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1、第四章 稳定性与李雅普诺夫方法第1页，本讲稿共31页 从经典控制理论可知，线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数而与系统的初始条件及外界扰动的大小无关。但非线性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。41 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义一一、系统状态的运动及平衡状态、系统状态的运动及平衡状态设所研究的齐次状态方程为（4-1）式中 x-n维状态矢量；-与x同维的矢量函数。它是x的各元素 和时间t的函数。一般地，为时变的非线性函数。如果不显含t，则为定常的非线性函数。第2页，本讲稿共31页 设方程式（4-1）在给定条件（t0，x0）下，有唯一解式中 -表示x在初始时
2、刻t0时的状态；t-是从开始观察的时间变量。0 （4-3）成立，则称xe为系统的平衡状态。Ax (4-2)式（4-2）实际上描述了系统式（4-1）在n维状态空间中从初始条件 出发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨迹。若系统式（4-1）存在状态矢量 ，对所有t，都使对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的，例如对线性定常系统第3页，本讲稿共31页 当A为非奇异矩阵时，满足Axe0是系统唯一存在的一个平衡状态。而当A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态，它们是由方程式（4-3）所确定的常值解，例如系统就有三个平衡状态
3、由于任意一个已知的平衡状态，都可通过坐标变换将其移到坐标原点 0处。所以今后将只讨论系统在坐标原点处的稳定性就可以了。应当指出，稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。第4页，本讲稿共31页 二、二、稳定性的几个定义稳定性的几个定义若用表示状态矢量x与平衡状态的距离，用点集s（）表示以为中心为半径的超球体，那么xs（），则表-为欧几里德范数。当很小时，则称s（）为的邻域。因此，若有x0s（），式中 在n维状态空间中，有（4-6）（4-5）则意味着同理，若方程式（41）的解位于球域s（）内，便有第5页，本讲稿共31页 另一实数(，t0)0，使当时，从任意初态x0出发的解都满足则称平衡状态也与t0
4、有关。如果与t0无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。同理，若方程式（4-1）的解位于球域s（）内，便有（4-7）式（4-7）表明齐次方程式（4-1）由初态 或短暂扰动所引起的自由响应是有界的。李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为四种情况。1 李雅普诺夫意义下稳定如果由方程式（41）描述的系统对于任意选定的实数0，都对应存在（4-8）（4-9）为李雅普诺夫意义下稳定。其中实数与有关，一般情况下第6页，本讲稿共31页 如果平衡状态而且最终收敛于，则称这种平衡状态从工程意义上说，渐进稳定比稳定更重要。但由于渐进稳定是一个局部概念，通常只确定某平衡状态的渐进稳定性并不意味着整个系统就
5、能正常运行，因此，如何确定渐进稳定的最大区域，并且尽量扩大其范围是尤其重要的。2 渐进稳定是稳定的，而且当t无限增长时，轨迹不仅不超过s（），渐进稳定。3 大范围渐进稳定如果平衡状态具有渐进稳定性，则称这种平衡状态进稳定的必要条件是在整个状态空间只有一个平衡状态。对于线性系统来说，如果平衡状态是渐进稳定的，则必然也是大范围渐进稳定的。对于非线性系统，使为渐进稳定平衡状态的球域s（）一般不大的，常称这种平衡状态为小范围渐进稳定。是稳定的，而且从状态空间中所有初始状态出发的轨迹都大范围渐进稳定。显然，大范围渐第7页，本讲稿共31页 4 不稳定如果对于某个实数0和任一实数0，则称V（x）为正定的。例
6、如，V（x）（2）V（x）0，则称V（x）为半正定（或非负定）的。例如V（x）（3）V（x）0或V（x）0。（2）若V（x）负定，则称P为负定，记作P0（i1，2，n）则P（或V（x）为正定的。2.若i，（i1，2，n）则P（或V（x）为负定的。，（i1，2，n）则P（或V（x）为半，（i1，2，n）则P（或V（x）为半正定（非负定）的。负定（非正定）的。第18页，本讲稿共31页 如果存在一个标量函数V（x），它满足：1.V（x）对所有x都具有连续的一阶偏导数。2.V（x）是正定的，即当x0，V（x）0；x0，V（x）0。3.V（x）沿状态轨迹方向计算的时间导数为半负定，那么平衡状态为在李雅普
7、诺夫意义下稳定，为负定；或者虽然x（t0）0来说，除去x0外，对x0，点平衡状态是渐进稳定的。如果进一步还有当，则系统是大范围渐进稳定。此称渐进稳定判据。是不稳定的。此称不稳定判据。二二 几个稳定性判据几个稳定性判据设系统的状态方程为（4-21）平衡状态为此称稳定判据。为半负定，但对任意初始状态不恒为零。那么原为正定，那么平衡状态第19页，本讲稿共31页 当x10，x20时，；当x10，x20时，稳定的呢？为此，还需要进一步分析当x10，x20时，恒等于零，必然要求x2在tt0时恒等于零；而x2恒等于恒等于零。但从状态方程可知，在tt0时，若要求和x20，必须满足x10的条件。这就表明，在x0
