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1、数值数值(shz)分析分析 第一页，共51页。2.1 引言引言 许多实际问题都用函数许多实际问题都用函数 y=f(x)来表示某种内在规律的数来表示某种内在规律的数量关系量关系(gun x)。若已知。若已知 f(x)在某个区间在某个区间 a,b 上存在、连续，上存在、连续，但只能给出但只能给出 a,b 上一系列点的上一系列点的函数值表时，或者函数有解析函数值表时，或者函数有解析表达式，但计算过于复杂、使表达式，但计算过于复杂、使用不方便只给出函数值表（如用不方便只给出函数值表（如三角函数表、对数表等）时，三角函数表、对数表等）时，为了研究函数的变化规律，往为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在
2、表上的函数值。往需要求出不在表上的函数值。因此我们希望根据给定的函数因此我们希望根据给定的函数表做一个既能表做一个既能 反映函数反映函数 f(x)的的特性，又便于计算的简单函数特性，又便于计算的简单函数 P(x)，用，用 P(x)近似近似 f(x)。这就。这就引出了插值问题。引出了插值问题。第1页/共51页第二页，共51页。1、提出、提出(t ch)问题（插值法的定义）问题（插值法的定义）2、几何、几何(j h)意义、外插、内插意义、外插、内插 P(x)f(x)x*(外插)x0 x1x(内插)x2x3P(x*)f(x*)第2页/共51页第三页，共51页。3、插值的种类、插值的种类 选取不同选取
3、不同(b tn)的函数族构造的函数族构造 P(x)得到不同得到不同(b tn)类类型的插值型的插值若若 P(x)是次数不超过是次数不超过 n 的代数多项式，就称为多项式插值；的代数多项式，就称为多项式插值；若若 P(x)为分段的多项式，就称为分段插值；为分段的多项式，就称为分段插值；若若 P(x)为三角多项式，就称为三角插值。为三角多项式，就称为三角插值。本章只讨论多项式插值与分段插值。主要研究内容为如何求出本章只讨论多项式插值与分段插值。主要研究内容为如何求出插值多项式，分段插值函数；讨论插值多项式插值多项式，分段插值函数；讨论插值多项式 P(x)的存在唯一性、的存在唯一性、收敛性及估计误差
4、等。收敛性及估计误差等。4、多项式插值问题、多项式插值问题第3页/共51页第四页，共51页。插值多项式的存在插值多项式的存在(cnzi)唯一性唯一性 第4页/共51页第五页，共51页。定理定理1(存在唯一性存在唯一性)满足插值条件满足插值条件(tiojin)的不超过的不超过 n 次的插值次的插值多项式是存在唯一的。多项式是存在唯一的。2.2 拉格朗日插值一、线性插值与抛物插值1、线性插值 y=f(x)L1(x)yxxk+1xk0第5页/共51页第六页，共51页。第6页/共51页第七页，共51页。2、抛物插值 第7页/共51页第八页，共51页。求解求解(qi ji)基函数基函数第8页/共51页第
5、九页，共51页。二、拉格朗日插值多项式二、拉格朗日插值多项式 上面针对上面针对 n=1 和和 n=2 的情况，得到了一次和二次插值多项式，的情况，得到了一次和二次插值多项式，这种用基函数表示的方法很容易这种用基函数表示的方法很容易(rngy)推广到一般情况。下面讨论推广到一般情况。下面讨论如何构造如何构造 n+1 个节点的个节点的 n 次插值多项式。次插值多项式。第9页/共51页第十页，共51页。第10页/共51页第十一页，共51页。第11页/共51页第十二页，共51页。第12页/共51页第十三页，共51页。第13页/共51页第十四页，共51页。定理表明：定理表明：(1)插值误差与节点和点插值
6、误差与节点和点 x 之间的距离有关之间的距离有关,节点距离节点距离 x 越近越近,插值插值误差一般情况下越小。误差一般情况下越小。(2)若被插值函数若被插值函数 f(x)本身就是本身就是(jish)不超过不超过 n 次的多项式次的多项式,则则有有f(x)g(x)。第14页/共51页第十五页，共51页。第15页/共51页第十六页，共51页。3、应用、应用(yngyng)举例举例 第16页/共51页第十七页，共51页。用二次插值计算用二次插值计算 ln(11.25)ln(11.25)的近似值的近似值,并估计并估计(gj)(gj)误差。误差。例2-2 给定(i dn)函数值表x10111213lnx
7、2.3025852.3978952.4849072.564949第17页/共51页第十八页，共51页。在区间在区间(q jin)10,12(q jin)10,12上上lnx lnx 的三阶导数的三阶导数(2/x3)(2/x3)的上限的上限 M3=0.002,M3=0.002,可得误差估计式可得误差估计式注：实际上注：实际上,ln(11.25)=2.420368,ln(11.25)=2.420368,|R|R2 2(11.25)|=0.000058(11.25)|=0.000058 x1.01.41.82.0yi=f(xi)-2.0-0.80.41.2第18页/共51页第十九页，共51页。yi-
8、2.0-0.80.41.2f-1(yi)=x1.01.41.82.00?分析：求解如上问题(wnt)等价于求解x关于y的反函数问题(wnt)。第19页/共51页第二十页，共51页。第20页/共51页第二十一页，共51页。第21页/共51页第二十二页，共51页。2.3 均差与牛顿插值公式一、均差及其性质 问题的引入：拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，理论分析方便，但插值节点增减时全部插值及函数均要随之变化，实际计算(j sun)不方便，希望把公式表示为如下形式。第22页/共51页第二十三页，共51页。第23页/共51页第二十四页，共51页。1、均差、均差(jn ch)定义定义2、均差、均差(jn
