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1、定义定义设设 。三次样条函数三次样条函数 ,且且在在每每个个 上上为为三三次次多多项项式式/*cubic polynomial*/。若若它它同同时时还还满满足足 ，则则称称为为 f 的的三三次次样样条条插插值值函函数数/*cubic spline interpolant*/.注：注：三次样条与分段三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于插值的根本区别在于S(x)自自身光滑身光滑，不需要知道，不需要知道 f 的导数值（除了在的导数值（除了在2个端点可能需要）个端点可能需要）；而；而Hermite插值依赖于插值依赖于f 在所有插值点的导数值。在所有插值点的导数值。f(x)H(x)S(x)
2、第1页/共10页 构造三次样条插值函数的构造三次样条插值函数的三弯矩法三弯矩法 /*method of bending moment*/在在 上，记上，记,for )()(1jjjxxxxSxS =对每个对每个j,此为此为3次多项式次多项式则则 Sj”(x)为为 次多项式，需次多项式，需 个点的值确定之。个点的值确定之。12设设 Sj”(xj 1)=Mj 1，Sj”(xj)=Mj 对应力学中的对应力学中的梁弯矩梁弯矩，故名，故名对于对于x xj 1,xj 可可得到得到Sj”(x)=jjjjjjhxxMhxxM11 +积分积分2次，可得次，可得 Sj(x)和和 Sj(x)：jjjjjjjAhxx
3、MhxxM+2)(2)(2121Sj(x)=jjjjjjjjBxAhxxMhxxM+6)(6)(3131Sj(x)=利用已知利用已知Sj(xj 1)=yj 1 Sj(xj)=yj 可解可解第2页/共10页jjjjjjjhMMhyyA611 =jjjjjjjjjjjjhxxhMyhxxhMyBxA12211)6()6(+=+下面解决下面解决 Mj：利用利用S 在在 xj 的的连续性连续性xj 1,xj:Sj(x)=jjjjjjjjjjjhMMxxfhxxMhxxM6,2)(2)(112121 +1111211216,2)(2)(+jjjjjjjjjjjhMMxxfhxxMhxxMxj,xj+1:
4、Sj+1(x)=利用利用Sj(xj)=Sj+1(xj)，合并关于，合并关于Mj 1、Mj、Mj+1的同类项，并的同类项，并记记 ,整理后整理后得到：得到：11jjjjhhh+=1jj-=),(6111jjjjjjjxxfxxfhhg-+-+=211gMMMjjjjjj=+-j 1n 1即：有即：有 个未知数，个未知数，个方程。个方程。n 1n+1还需还需2个个边界条件边界条件/*boundary conditions*/第3页/共10页 第第1类边界条件类边界条件/*clamped boundary*/：S(a)=y0，S(b)=yn22)(MMax)xx a,x1:S1(x)=1011011
5、1106,22hxxfhMhM+6n010110),(2gy0 xxfhMM=+nnnnngxxfynhMM=+),(6211类似地利用类似地利用 xn 1,b 上的上的 Sn(x)第第2类边界条件：类边界条件：S”(a)=y0”=M0，S”(b)=yn”=Mn这时：这时：特别地，特别地，M0=Mn=0 称为称为自由边界自由边界/*free boundary*/，对应的对应的样条函数称为样条函数称为自然样条自然样条/*Natural Spline*/。第第3类边界条件类边界条件/*periodic boundary*/：当当 f 为为周期函数周期函数时，时，yn=y0，S(a+)=S(b)M0
6、=Mn 第4页/共10页注：注：另有另有三转角法三转角法得到样条函数，即设得到样条函数，即设 Sj(xj)=mj，则易知则易知xj 1,xj 上的上的Sj(x)就是就是Hermite函数函数。再利。再利用用S”的连续性，可导出关于的连续性，可导出关于mj 的方程组，加上边的方程组，加上边界条件即可解。界条件即可解。Cubic Spline 由由boundary conditions 唯一唯一确定。确定。收敛性：收敛性：若若 ，且，且 ，则，则一致一致S(x)f(x)即即:提高精度只须提高精度只须增加节点增加节点,而无须提高样条阶数。而无须提高样条阶数。稳定性：稳定性：只要边条件保证只要边条件保
7、证|0|,|0|,|n|,|n|2，则方程组系数阵为则方程组系数阵为SDD阵阵，保证数值稳定。保证数值稳定。第5页/共10页5 Cubic Spline Sketch of the Algorithm:Cubic Spline 计算计算 j,j,gj;计算计算 Mj (追赶法等追赶法等);找到找到 x 所在区间所在区间(即找到相应的即找到相应的 j);由该区间上的由该区间上的 Sj(x)算出算出 f(x)的近似值。的近似值。插值法小结插值法小结 Lagrange:给出给出 y0 yn，选基函数，选基函数 li(x)，其次数为，其次数为 节点数节点数 1。Newton Ln(x)，只是形式不同；节点等距或渐增节点时只是形式不同；节点等距或渐增节点时方便处理。方便处理。Hermite：给出给出 yi 及及 yi，选，选 hi(x)及及 hi(x)。Spline：分段低次：分段低次,自身光滑自身光滑,f 的导数只在边界给出。的导数只在边界给出。第6页/共10页例1.对于给定的节点及函数值解:第7页/共10页第8页/共10页第9页/共10页感谢您的观看！第10页/共10页