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1、第四章李雅普诺夫稳定性理论1第一页，本课件共有73页1.正正确确理理解解稳稳定定性性基基本本概概念念和和李李雅雅普普诺诺夫夫意意义义稳稳定定性性概念。概念。2.熟练掌握李氏第一法熟练掌握李氏第一法,李氏第二法。李氏第二法。3.掌掌握握线线性性系系统统渐渐近近稳稳定定性性分分析析和和离离散散系系统统渐渐近近稳定性分析方法。稳定性分析方法。重点内容：重点内容：v李李雅雅普普诺诺夫夫第第一一、第第二二法法的的主主要要定定义义与与定定理理，李李雅雅普诺夫函数的构造。普诺夫函数的构造。v线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别v李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判
2、别。李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别。教学要求：教学要求：2第二页，本课件共有73页v研究的目的和意义研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特征。正常工作的必要条件，是一个重要特征。v要求：要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。状态继续工作。v稳定性：稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用无统状态
3、方程解的收敛性，而与输入作用无关。关。3第三页，本课件共有73页v经典控制理论稳定性判别方法：经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，代数判据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据v非线性系统：非线性系统：相平面法相平面法(适用于一，二阶非线适用于一，二阶非线性系统性系统)4第四页，本课件共有73页v1892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用于单性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。量等系统。v应用：自适应控制，最优控制，非
4、线性控制应用：自适应控制，最优控制，非线性控制等。等。5第五页，本课件共有73页主要内容：主要内容：v李氏第一法（间接法）：李氏第一法（间接法）：求解特征方程求解特征方程 的特征值的特征值v李氏第二法（直接法）：李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧利用经验和技巧来构造李氏函数来构造李氏函数6第六页，本课件共有73页4.1 稳定性基本概念稳定性基本概念 1.自治系统：自治系统：输入为输入为0的系统的系统 =Ax+Bu(u=0)2.初态初态 =f(x,t)的解为的解为 初态初态 3.平衡状态：平衡状态：系统的平衡状态系统的平衡状态 a.线性系统线性系统 A非奇异：非奇异：A奇异：奇异：有无穷多个有
5、无穷多个7第七页，本课件共有73页b.非线性系统非线性系统 可能有多个可能有多个 例例4-1:令令 8第八页，本课件共有73页4.孤立的平衡状态：孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小在某一平衡状态的充分小的邻域内不存在别的平衡状态。的邻域内不存在别的平衡状态。对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的坐标变换，把它变换到状态空间的原点。坐标变换，把它变换到状态空间的原点。9第九页，本课件共有73页4.2 李雅普诺夫稳定性的定义李雅普诺夫稳定性的定义 1.李雅普诺夫意义下的稳定李雅普诺夫意义下的稳定如果对每个实数如果对每个实数 都对应存在另一个都对应存在另一个实数