8、时，等于零。因此上面当x10，x20时，例4-5已知系统状态方程试分析系统平衡状态的稳定性。解 原点是系统唯一的平衡状态，选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，即则为半负定。根据判据，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。那么能否是渐进是否恒为零。如果假设零又要求不能恒的情况只能出现在状态轨第20页，本讲稿共31页 迹与等V圆相切的某一时刻上。又由于原点处为大范围渐进稳定。，故系统在三 对李雅普诺夫函数的讨论1）V（x）是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且对x应具有连续的一阶偏导数。2)对于一个给定系统，如果V（x）是可找到的，那么通常是非唯一的，但这并不影响结论的一致性。3)V（x）的
9、最简单形式是二次型函数V（x），其中P为实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但V（x）并不一定都是简单的二次型。由稳定性判据可知，运用李雅普诺夫第二法的关键在于寻找一个满足判据条件的李雅普诺夫函数V（x）。第21页，本讲稿共31页 便表征了系统相对原点运动的速度。(4-22)则V（x）常值，k1，2，n在几何上表示状态空间中以原点为中心，以 为半径的超球体，必位于 的球面内。V（x）就表示从原点至x点的距离。4)如果V（x）为二次型，且可表示为若这个距离随时间的推移而减少，即若这个距离随时间的推移而非增，即若这个距离随时间的推移而增加，即5）V（x）函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局
10、部运动的稳定情况。但丝毫不能提供域外的如何信息。，x（t）必将收敛于原点，则原点是渐进稳定的。，则原点是稳定的。，则原点是不稳定的。第22页，本讲稿共31页 44 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用李雅普诺夫方法在线性系统中的应用（(4-23）ATP+PAQ (4-24)是系统的李雅普诺夫函数。一一 线性定常连续系统渐进稳定判据线性定常连续系统渐进稳定判据设线性定常连续系统为则平衡状态为大范围渐进稳定的充要条件是：对任意给定的正定对称矩阵Q，必存在正定的实对称矩阵P，满足李雅普诺夫方程并且V（x）（4-25）第23页，本讲稿共31页 在应用该判据时应注意以下几点：1）实际应用时，通常是先选取一个
11、正定矩阵Q，代入李雅普诺夫方程式（424）解出矩阵P，然后按希尔维斯特判据判定P的正定性，进而作出系统渐进稳定的结论。2）为了方便计算，常取QI，这时P应满足 ATP+PAI 式中 I单位矩阵。3）若 沿任一轨迹不恒等于零，那么Q可取为半正定的。4）上述判据所确定的条件与矩阵A的特征值具有负实部的条件等价，因而判据所给出的条件是充要的。因为设A（或通过变换），若取V（x），则Q（AT+A）2A2显然只有当(4-28)全为负值时，Q才是正定的。第24页，本讲稿共31页 P代入式（428），得将上式展开，并令各对应元素相等，可解得例49 设系统状态方程为试分析系统平衡状态的稳定性。解 设，QI第2
12、5页，本讲稿共31页根据希尔维斯特判据知故矩阵P是正定的，因而系统的平衡点是大范围渐进稳定。或者由于是正定的，而是负定的。第26页，本讲稿共31页 为了说明这样选取Q半正定是正确的，尚需证明显然，条件是x30，但由状态方程可推知，此时x10，x20，处才使，而沿任一轨迹均不会恒等于零。因此，允许选取Q为半正定的。例4-10 设系统状态方程为试确定系统增益K的确定范围。解 因detA0，故原点是系统唯一的平衡状态。假设选取半正定的实对称矩阵Q为沿任意轨迹不恒等于零。由于这表明只有在原点，即在平衡状态第27页，本讲稿共31页 根据式（424），有可解得矩阵为使P为正定矩阵，其充要条件是122K0和
13、K0即 0K6这表明当0K6时，系统原点是大范围渐进稳定的。第28页，本讲稿共31页 假设原点是平衡状态，对xi（i1，2，n）可微，系统的（4-49）45 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用一一 雅可比（雅可比（Jacobian）矩阵法）矩阵法设非线性系统状态方程为（4-48）式中 x-n维状态矢量；-与x同维的非线性矢量函数。雅可比矩阵为第29页，本讲稿共31页 Q（x）JT(x)P+P J(x)态为渐进稳定的，那么这个李雅普诺夫函数V（x）的剃度：则系统在原点渐进稳定的充分条件是：任给正定实对称阵P。使下列矩阵为正定的，并且（4-50）（4-51）是系统的一个李雅普诺夫函数。二二 变量剃度法变量剃度法如果找到一个特定的李雅普诺夫函数V（x），能够证明所给系统的平衡状第30页，本讲稿共31页 必定存在且唯一。于是V（x）对时间的导数可表达为 或写出矩阵形式，得由此，舒茨基布逊提出，从假设一个旋度为零的剃度（4-57）的关系确定V（x）。如果这样确定那么这个V（x）就是所要的李雅普诺夫函数。(4-57)着手，然后根据式和V（x）都满足判据条件，第31页，本讲稿共31页