集合叫做向量组向量组
10、例如例如 aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj212222211112111 2 j n 1 2 j n 向量组称为矩阵向量组称为矩阵的的列向量组列向量组. .12:,nA 对于一个对于一个 矩阵有个维矩阵有个维列向量列向量. .mn 12:,sA 记作：记作： .ior 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量组为矩阵向量组为矩阵的的行向量组行向量组12:,TT
11、TmA 类似的，矩阵有个维类似的，矩阵有个维行向量行向量. .我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵. .12 TTTmB 12 nA 个维个维列向量列向量. .所组成的向量组所组成的向量组12,n 构成一个矩阵构成一个矩阵. .mn 个维个维行向量行向量. .所组成的向量组所组成的向量组12,TTTm 也构成一个矩阵也构成一个矩阵. .mn 矩阵与向量组之间一一对应矩阵与向量组之间一一对应我吓了一跳，
12、蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1122nnxxxb 线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵方程组与增广矩阵(A b)的列向量组之间一一对应的列向量组之间一一对应11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb 1212nnxxbx 即即Axb 或或我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例全体维向量的集合是一个向量空间全体
13、维向量的集合是一个向量空间, ,记作记作 . .nR,;ifVVV 设设为维非空向量组，且满足为维非空向量组，且满足对加法封闭对加法封闭对数乘封闭对数乘封闭那么就称向量组那么就称向量组为为向量空间向量空间（Vector SpaceVector Space）,.ifVRV解解任意两个维向量的和仍是一个维向量；任意两个维向量的和仍是一个维向量；任意维向量乘以一个数仍是一个维向量任意维向量乘以一个数仍是一个维向量所以，所有维向量的集合构成一个向量空间所以，所有维向量的集合构成一个向量空间. .易知该集合对加法封闭，对数乘也封闭，易知该集合对加法封闭，对数乘也封闭，我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东
14、西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间. . 1220,TnnVxxxxxR 、 2221,TnnVxxxxxR 、解解 21210,0TTnnifaaVbbV 2210,TnnababV 有有 21,0,TnkRkkakaV 所以是一个向量空间所以是一个向量空间. .1V解解 221TnifaaV 222, 2222,TnkaaV 所以不是一个向量空间所以不是一个向量空间. .2V我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快
15、，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间. . 31212,0TnniVxxxxx xxRx 且且解解,0,0iiifVVab 有有 30iiabV 有有 3,0,ikRkkakV 所以是一个向量空间所以是一个向量空间. .3V解解 1241TniifaaaVa 有有 42,22,ikaV 有有所以不是一个向量空间所以不是一个向量空间. .V 41212,1TnniVxxxxx xxRx 且且我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 ,Vx
16、R 例例 设设, , 为两个已知的维向量为两个已知的维向量试判断集合试判断集合是否为向量空间是否为向量空间.解解111222,ifxx 121212xxV 有有111,kRkxkkV 所以是一个向量空间所以是一个向量空间. .V定义定义由向量组由向量组的一切线性组合构成的集合的一切线性组合构成的集合12,r 称为称为由由生成的生成的向量空间向量空间，记为：，记为：12,r 121122,rrriLxkkkkR 注注等价向量组生成相同的向量空间等价向量组生成相同的向量空间. .我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里
17、边有一个活的生物向量向量)3( n解析几何解析几何线性代数线性代数既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组有次序的实数组成的数组几何形象：可几何形象：可 随随 意意平行移动的有向线段平行移动的有向线段代数形象：向代数形象：向 量量 的的坐标表示式坐标表示式 12Tnaaaa 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物空间空间)3( n解析几何解析几何线性代数线性代数点空间点空间：点的集合：点的集合向量空间向量空间：向量的集合：向量的集合代数形象：代数形象：向量空间中的平面向量空间