6、实数 满足满足的任意初始态的任意初始态 出发的运动轨迹出发的运动轨迹，在，在 都满足：都满足：10第十页，本课件共有73页则称则称 是李雅普诺夫意义下稳定的。是李雅普诺夫意义下稳定的。时变：时变：与与 有关有关 定常系统：定常系统：与与 无关，无关，是一致稳定的。是一致稳定的。注意：注意：向量范数向量范数(表示空间距离表示空间距离)欧几里得范数。欧几里得范数。11第十一页，本课件共有73页2.渐近稳定渐近稳定1）是李雅普诺夫意义下的稳定）是李雅普诺夫意义下的稳定2）一致渐近稳定一致渐近稳定3.大范围内渐近稳定性大范围内渐近稳定性对对 都有都有12第十二页，本课件共有73页初始条件扩展到整个空间
7、，且是渐近稳定性。初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定性。v线性系统线性系统(严格严格)：如果它是渐近稳定的，必如果它是渐近稳定的，必 是有大范围渐近稳定性是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初线性系统稳定性与初 始条件的大小无关始条件的大小无关)。v非线性系统：非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛态空间出发的轨迹都收敛 或其附近。或其附近。13第十三页，本课件共有73页v当当 与与 无关无关 大范围一致渐近稳定。大范围一致渐近稳定。v必要条件：必要条件：在整个状态空间中只有一个平在整个状态空间中只有一个平衡状态衡状态 4.不稳定性：不稳定
8、性：不管不管 ，有多小，只要有多小，只要 内由内由 出发的轨迹超出出发的轨迹超出 以外，则称此以外，则称此平衡状态是不稳定的。平衡状态是不稳定的。14第十四页，本课件共有73页 线性系统的平衡状态不稳定线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。表征系统不稳定。非线性系统的平衡状态不稳定非线性系统的平衡状态不稳定 只说明轨迹离只说明轨迹离开了开了S(），这说明平衡状态是不稳定的。然），这说明平衡状态是不稳定的。然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨迹还可能趋于在轨迹还可能趋于在S(）外的某个极限环）外的某个极限环,若存若存在极限环，则系统仍是李雅普诺
9、夫意义下的稳在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定。定。15第十五页，本课件共有73页图图4.1（a）稳定平衡状态及一条典型轨迹）稳定平衡状态及一条典型轨迹（b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹（c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹）不稳定平衡状态及一条典型轨迹16第十六页，本课件共有73页4.3 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法（间接法）（间接法）利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。1.线性定常系统稳定性的特征值判据：线性定常系统稳定性的特征值判据：1）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：
10、2）渐近稳定的充要条件：）渐近稳定的充要条件：3）不稳定的充要条件：）不稳定的充要条件：17第十七页，本课件共有73页2.非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析 假定非线性系统在平衡状态附近可展假定非线性系统在平衡状态附近可展开成台劳级数，可用线性化系统的特征值开成台劳级数，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。性。设非线性系统状态方程：设非线性系统状态方程：在平衡状态在平衡状态 附近存在各阶偏导附近存在各阶偏导数，于是：数，于是：-非线性函数非线性函数18第十八页，本课件共有73页其中：其中：-级数展开式中二阶以上各项之和级数
