第四章李雅普诺夫稳定性理论.pptx

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1、11.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳定性概念。2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法。3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳定性分析方法。重点内容：李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李雅普诺夫函数的构造。线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别。教学要求：第1页/共73页2研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特征。要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用无

2、关。第2页/共73页3经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非线性系统)第3页/共73页41892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。应用：自适应控制，最优控制，非线性控制等。第4页/共73页5主要内容：李氏第一法（间接法）：求解特征方程 的特征值李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造李氏函数第5页/共73页64.1 稳定性基本概念 1.自治系统：输入为0的系统 =Ax+Bu(u=0)2.初态 =f(x,t)的解为 初态 3.平衡状态：系统的平

3、衡状态 a.线性系统 A非奇异：A奇异：有无穷多个第6页/共73页7b.非线性系统 可能有多个 例4-1:令 第7页/共73页84.孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的邻域内不存在别的平衡状态。对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的坐标变换，把它变换到状态空间的原点。第8页/共73页94.2 李雅普诺夫稳定性的定义 1.李雅普诺夫意义下的稳定如果对每个实数 都对应存在另一个实数 满足的任意初始态 出发的运动轨迹，在 都满足：第9页/共73页10则称 是李雅普诺夫意义下稳定的。时变：与 有关 定常系统：与 无关，是一致稳定的。注意：向量范数(表示空间距离)欧几里得范数。第10页/共73页112

4、.渐近稳定1）是李雅普诺夫意义下的稳定2）一致渐近稳定3.大范围内渐近稳定性对 都有第11页/共73页12初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定性。v线性系统(严格)：如果它是渐近稳定的，必 是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初 始条件的大小无关)。v非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛 或其附近。第12页/共73页13当 与 无关 大范围一致渐近稳定。必要条件：在整个状态空间中只有一个平衡状态 4.不稳定性：不管 ，有多小，只要 内由 出发的轨迹超出 以外，则称此平衡状态是不稳定的。第13页/共73页14 线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。非线性系统的平衡

5、状态不稳定 只说明轨迹离开了S(），这说明平衡状态是不稳定的。然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨迹还可能趋于在S(）外的某个极限环,若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定。第14页/共73页15图4.1（a）稳定平衡状态及一条典型轨迹（b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹（c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹第15页/共73页164.3 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法（间接法）（间接法）利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。1.线性定常系统稳定性的特征值判据线性定常系统稳定性的特征值判据1）李雅普诺夫意义下的李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：

6、稳定的充要条件：2）渐近稳定的充要条件：）渐近稳定的充要条件：3）不稳定的充要条件：第16页/共73页172.非线性系统的稳定性分析 假定非线性系统在平衡状态附近可展开成台劳级数，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。设非线性系统状态方程：在平衡状态 附近存在各阶偏导数，于是：-非线性函数第17页/共73页18其中：-级数展开式中二阶以上各项之和第18页/共73页19上式为向量函数的雅可比矩阵。令 则线性化系统方程为：第19页/共73页20结论：1)若 ，则非线性系统在 处是渐近稳定的，与 无关。2)若 ,则非线性系统不稳定。3)若 ，稳定性与 有关，则是李雅普诺夫意义

7、下的稳定。第20页/共73页21例4-2：已知非线性系统的状态方程为：试分析系统在平衡状态处的稳定性。解：令第21页/共73页22第22页/共73页23可见非线性系统在平衡状态xe1处不稳定。不能确定非线性系统在平衡状态xe2处稳定性。第23页/共73页244.4 李雅普诺夫第二法(直接法)预备知识第24页/共73页25 第25页/共73页26 第26页/共73页27 5.V(x)不定:v(x)0或V(x)0 则 V(x)是不定的。如：第27页/共73页28第28页/共73页292.如果P是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则是正半定的。3.如果矩阵P的奇数阶主子行列式为负值，偶数阶主子行

8、列式为正值，则是负定的。即:第29页/共73页30第30页/共73页31几个稳定性定理 设系统状态方程：其平衡状态满足 ，假定状态空间原点作为平衡状态()，并设在原点邻域存在 对 x 的连续的一阶偏导数。第31页/共73页32定理1：若(1)正定；(2)负定；则原点是渐近稳定的。(3)当 时 ,则系统在原点处是大范围渐近稳定的。说明：负定 能量随时间连续单调衰减。定理2：若(1)正定；(2)负半定；(3)在非零状态不恒为零，则原点是渐近稳定的。第32页/共73页33说明：不存在 ，经历能量等于恒定，但不维持在该状态。定理3：若(1)正定；(2)负半定；(3)在非零状态恒为零；则原点是李雅普诺夫

9、意义下稳定的。第33页/共73页34说明：系统维持等能量水平运动，使 维持在非零状态而不运行至原点。定理4：若(1)正定；(2)正定 则原点是不稳定的。说明：正定 能量函数随时间增大，在 处发散。第34页/共73页35推论1：当 正定，正半定，且 在非零状态不恒为零时,则原点不稳定。推论2：正定，负半定，若 ，则原点是李雅普诺夫意义下稳定(同定理3)。第35页/共73页36几点说明：1)选取不唯一，但没有通用办法，选取不当，会导致 不定的结果。2)这仅仅是充分条件。-单调衰减(实际上是衰减振荡)第36页/共73页37选取李雅普诺夫函数的方法:构造一个 二次型函数；1)求 ，并代入状态方程；2)