18、中的平面 dczbyaxzyxrT ),(几何形象：几何形象：空间直线、曲线、空间直线、曲线、空间平面或曲面空间平面或曲面 dczbyaxzyx ),(),(zyxP Trxyz 一一对应一一对应我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物个数组成的有序数组个数组成的有序数组12,na aa 12naaa 称为一个称为一个维向量维向量，其中称为第个，其中称为第个分量分量
19、（坐标坐标）. .iai.,TT记作记作维向量写成一行称为维向量写成一行称为行向量行向量，一般，一般记作记作., 维向量写成一列称为维向量写成一列称为列向量列向量，一般，一般实向量，复向量，零向量，单位向量，向量同型，实向量，复向量，零向量，单位向量，向量同型，向量相等向量相等. .注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清者必须分清.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的
20、行向量）所组成的集合叫做所组成的集合叫做向量组向量组,;ifVVV 设设为维非空向量组，且满足为维非空向量组，且满足对加法封闭对加法封闭对数乘封闭对数乘封闭那么就称集合那么就称集合为为向量空间向量空间. .,.ifVRV向量的运算可采用矩阵的运算规律向量的运算可采用矩阵的运算规律. .我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物12:,rA 定义定义给定向量组给定向量组，对于任何一组数，对于任何一组数12,rkkk， ，, ,称向量称向量1122rrkkk 为向量组为向量组A的的一个一个线性组合线性组合
21、. . 12,rk kk， ，为组合的为组合的组合系数组合系数12:,rA 定义定义设向量组设向量组及向量及向量有关系有关系1122rrkkk则则称为向量组称为向量组A的一个的一个线性组合线性组合，或称，或称可由向量组可由向量组线性表示线性表示12,rkkk， ，称为称为在该线在该线性组合下的组合系数性组合下的组合系数. .我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物若若kk，则称向量，则称向量与与成比例成比例零向量零向量是任一向量组的线性组合是任一向量组的线性组合任一维向量任一维向量 12naaa 1
22、100 ， 2010 ， ， 001n ，都是都是单位向量组单位向量组的一个线性组的一个线性组合合1122.nnaaa向量向量可由可由12:,mA 线性表示，线性表示， 1212mmxxx 即方程组即方程组事实上，有事实上，有向量组中每一向量都可由该向量组线性表示向量组中每一向量都可由该向量组线性表示有解有解. .我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定义定义设两向量组设两向量组1212:,:,.rsAB ，若向量组若向量组中每一个向量皆可由向量组中每一个向量皆可由向量组线性表示，线性表示，则称则
23、称向量组向量组可以由向量组可以由向量组线性表示线性表示. .若两个向量组可以互相线性表示，则称这若两个向量组可以互相线性表示，则称这两向量组等价两向量组等价. .向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性. .12:,rA 定义定义设维向量组设维向量组为零的数为零的数12,rkkk， ，使得，使得1122rrkkk 0 0, ,则称向量组则称向量组，如果存在不全，如果存在不全12:,rA 线性相关线性相关. .反之，若当且仅当反之，若当且仅当120rkkk = = =，才有，才有1122rrkkk 0 0, ,则称向量组则称向量组12:,rA
24、线性无关线性无关. .即存在矩阵即存在矩阵,.s rrss rKAB K我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物进一步来理解向量组的线性相关与线性无关进一步来理解向量组的线性相关与线性无关考虑等式考虑等式)(02211 rrkkk 成成立立。使使得得等等式式，至至少少有有两两组组以以上上的的数数线线性性相相关关：，向向量量组组)(2121 rrkkk 0)(212121 rrrkkkkkk成成立立，即即使使得得等等式式，只只存存在在唯唯一一的的一一组组数数线线性性无无关关：，向向量量组组 总成立。总
25、成立。时，等式时，等式当当关，关，是线性相关还是线性无是线性相关还是线性无，无论向量组无论向量组)(02121 rrkkk 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量一向量组中存在一个一向量组中存在一个向量，则一定线性相关向量，则一定线性相关一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；一个向量组
26、若线性无关，则它的任何组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组都线性无关一个部分组都线性无关对于一个向量组，不是线性相关就是线性无关对于一个向量组，不是线性相关就是线性无关几何上：两向量线性相关几何上：两向量线性相关两向量共线；两向量共线；两向量线性相关两向量线性相关两向量对应成比例两向量对应成比例三向量线性相关三向量线性相关三向量共面三向量共面.两向量线性无关两向量线性无关两向量不对应成比例两向量不对应成比例我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理向量组线性无关向量组线性无
