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1、数学物理方程第二章复变积分2023/4/11阜师院数科院第1页，共17页，编辑于2022年，星期六2023/4/11阜师院数科院性质：性质：1.常数因子可以移到积分号外。2.函数的和的积分等于各函数积分之和，3.反转积分路径，积分反号，4.全路径上的积分等于各段上积分之和。或可看作实矢量场的积分可看作实矢量场的积分第2页，共17页，编辑于2022年，星期六2023/4/11阜师院数科院沿 y=xz第3页，共17页，编辑于2022年，星期六2023/4/11阜师院数科院沿第4页，共17页，编辑于2022年，星期六2023/4/11阜师院数科院柯西定理柯西定理由于复变函数可以看作平面上的实矢量场，
2、它的积分可以应用由于复变函数可以看作平面上的实矢量场，它的积分可以应用实矢量场的积分来研究闭路实矢量场的积分来研究闭路 l 上的积分上的积分连续，且同理连续，且在 S这两个条件就是柯西黎曼公式。因此第5页，共17页，编辑于2022年，星期六2023/4/11阜师院数科院柯西定理：在某闭区域解析的函数，它沿此区域边界的积分为柯西定理：在某闭区域解析的函数，它沿此区域边界的积分为零零。奇点奇点复变函数不可导的点。孤立奇点孤立奇点复变函数在其有限小邻域可导的奇点。含孤立奇点的区域，可将其每个奇点的有限小邻域挖掉，使原区域变为复通区域复通区域在 A 围成的区域中含 的孤立奇点 ，引入曲线 将此奇点挖掉
3、，余下的区域（复连通区域）中解析。第6页，共17页，编辑于2022年，星期六2023/4/11阜师院数科院由柯西定理或又 与 方向相反，但与 方向相同。第7页，共17页，编辑于2022年，星期六2023/4/11阜师院数科院2.2.2.2.柯西定理柯西定理1.闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。2.闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积分和为零。3.闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时钟方向的积分等于沿所有内境界线逆时钟方向的积分的和。固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分第8页，共17页，编辑于2022年，星期六2023/4/11阜师院数科院并且整数 一个公式一个公式第
4、9页，共17页，编辑于2022年，星期六2023/4/11阜师院数科院全平面解析，积分只与起、终点有关。改沿实轴第10页，共17页，编辑于2022年，星期六2023/4/11阜师院数科院2.3 2.3 不定积分不定积分由柯西定理，在单通区域单通区域，解析函数沿任意路径的沿任意路径的积分只与起点与终点有关积分只与起点与终点有关。于是在这样的区域中，任意选取两点作起点和终点，唯一确定了复变函数的一个积分值。或者说，对于固定起点 ，积分是积分上限 的单值函数单值函数。并且可以证明这是解析函数，有 。即它是原函数。并且，第11页，共17页，编辑于2022年，星期六2023/4/11阜师院数科院例例计算
5、a.在回路之外，无论何 n 此积分为零。b.在回路之内，被积函数解析，积分为零。c.在回路之内，将回路变形为以 为圆心的半径为 的圆。积分变为 第12页，共17页，编辑于2022年，星期六2023/4/11阜师院数科院故第13页，共17页，编辑于2022年，星期六2023/4/11阜师院数科院1.在 C 外2.3.4.002i第14页，共17页，编辑于2022年，星期六2023/4/11阜师院数科院第15页，共17页，编辑于2022年，星期六2023/4/11阜师院数科院2.4 柯西公式柯西公式1.若 在闭单通区域 上解析，为 的境界线，为 内任一点，则有柯西公式柯西公式证明证明由有 为函数 的奇点奇点。以 为圆心，为半径作圆 ，函数 为单值解析函数，且第16页，共17页，编辑于2022年，星期六2023/4/11阜师院数科院2.导数公式导数公式证明自然完成作数值估计故第17页，共17页，编辑于2022年，星期六