10、判断 的定号性；3)判断非零状态情况下，是否为零。渐近稳定李雅普诺夫意义下稳定不稳定第37页/共73页38令 若 成立 李氏意义下稳定 若仅 成立 渐近稳定 若 负半定第38页/共73页39例4-3：已知非线性系统的状态方程为：试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。解：令原点是唯一平衡点第39页/共73页40 设则负定1)原点是渐近稳定的；原点是渐近稳定的；2)只有一个平衡状态，该系统是大范围渐只有一个平衡状态，该系统是大范围渐近稳定；近稳定；3)由于由于V(x)与与t无关，又是大范围一致渐近无关，又是大范围一致渐近稳定。稳定。定理1第40页/共73页41几何意义：等能量轨迹(整个平面)表示状态x

11、到状态空间原点距离的一种度量。如果原点与瞬时状态x(t)之间的距离随t的增加而连续地减小（即），则最终 。第41页/共73页42例4-4：已知非线性系统的状态方程为：试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。解：令原点是唯一平衡点第42页/共73页43 设则负半定反设 只有平衡状态 满足第43页/共73页44这个结果是相矛盾的。所以这种情况不会发生在状态方程的解运动轨迹上。综合以上分析可知,系统在平衡状态xe=0处是大范围渐近稳定的。第44页/共73页45例4-5：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解：1)令即原点是平衡状态。设第45页/共73页46则：其它负半定令只有全零解非零状态时原点 是渐近稳

12、定，且是大范围一致渐近稳定。定理2第46页/共73页47例4-6：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解：设 则 故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。原点是平衡状态定理3第47页/共73页48例4-7：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解:即 设 则 可见 与 无关，故非零状态(如 )有 ，而对其余任意状态 有第48页/共73页49 故 正半定。令 即非零状态时，不恒为零，则原点不稳定即系统不稳定。推论1第49页/共73页504.5 线性定常系统渐近稳定性判别法1.设系统状态方程为：为唯一平衡状态。设选取如下的正定二次型函数 为李氏函数 则：-非奇异矩阵将 代入：线性定常连续系统渐近稳定性判别第

13、50页/共73页51 令 由渐近稳定性定理1，只要Q正定(即 负定)，则系统是大范围一致渐近稳定。定理：系统 大范围渐近稳定的充要条 件为:给定一正定实对称矩阵Q，存在唯一的正定实对称矩阵P使 成立，则 为系统的一个李雅普诺夫函数。第51页/共73页52方法1：给定正定Q P的定号性 Q单位阵 P的定号性方法2：Q取正半定(定理2)允许单位矩阵主对 角线上部分元素为零。第52页/共73页53例4-8：解：选取第53页/共73页54第54页/共73页55P正定 是大范围一致渐近稳定李雅普诺夫函数为:且第55页/共73页56例4-9:试用李雅普诺夫方程确定下图所示系统渐近稳定的K值范围。第56页/

14、共73页57解 容易推得系统的状态方程为:在确定K的稳定范围时，假设输入u为零。于是上式可写为:由式(4.1）到（4.3）可知，原点是平衡状态。假设取正半定的实对称矩阵Q为:第57页/共73页58由于除原点外不恒等于零，因此可选上式的Q。为了证实这一点，注意取于是只在原点处才恒等于零。为负半定。因此可选择正半定Q用于Lyapunov方程。第58页/共73页59现在求解如下Lyapunov方程:对P的各元素求解，可得:第59页/共73页60为使P成为正定矩阵，其充要条件为:和即 系统渐近稳定。也就是说，原点是大范围一致渐近稳定的。第60页/共73页612.线性定常离散系统渐近稳定性判别 设系统状

15、态方程：其中 -非奇异阵，是平衡状态。设第61页/共73页62令李氏代数方程第62页/共73页63定理：系统 渐近稳定的 充要条件为：给定任一正定实对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵P，使式 成立，则 是系统的一个李氏函数。可取i.Q=Iii.如果 且 可取Q为正半定阵。第63页/共73页644.6 构造李雅普诺夫函数的一些方法克拉索夫斯基方法给出了非线性系统平衡状态渐近稳定的充分条件。克拉索夫斯基定理:考虑如下非线性系统 式中，x为n维状态向量，为的非线性n维向量函数，假定，且对可微（i=1,2,n）。第64页/共73页65该系统的雅可比矩阵定义为第65页/共73页66如果矩阵 是负定的，则

16、平衡状态xe=0是渐近稳定的。该系统的Lyapunov函数为:此外，若随着，则平衡状态是大范围渐近稳定的。第66页/共73页67证明:选取注意到 从而因为 是负定的，所以也是负定的。所以原点是渐近稳定的。第67页/共73页68例4-10：已知非线性系统的状态方程为：试用克拉索夫斯基方法判断xe=0稳定性。解：第68页/共73页69根据赛尔维斯特判据，有是负定的。第69页/共73页70而且当，有系统在平衡状态xe=0处是大范围渐近稳定第70页/共73页71作 业1.9-342.确定下述系统的平衡状态，并用李雅普诺夫稳定性理论判别其稳定性。第71页/共73页721.已知非线性系统的状态方程为：试用克拉索夫斯基方法判断xe=0稳定性。作 业第72页/共73页73感谢您的观看！第73页/共73页