27、关齐次线性方程组只有零解；齐次线性方程组只有零解；定理定理向量组线性相关向量组线性相关齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解.推论推论个维向量个维向量线性相关线性相关.0ija 推论推论个维向量个维向量线性无关线性无关.0ija 向量组线性无关向量组线性无关其中其中任何一个向量都不能由任何一个向量都不能由其余向量线性表示其余向量线性表示定理定理向量组线性相关向量组线性相关其中其中至少有一个向量可由其至少有一个向量可由其余向量线性表示余向量线性表示定理定理证证110iirrkkk0ik 111111iiiirriikkkkk 111111iiriiiriiiikkkkkkkk 得证得证不妨
28、设不妨设rrkkk,2121不不全全为为零零的的数数线线性性相相关关，则则，设设 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理 如果向量组如果向量组线性相关，则线性相关，则可由可由唯一线性表示唯一线性表示. .12,rA 12:,rB 线性无关，而向量组线性无关，而向量组证证11220rrkkkk 设设线性无关，线性无关， k，（，（否则与否则与线性无关线性无关矛盾）矛盾）1122rrkkkk 1212rrkkkkkk 可由可由线性表示线性表示. .下证下证唯一性唯一性：1122;rr 1122
29、rr 两式相减有两式相减有 1112220rrr 线性无关，线性无关，11220,0,0rr 1122,rr 即表达式唯一即表达式唯一. .即有即有设设不不全全为为零零，线线性性相相关关，即即而而kkkkBr,21我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理 设向量组设向量组12,rA ：若若线性相关线性相关, ,则向量组则向量组也线性相关；反之，若也线性相关；反之，若向量组向量组线性无关，则向量组线性无关，则向量组也线性无关也线性无关. .定理定理 设向量组设向量组若若线性无关，则向量组线性无
30、关，则向量组也线性无关；反之，若也线性无关；反之，若向量组向量组线性相关，则向量组线性相关，则向量组也线性相关也线性相关. .其中其中注意注意：以上两个定理完全不同，千万不要混淆，第：以上两个定理完全不同，千万不要混淆，第一个定理中是向量的一个定理中是向量的个数个数变，在方程组中体现在变，在方程组中体现在未知数未知数的个数变；第二个定理中是向量的的个数变；第二个定理中是向量的维数维数变，在方程组中变，在方程组中体现在体现在方程方程的个数变的个数变. .nrrB ,:11 mmBA ,:;,:2121 miaaaTriiii, 2 , 1,21 miaaaaaTniirriiii, 2 , 1,
31、 121 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1 1、设向量组、设向量组 130,Tk 212,Tk 3021 线性相关，则线性相关，则 . .2 2、设向量组、设向量组 10,Tac 20 ,Tbc 30Tab 线性无关，则线性无关，则, ,a b c必满足必满足 . .则（则（ ）A A、必可由线性表示；、必可由线性表示；1 212, B B、必可由线性表示；、必可由线性表示；2 121, C C、必可由线性表示；、必可由线性表示；2 112, D D、必不可由线性表示、必不可由线性表示.
32、.1 122, 3 3、若向量组、若向量组121, 线性无关，线性无关，122, 线性相关，线性相关，3 .1kor k 0abc B01202301 kk000 bcacoba线线性性无无关关而而线线性性相相关关，1212121, 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1122rrkkk 线性线性表示表示线性组合线性组合组合系数组合系数线性相关线性相关线性无关线
33、性无关向量组向量组其中其中至少有一个向量可由其余向量至少有一个向量可由其余向量 定理定理向量组向量组其中其中任何向量都不能由其余向量任何向量都不能由其余向量 定理定理定理定理向量组线性无关向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；齐次线性方程组只有零解；定理定理向量组线性相关向量组线性相关齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解. .推论推论个维向量个维向量线性相关线性相关. .0ija 推论推论个维向量个维向量线性无关线性无关. .0ija 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理 如果向
34、量组如果向量组线性相关，则线性相关，则可由可由唯一线性表示唯一线性表示. .12,rA 12,r 线性无关，而向量组线性无关，而向量组定理定理 设向量组设向量组若若线性相关线性相关, ,则向量组则向量组也线性相关；反之，若也线性相关；反之，若向量组向量组线性无关，则向量组线性无关，则向量组也线性无关也线性无关. .定理定理 设向量组设向量组若若线性无关，则向量组线性无关，则向量组也线性无关；反之，若也线性无关；反之，若向量组向量组线性相关，则向量组线性相关，则向量组也线性相关也线性相关. .其中其中12,rA ：nrrB ,:11 mmBA ,:;,:2121 miaaaTriiii, 2 ,