9、 ch)的基本性质的基本性质 2、均差、均差(jn ch)的基本性质的基本性质 2、均差的基本性质、均差的基本性质 第24页/共51页第二十五页，共51页。第25页/共51页第二十六页，共51页。xi(xi)一阶均差二阶均差三阶均差n阶均差x0 x1x2x3 xn(x0)(x1)(x2)(x3)(xn)x0,x1x1,x2x2,x3 xn-1,xnx0,x1,x2x1,x2,x3 xn-2,xn-1,xnx0,x1,x2,x3 xn-3,xn-2,x2,x3 x0,x1,xn均差均差(jn ch)计算表计算表第26页/共51页第二十七页，共51页。例如例如 由函数由函数(hnsh)y=(hns
10、h)y=(x)(x)的函数的函数(hnsh)(hnsh)表写出均差表表写出均差表.解解 均差均差(jn(jn ch)ch)表如下表如下i0123xi-2-112(xi)531721ixi(xi)一阶均差二阶均差三阶均差0123-2-112531721-2743-1-1第27页/共51页第二十八页，共51页。二、牛顿(ni dn)插值公式第28页/共51页第二十九页，共51页。第29页/共51页第三十页，共51页。解 由差商表知x0,x1=-2,x0,x1,x2=3,x0,x1,x2,x3=-1,于是(ysh)有N N1 1(x)=5-2(x+2)=1-2x(x)=5-2(x+2)=1-2xN
11、N2 2(x)=1-2x+3(x+2)(x+1)=3x(x)=1-2x+3(x+2)(x+1)=3x2 2+7x+7+7x+7N N3 3(x)=3x(x)=3x2 2+7x+7-(x+2)(x+1)(x-1)=-x+7x+7-(x+2)(x+1)(x-1)=-x3 3+x+x2 2+8x+9+8x+9例2-6 对例如(lr)中的(x),求节点为 x0,x1 的一次插值，x0,x1,x2 的二次插值和 x0,x1,x2,x3 的三次插多项式.ixi(xi)一阶均差二阶均差三阶均差0123-2-112531721-2743-1-1第30页/共51页第三十一页，共51页。例2-7 给出 f(x)的
12、函数表，求4次牛顿(ni dn)插值多项式，并计算f(0.596)的近似值。xi(xi)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差五阶均差0.400.550.650.800.901.050.410750.578150.696750.888111.026521.253821.116001.186001.275731.384101.515330.280000.358930.433480.524930.197330.213000.228630.031340.03126-0.00012第31页/共51页第三十二页，共51页。第32页/共51页第三十三页，共51页。2.4 埃尔米特插值 不少(b sho)实际的插
13、值问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特（Hermite）插值多项式。y=L10(x)第33页/共51页第三十四页，共51页。y=L10(x)x012(x)129(x)3第34页/共51页第三十五页，共51页。第35页/共51页第三十六页，共51页。xi(xi)一阶均差 二阶均差 三阶均差01121229137241解法二（用重节点的均差解法二（用重节点的均差(jn ch)表建立埃尔米特多项式）表建立埃尔米特多项式）第36页/共51页第三十七页，共51页。2.5 分段低次插值一、高次插值的病态性质 一般总认为L
14、n(x)的次数n越高逼近f(x)的精度越好，但实际上并非如此。这是因为对任意的插值节点(ji din)，当n-时，Ln(x)不一定收敛于f(x)。20世纪初龙格（Runge）就给了一个等距节点(ji din)插值多项式Ln(x)不一定收敛于f(x)的例子。y=L10(x)第37页/共51页第三十八页，共51页。x1y=L10(x)o-10.5y1.51龙格现象龙格现象(xinxing)第38页/共51页第三十九页，共51页。二、分段(fn dun)线性插值分段(fn dun)线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近f(x).第39页/共51页第四十页，共51页。分段分段(fn dun)线性插
15、值线性插值三、分段三、分段(fn dun)抛物插值抛物插值三、分段三、分段(fn dun)抛物插值抛物插值第40页/共51页第四十一页，共51页。2.6 三次样条插值 样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到(d do)数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数。一、三次样条函数 y=L10(x)每个小区间上要确定4个待定系数(xsh)，共有n个小区间，故应确定4n个参数。第41页/共51页第四十二页，共51页。y=L10(x)第42页/共51页第四十三页，共51页。二、三次(sn c)样条插值函数的建立 y=L10(x)第43页
16、/共51页第四十四页，共51页。y=L10(x)第44页/共51页第四十五页，共51页。y=L10(x)第45页/共51页第四十六页，共51页。y=L10(x)系数(xsh)矩阵为严格对角占优阵，方程组有为一解。求法见5.3节追赶法。第46页/共51页第四十七页，共51页。y=L10(x)第47页/共51页第四十八页，共51页。y=L10(x)第48页/共51页第四十九页，共51页。知知识识结结构构图图二二插值法工具(gngj)分段(fn dun)多项式插值存在(cnzi)唯一性多项式插值Hermite插值插值公式误差估计差商、差分Lagrange插值基及函数定义性质定义性质导数型差商型Lagrange插值多项式Newton插值多项式 等距节点插值公式 存在唯一性误差估计 插值公式 分段线性插值（公式、误差估计、收敛性）分段三次Hermite插值（公式、误差估 计、收敛性）三次样条插值（公式、存在唯一 性、误差估计、收敛性）第49页/共51页第五十页，共51页。第50页/共51页第五十一页，共51页。