11、展开式中二阶以上各项之和19第十九页，本课件共有73页v上式为向量函数的上式为向量函数的雅可比矩阵雅可比矩阵。令令 则线性化系统方程为：则线性化系统方程为：20第二十页，本课件共有73页结论：结论：1)若若 ，则非线性系统在，则非线性系统在 处是处是渐近稳定的渐近稳定的，与，与 无关。无关。2)若若 ,则非线性系统则非线性系统不稳定不稳定。3)若若 ，稳定性与稳定性与 有关，有关，则是李雅普诺夫意义下的稳定。则是李雅普诺夫意义下的稳定。21第二十一页，本课件共有73页例例4-2：已知非线性系统的状态方程为：已知非线性系统的状态方程为：试分析系统在平衡状态处的稳定性。试分析系统在平衡状态处的稳定
12、性。解：解：令令22第二十二页，本课件共有73页23第二十三页，本课件共有73页可见非线性系统在平衡状态可见非线性系统在平衡状态xe1处不稳定。处不稳定。不能确定非线性系统在平衡状态不能确定非线性系统在平衡状态xe2处稳定性。处稳定性。24第二十四页，本课件共有73页4.4 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法(直接法直接法)v4.4.1 预备知识预备知识25第二十五页，本课件共有73页 26第二十六页，本课件共有73页 27第二十七页，本课件共有73页 5.V(x)不定不定:v(x)0或或V(x)0 则则 V(x)是不定的。是不定的。如：如：28第二十八页，本课件共有73页29第二十九页，本课件
13、共有73页2.如果如果P是奇异矩是奇异矩阵阵，且它的所有主子行列式均非，且它的所有主子行列式均非负负，则则是正半定的。是正半定的。3.如果如果矩矩阵阵P的的奇数奇数阶阶主子行列式主子行列式为为负负值值，偶数阶偶数阶主子行列式为正值，则主子行列式为正值，则是是负负定的。定的。即即:30第三十页，本课件共有73页31第三十一页，本课件共有73页v4.4.2 几个稳定性定理几个稳定性定理 设系统状态方程：设系统状态方程：其平衡状态满足其平衡状态满足 ，假定状假定状态空间原点态空间原点作为平衡状态作为平衡状态()，并设在，并设在原点邻域存在原点邻域存在 对对 x 的连续的一阶偏导的连续的一阶偏导数。数
14、。32第三十二页，本课件共有73页v定理定理1：若若(1)正定；正定；(2)负定；负定；则原点是渐近稳定的。则原点是渐近稳定的。说明：说明：负定负定 能量随时间连续单调能量随时间连续单调衰减。衰减。v定理定理2：若若(1)正定；正定；(2)负半定；负半定；(3)在非零状态不在非零状态不恒为零，恒为零，则原点是渐近稳定的。则原点是渐近稳定的。33第三十三页，本课件共有73页说明：不存在说明：不存在 ，经历能量等于恒定，但不维持在该状态。经历能量等于恒定，但不维持在该状态。定理定理3：若若(1)正定；正定；(2)负半定；负半定；(3)在非零状态在非零状态 恒为零；恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳
15、定则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。的。34第三十四页，本课件共有73页说明：说明：系统维持等系统维持等能量水平运动，使能量水平运动，使 维持在非零维持在非零状态而不运行至原点。状态而不运行至原点。定理定理4：若若(1)正定；正定；(2)正定正定 则原点是不稳定的。则原点是不稳定的。说明：说明：正定正定 能量函数随时间增能量函数随时间增大，大，在在 处发散。处发散。35第三十五页，本课件共有73页v推论推论1：当当 正定，正定，正半定，正半定，且且 在非零状态不恒为零时在非零状态不恒为零时,则原点不稳定。则原点不稳定。v推论推论2：正定，正定，负半定，若负半定，若 ，则原点是李雅普诺夫，则原点是
16、李雅普诺夫意义下稳定意义下稳定(同定理同定理3)。36第三十六页，本课件共有73页几点说明：几点说明：1)选取不唯一，但没有通用办法，选取不唯一，但没有通用办法，选取不当，会导致选取不当，会导致 不定的结果。不定的结果。2)这仅仅是充分条件。这仅仅是充分条件。-单调衰减单调衰减(实际上是衰减振荡实际上是衰减振荡)37第三十七页，本课件共有73页选取李雅普诺夫函数的方法选取李雅普诺夫函数的方法:构造一个构造一个 二次型函数；二次型函数；1)求求 ，并代入状态方程；，并代入状态方程；2)判断判断 的定号性；的定号性；3)判断非零情况下，判断非零情况下，是否为零。是否为零。渐近稳定渐近稳定李氏稳定李