35、 1,21 miaaaaaTniirriiii, 2 , 1, 121 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物线性相关线性相关. .若满足：若满足：设设A: 是一个向量组，它的某一个部分组是一个向量组，它的某一个部分组12,s 向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩向量组的秩记作：记作：( () )或或 12sR 线性无关；线性无关；则称为则称为的一个的一个极大线性无关组极大线性无关组. .riiiA ,:210riiiA ,:210jiiijrsj ,),
36、1 (21 riiiA ,:210我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物一个向量组的任两个极大无关组所含向量个数相同一个向量组的任两个极大无关组所含向量个数相同. .一个向量组的极大无关组不是唯一的一个向量组的极大无关组不是唯一的. .一个线性无关的向量组的极大无关组就是其自身一个线性无关的向量组的极大无关组就是其自身. .一个向量组的任意两个极大无关组都等价一个向量组的任意两个极大无关组都等价. .零向量组构成的向量组不存在极大无关组零向量组构成的向量组不存在极大无关组. .任何非零向量组必存在
37、极大无关组任何非零向量组必存在极大无关组. .任何维向量组如果线性无关，那么任何维向量组如果线性无关，那么它它12,n 就是中的极大无关组就是中的极大无关组. .nR显然维向量组就是中的极大无关组显然维向量组就是中的极大无关组. .nR12,n 向量组与它的任一极大无关组等价向量组与它的任一极大无关组等价. .一个线性相关的向量组的极大无关组是其真子集一个线性相关的向量组的极大无关组是其真子集. .我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理向量组向量组线性相关线性相关( () )12,rifA
38、 12,sB 向量组向量组中向量的个数中向量的个数m向量的维数，则向量的维数，则向量组向量组线性相关线性相关. .推论推论定理定理向量组向量组可由可由线性表示，则线性表示，则若，则若，则线性相关线性相关. .线性无关，线性无关，则则. .( () ) ( () .) .等价向量组必有同秩（反之则不然）等价向量组必有同秩（反之则不然）存在矩阵存在矩阵,.s rrss rKAB K 定理定理向量组向量组线性无关线性无关( ()=)=我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物11220rrxxx 证证：设设
39、 12120.rrxxx 即即记记0Ax 又又可由可由线性表示，则线性表示，则,.s rKABK 00AxBKx 仅考虑仅考虑0,Kx 由于，由于，所以所以构成的列向量构成的列向量线性相关线性相关. .故有非零解故有非零解. .0Kx 亦即亦即 120Trxxxx 11220rrxxx所以所以线性相关线性相关.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 R AR B 证证：的极大无关组的极大无关组. .因为因为可由可由线性表示，则线性表示，线性表示，则线性表示，00AB可可由由定理定理向量组向量组与与
40、均线性无关均线性无关, ,且且与与等价等价, ,则则.rs ,R Ap R Bq 再设分别为再设分别为, ,00,A B设设( )( ),( )( ).m nm ss nif CABR CR A R CR B 推论推论 11,nsCccAaa ijBb s s n n而而，设矩阵设矩阵和和用其列向量表示为用其列向量表示为证明：证明： 111111 nnsssnbbccaabb 由由而而线性无关，线性无关，则则,pq 0A我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物( )( ).R CR A 因因此此,(
41、)(),TTTTTCB AR CR B 又又因因易易知知( )( ).R CR B 即即易知矩阵易知矩阵的列向量组能由的列向量组能由的列向量组线性表示，的列向量组线性表示，设向量组设向量组是向量组是向量组的部分组，若向量组的部分组，若向量组线性线性推论推论无关，且向量组无关，且向量组能由向量组能由向量组线性表示，则向量组线性表示，则向量组是向量组是向量组的一个极大无关组的一个极大无关组. .设向量组设向量组含个向量，则它的秩为，含个向量，则它的秩为，证明：证明：因向量组因向量组能由向量组能由向量组线性表示，故线性表示，故组的秩组的秩，从而从而组中任意组中任意+ +个向量线性相关，所以向量组个向
42、量线性相关，所以向量组满足定义中极大无关组的条件满足定义中极大无关组的条件. .所以向量组所以向量组是向量组是向量组的一个极大无关组的一个极大无关组. .我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定义定义矩阵矩阵111212122211,nnmmmnaaaaaaAaaa 的列向量组的秩称为列秩，记为：的列向量组的秩称为列秩，记为：的行向量组的秩称为的行向量组的秩称为行行秩，记为：秩，记为： .r A .c A定理定理 11TTm nnmR Acr 结论结论m nin A ，则所在行（列）向量组线性无关
