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1、数学物理方法复变函数的积分复变函数的积分n路积分n柯西定理n不定积分n柯西公式n本章小结路积分n路积分的概念和性质实变函数复变函数定义性质路积分n路积分的计算n思路化复为实n公式IC f(z)dz=C(u+iv)(dx+idy)=C(udx-vdy)+iC(udy+vdx)n公式IIC f(z)dz=C(u+iv)(eidr+i r eid)=C ei(udr-vrd)+i(urd+vdr)路积分n例题1沿图所示的三条曲线分别计算复变函数Czdz从O到B的定积分。解：路积分n例题2沿图所示的三条曲线分别计算复变函数C z2dz从O到B的定积分。解：路积分n例题3沿图所示的三条曲线分别计算复变函
2、数C Re(z)dz从O到B的定积分。解：路积分n例题4沿图所示的三条曲线分别计算复变函数z-1dz从O到B的定积分。解：柯西定理n积分规律的探究n归纳如果函数f(z)在单连通区域内解析，则路积分与路径无关，完全由起点和终点决定。n猜想如果函数f(z)在闭单连通区域B上解析，则沿B上任一分段光滑闭合曲线 l的路积分有：n 证明（见教材）柯西定理n推广n规律闭复连通区域上的解析函数沿外边界线逆时针积分等于沿所有内边界线逆时针积分之和。n公式n统一表述解析函数沿所有边界线正向积分为零；起点和终点固定时，积分路径在解析区域中连续变形不改变路积分的值。柯西定理n例题n计算积分n解：如a不在L内，I=0
3、当a在L内时，如 n 0，I=0；如 n 无限次可导。n应用理论上模数原理：f(z)在闭区域解析，|f(z)|在边界上取最大值；刘维定理：全平面上有界的解析函数必为常数。计算上简化路积分的计算。柯西公式n应用举例n例1问题：计算回路积分 分析：与柯西公式比较，可知f(z)=cosh(z),a=-1解：由柯西公式柯西公式n例2问题：计算回路积分 分析：与推广的柯西公式比较，可知f(z)=sinh(z)，a=0，n=1 解：由推广的柯西公式柯西公式n例3问题：计算回路积分 分析：与柯西公式比较，可知f(z)=，a=n例4问题：计算回路积分 分析：本章小结n路积分n复变函数的路积分可分解为2个线积分；n一般情况下，路积分与积分路径有关；n柯西定理n在单连通区域内解析，则路积分与路径无关，完全由起点和终点决定；n在复连通区域内解析，则回路积分等于沿回路里所有内边界线积分之和。n柯西公式