17、氏稳定不稳定不稳定38第三十八页，本课件共有73页v令令 若若 成立成立 李氏意义下稳定李氏意义下稳定 若仅若仅 成立成立 渐近稳定渐近稳定 若若 负半定负半定39第三十九页，本课件共有73页例例4-3：已知非线性系统的状态方程为：已知非线性系统的状态方程为：试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。解：解：令令原点是唯一平衡点原点是唯一平衡点40第四十页，本课件共有73页 设设则则负定负定1)原点是渐近稳定的；原点是渐近稳定的；2)只有一个平衡状态，该系统是大范围渐只有一个平衡状态，该系统是大范围渐近稳定；近稳定；3)由于由于V(x)与与t无关，又是大范围一致渐近稳
18、定。无关，又是大范围一致渐近稳定。定理定理141第四十一页，本课件共有73页v几何意义：几何意义：等能量轨迹等能量轨迹(整个平面整个平面)表示状表示状态态x到状到状态态空空间间原点距离的一种度量。原点距离的一种度量。如果原点与瞬如果原点与瞬时时状状态态x(t)之之间间的距离随的距离随t的增加而的增加而连续连续地减小（即地减小（即），），则则最终最终 。42第四十二页，本课件共有73页例例4-4：已知非线性系统的状态方程为：已知非线性系统的状态方程为：试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。解：解：令令原点是唯一平衡点原点是唯一平衡点43第四十三页，本课件共有73页
19、设设则则负半定负半定反设反设 只有平衡状态只有平衡状态 满足满足44第四十四页，本课件共有73页这个结果是相矛盾的。所以这种情况不会这个结果是相矛盾的。所以这种情况不会发生在状态方程的解运动轨迹上。发生在状态方程的解运动轨迹上。综合以上分析可知综合以上分析可知,系统在平衡状态系统在平衡状态xe=0处是大范围渐近稳定的。处是大范围渐近稳定的。45第四十五页，本课件共有73页例例4-5：试判断下列线性系统平衡状态的稳定：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。性。解：解：1)令令即原点是平衡状态。即原点是平衡状态。设设46第四十六页，本课件共有73页则：则：其它其它负半定负半定令令只有全零解只有全零解
20、非零状态时非零状态时原点原点 是渐近稳定，且是大范围一是渐近稳定，且是大范围一致渐近稳定。致渐近稳定。定理定理247第四十七页，本课件共有73页例例4-6：试判断下列线性系统平衡状态的稳定：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。性。解：解：设设 则则 故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。原点是平衡状态原点是平衡状态定理348第四十八页，本课件共有73页例例4-7：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解解:即即 设设 则则 可见可见 与与 无关，故非零状态无关，故非零状态(如如 )有有 ，而对其余任意状态，而对其余任意状态 有有49
21、第四十九页，本课件共有73页 故故 正半定。正半定。令令 即非零状态时，即非零状态时，不恒为零，则原点不稳定不恒为零，则原点不稳定即即系统不稳定。系统不稳定。推论推论150第五十页，本课件共有73页4.5 线性定常系统渐近稳定性判别法线性定常系统渐近稳定性判别法1.设系统状态方程为：设系统状态方程为：为唯一平衡状态。为唯一平衡状态。设选取如下的正定二次型函数设选取如下的正定二次型函数 为李氏函数为李氏函数 则：则：-非奇异矩阵非奇异矩阵将将 代入：代入：线性定常连续系统渐近稳定性判别线性定常连续系统渐近稳定性判别51第五十一页，本课件共有73页 令令 由渐近稳定性定理由渐近稳定性定理1，只要，
22、只要Q正定正定(即即 负定负定)，则系统是大范围一致渐近稳定。，则系统是大范围一致渐近稳定。定理：定理：系统系统 大范围渐近稳定的充要条大范围渐近稳定的充要条 件为件为:给定一正定实对称矩阵给定一正定实对称矩阵Q，存在唯一的，存在唯一的正定实对称矩阵正定实对称矩阵P使使 成立，成立，则则 为系统的一个李雅普诺夫函为系统的一个李雅普诺夫函数。数。52第五十二页，本课件共有73页方法方法1：给定正定给定正定Q P的定号性的定号性 Q单位阵单位阵 P的定号性的定号性方法方法2：Q取正半定取正半定(定理定理2)允许单位矩阵主对允许单位矩阵主对 角线上部分元素为零。角线上部分元素为零。53第五十三页，本