43、，则所在行（列）向量组线性无关. .rD0rD，则则的的任任 r 行行（列）向量组线性相关（列）向量组线性相关. .0rD，且含有的，则且含有的，则. .0rDrD10rD R Ar 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理有相同的有相同的线性关系线性关系. .相同的相同的线性关系线性关系是指：是指：已知维列向量组已知维列向量组12,s 12,sn sA 若对若对施行初等行变换把施行初等行变换把化为化为 12,sn sB 则则向量组向量组1212,ppiiiiii 与与 121piiis 1
44、212,.ppiiiiiiRR 12,piii线性表示，且表达式的系数对应相同线性表示，且表达式的系数对应相同. .12,piiii 可可以以由由线性表示，对应的线性表示，对应的i 可可以以由由1212,ss 与与极大无关组相对应极大无关组相对应. .我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.,ERTif ABP is I MPAB 证明证明 1212,ssn sn sAB 12sPAP iiP 即即 12sPPP 12s 设设的某些列的某些列12,piii 有关系有关系12120piipilll则
45、相应的则相应的1212piipilll 1212piipil Pl Pl P 1212piipiP lll 0 具有相同的具有相同的线性关系线性关系. .12,piii 即即中列向量组中列向量组12,piii与与中列向量组中列向量组我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1 1、向量组线性无关，证明：、向量组线性无关，证明：12,r 11, 212, 12rr 线性无关线性无关. .证明证明02211 rrkkk 设设0)()(2121211 rrkkk 即即0)()()(11232121 rrrr
46、rrrkkkkkkkkk 线线性性无无关关r ,21 00001221rrrrrkkkkkkkk021 rkkk线线性性无无关关。，向向量量组组r 21也可以从齐次线性方程组的系数也可以从齐次线性方程组的系数行列式不等于零行列式不等于零,方程组只有零解方程组只有零解推出推出(此方法更具一般性此方法更具一般性)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物11,r 22,r 11,rrrrr 2 2、向量组线性无关，证明：、向量组线性无关，证明：12,r 线性无关线性无关. .中线性相关的是（中线性相关的是
47、（ ）A A、, , ,12 23 31 3 3、已知向量组、已知向量组123, 线性无关，则下列向量组线性无关，则下列向量组12 23 31 B B、, , ,12 23 31 C C、, , ,12 23 31 D D、, , ,D证明证明即即可可题题的的方方法法推推出出用用第第考考虑虑等等式式010212211 rrrkkkkkk 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例设设 1111 ， 3247 , 2025 ， 123TTT 102124157 102011000所以所以 2R A
48、12:,A 线性无关线性无关 2R B 试讨论及秩及线性相关性试讨论及秩及线性相关性. .123:,B 12:,A 123:,B 线性相关线性相关例例已知已知123:, 1234:, 1235:, 设设 3,4,RRR 证明证明12354, 线性无关线性无关. .解解3122 且且ERT我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物证明证明线性相关线性相关，假设假设45321 线线性性无无关关321, 3 R3322114532145, kkk 线性表示，即线性表示，即可由可由 3 R又又33221143
49、214 lll 即即线线性性表表示示，可可由由3332221115)()()( lklklk 矛矛盾盾！线线性性相相关关，与与4,5321 R 线线性性无无关关。，假假设设不不成成立立，即即45321 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物21112112144622436979A 求矩阵求矩阵的列向量组的秩及一个极大线性无关组，的列向量组的秩及一个极大线性无关组，例例 设矩阵设矩阵并将其余向量用该极大线性无关组线性表示并将其余向量用该极大线性无关组线性表示. .21112112144622436
50、979A 11214011100001300000ERT 所以所以的列向量组的秩为的列向量组的秩为. .故极大线性无关组所含向量的个数为个故极大线性无关组所含向量的个数为个.解解我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物11214011100001300000A 显然极大线性无关组为显然极大线性无关组为124, 10104011030001300000ERT 31240, 5124433. 所以可得所以可得例例设设 1111 ， 313,t 2123 ，当为何值时，线性无关当为何值时，线性无关123,