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1、数学物理方法第二章复变函数的积分1第1页，共41页，编辑于2022年，星期六存在且与 k 的选取无关,则这个和的极限称为函数 f(z)沿曲线 l 从 A 到 B 的路积分，记为即若若第2页，共41页，编辑于2022年，星期六 分量形式：f(z)=u(x,y)+i v(x,y),z=x+i y f(z)dz=(u+i v)d(x+i y)参数形式：曲线l 的参数方程 x=x(t),y=y(t),起始点 A tA,结束点 B tB第3页，共41页，编辑于2022年，星期六几个重要性质1.常数因子可以移到积分号之外2.函数和的积分等于各函数积分的和3.反转积分路径，积分值变号 第4页，共41页，编辑
2、于2022年，星期六4.全路径上的积分等于各分段上的积分之和 即：如果 l=l1+l2+ln5.积分不等式1：6.积分不等式2：其中 M 是|f(z)|在 l 上的最大值，L 是 l 的全长。第5页，共41页，编辑于2022年，星期六例：计算积分例：计算积分解：解：一般而言,复变函数的积分不仅与起点和终点有关,同时还与路径有关。oxyl1l1l2l211+iif(z)=Re(z)不是解析函数!(y=0)(x=1)(x=0)(y=i)第6页，共41页，编辑于2022年，星期六2.2 柯西（Cauchy）定理 研究积分与路径之间的关系（一）单连通域情形单连通域：在其中作任何简单闭合围线，围线内的点
3、都是属于该区域内的点。单连通区域的Cauchy 定理：如果函数 f(z)在闭单连通区域 中单值且解析，则沿 中任何一个分段光滑的闭合曲线 l(也可以是 的边界 l0),函数的积分为零。第7页，共41页，编辑于2022年，星期六证明：由路径积分的定义：因 f(z)在 上解析，因而 在 上连续。xyolL沿 l 环线正向走环域在左侧第8页，共41页，编辑于2022年，星期六对实部虚部分别应用格林公式 将回路积分化成面积分又u、v 满足C-R条件 平面内曲线积分和二重积分之间关系第9页，共41页，编辑于2022年，星期六George Green (14 July 179331 May 1841)wa
4、s a British mathematician and physicist,who wrote An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism.Greens life story is remarkable in that he was almost entirely self-taught,having only had about one year of formal schooling as a child between the age
5、s of 8 and 9.He entered Cambridge University as an Undergraduate in 1833 aged 40 and graduated in 1837.After graduation Green stayed on at Cambridge,writing on Optics,Acoustics and Hydrodynamics.However,in 1840 he became ill and returned to Nottingham where he died the following year.10第10页，共41页，编辑于
6、2022年，星期六推广：若 f(z)在单连通域B上解析，在闭单连通域 上连续，则沿 上任一分段光滑闭合曲线 l(也可以是 的边界)，有 （二）复连通域情形如果区域内存在：(1)奇点；(2)不连续线段；(3)无定义区 为了把这些奇异部分排除在外，需要作适当的围道 l1、l2、l3 把它们分隔开来，形成带孔的区域复连通区域。第11页，共41页，编辑于2022年，星期六 一般而言，在区域内，只要有一个简单的闭合围线其内有不属于该区域的点，这样的区域便称为复连通域 区域边界线的正向 当观察者沿着这个方向前进时，区域总是在观察者的左边。xyl0oBl1l2l3l0第12页，共41页，编辑于2022年，星
7、期六复连通区域的复连通区域的Cauchy 定理：定理：如果 f(z)是闭复连通区域 中的单值解析函数，则l 为外边界线，li 为内边界线，积分沿边界线正向证：作割线连接内外边界线 第13页，共41页，编辑于2022年，星期六即第14页，共41页，编辑于2022年，星期六柯西定理总结：1.若 f(z)在单连通域B上解析，在闭单连通域 上连续，则沿 上任一分段光滑闭合曲线 l(也可以是 的边界)的积分为零；2.闭复连通区域上的单值解析函数沿所有内外境界线正方向的积分和为零；3.闭复连通区域上的单值解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和。由Cauchy 定理可推出：在
8、闭单连通区域或复连通区域中解析的函数 f(z)，其路积分值只依赖于起点和终点，而与积分路径无关。第15页，共41页，编辑于2022年，星期六证明：由图可知其中 表示C2 的反方向。由积分的基本性质可得：只要起点和终点固定不变，当积分路径连续变形时（不跳过“孔”）时，函数的路积分值不变。C1C2BAD第16页，共41页，编辑于2022年，星期六2.3 不定积分不定积分（原函数）（原函数）根据 Cauchy 定理，若函数 f(z)在单连通区域B上解析，则沿B上任一分段光滑曲线 l 的积分 只与起点和终点有关，而与路径无关。因此如果固定起点 z0 而变化终点 z,这个不定积分便定义了一个单值函数 F
9、(z):第17页，共41页，编辑于2022年，星期六F(z)的性质：(1)F(z)在B上是解析的；(2)即 F(z)是 f(z)的一个原函数。原函数不是唯一的，但原函数之间仅仅相差一常数，这一常数决定于起点 z0。可以证明：第18页，共41页，编辑于2022年，星期六 例一：计算积分解：（1）当 n -1 时，zn 的原函数是 z(n+1)/(n+1)故（2）当 n=-1 时，z-1 的原函数是 ln(z),故此积分与路径有关系！因z=0 是1/z的一个奇点。如被积函数有奇点，则由不定积分给出的函数可能是多值的。被积函数的奇点，可能是该函数的支点。第19页，共41页，编辑于2022年，星期六例
10、二：计算积分其中 l 是正向圆周|z|=a 0。解：显然函数 ez sin z 在复平面上处处解析，由Cauchy 定理知 故此题若用复积分的计算公式则非常复杂。第20页，共41页，编辑于2022年，星期六例三（重要）：计算 (n 为整数）解：（1）如果 l 不包含 点，被积函数总解析,按柯 西定理，I=0;(2)如果 l 包含 点,又要 分两种情况：(a)n 0,因被积函数解析，I=0;(b)n 0:解：令 则 因此（1）若|a|,在圆 内解析，aC奇点第38页，共41页，编辑于2022年，星期六由Cauchy公式，39第39页，共41页，编辑于2022年，星期六例题：习题2.4.140第40页，共41页，编辑于2022年，星期六41第41页，共41页，编辑于2022年，星期六