23、课件共有73页例例4-8：解：选取解：选取54第五十四页，本课件共有73页55第五十五页，本课件共有73页P正定正定 是大范围一致渐近稳定是大范围一致渐近稳定李雅普诺夫函数为李雅普诺夫函数为:且且56第五十六页，本课件共有73页例例4-9:试用李雅普诺夫方程确定下图所示系统试用李雅普诺夫方程确定下图所示系统渐近稳定的渐近稳定的K值范围。值范围。57第五十七页，本课件共有73页解解 容易推得系统的状态方程为容易推得系统的状态方程为:在确定在确定K的稳定范围时，假设输入的稳定范围时，假设输入u为零。为零。于是上式可写为于是上式可写为:由式由式(4.1）到（）到（4.3）可知，原点是平衡状态。）可知
24、，原点是平衡状态。假设取正半定的实对称矩阵假设取正半定的实对称矩阵Q为为:58第五十八页，本课件共有73页由于除原点外由于除原点外不恒等于零，不恒等于零，因此可选上式的因此可选上式的Q。为了证实这一点，注意为了证实这一点，注意取取于是于是只在原点只在原点处处才恒等于零。才恒等于零。为负半定。为负半定。因此可选择正半定因此可选择正半定Q用于用于Lyapunov方程。方程。59第五十九页，本课件共有73页现在求解如下现在求解如下Lyapunov方程方程:对对P的各元素求解，可得的各元素求解，可得:60第六十页，本课件共有73页为使为使P成为正定矩阵，其充要条件为成为正定矩阵，其充要条件为:和和即即
25、 系统渐近稳定。也就是说，系统渐近稳定。也就是说，原点是大范围一致渐近稳定的。原点是大范围一致渐近稳定的。61第六十一页，本课件共有73页2.线性定常离散系统渐近稳定性判别线性定常离散系统渐近稳定性判别 设系统状态方程：设系统状态方程：其中其中 -非奇异阵，非奇异阵，是平衡状态。是平衡状态。设设62第六十二页，本课件共有73页令令李氏代数方程李氏代数方程63第六十三页，本课件共有73页定理：定理：系统系统 渐近稳定的渐近稳定的 充要条件为：充要条件为：给定任一正定实对称矩阵给定任一正定实对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩，存在一个正定实对称矩阵阵P，使式，使式 成立，成立，则则 是系统的一个李氏
26、函数。是系统的一个李氏函数。可取可取i.Q=Iii.如果如果 且且 可取可取Q为正半定阵。为正半定阵。64第六十四页，本课件共有73页4.6构造李雅普诺夫函数的一些方法构造李雅普诺夫函数的一些方法克拉索夫斯基方法克拉索夫斯基方法给出了非线性系统给出了非线性系统平衡状态渐近稳定的平衡状态渐近稳定的充分条件充分条件。克拉索夫斯基定理克拉索夫斯基定理:考虑如下非线性系统考虑如下非线性系统 式中，式中，x为为n维维状状态态向量，向量，为的非的非线线性性n维维向量函数，假定向量函数，假定，且，且对对可微（可微（i=1,2,n）。）。65第六十五页，本课件共有73页该系统的雅可比矩阵定义为该系统的雅可比矩
27、阵定义为66第六十六页，本课件共有73页如果矩如果矩阵阵 是是负定负定的，的，则平衡状态则平衡状态xe=0是渐近稳定的。是渐近稳定的。该系统的该系统的Lyapunov函数为函数为:此外，若随着此外，若随着，则则平衡状平衡状态态是大范是大范围渐围渐近近稳稳定的。定的。67第六十七页，本课件共有73页证明证明:选取选取注意到注意到 从而从而因因为为 是是负负定的，所以定的，所以也是也是负负定的定的。所以原点是所以原点是渐渐近近稳稳定的。定的。68第六十八页，本课件共有73页例例4-10：已知非线性系统的状态方程为：已知非线性系统的状态方程为：试用克拉索夫斯基方法判断试用克拉索夫斯基方法判断xe=0
28、稳定性。稳定性。解：解：69第六十九页，本课件共有73页根据赛尔维斯特判据，有根据赛尔维斯特判据，有是负定的。是负定的。70第七十页，本课件共有73页而且当，而且当，有有系统在平衡状态系统在平衡状态xe=0处是大范围渐近稳定处是大范围渐近稳定71第七十一页，本课件共有73页作作 业业1.9-342.确定下述系统的平衡状态，并用李雅普诺夫确定下述系统的平衡状态，并用李雅普诺夫稳定性理论判别其稳定性。稳定性理论判别其稳定性。72第七十二页，本课件共有73页1.已知非线性系统的状态方程为：已知非线性系统的状态方程为：试用克拉索夫斯基方法判断试用克拉索夫斯基方法判断xe=0稳定性。稳定性。作作 业业73第七十三页，本课件共有73页