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1、第第3章控制系章控制系统的的稳定定性性本讲稿第一页，共七十一页主要内容主要内容研究系统稳定性的意义研究系统稳定性的意义稳定性的定义稳定性的定义闭环极点和稳定性的关系闭环极点和稳定性的关系劳斯判据劳斯判据奈奎斯特判据奈奎斯特判据系统稳定性的改进系统稳定性的改进系列设计举例系列设计举例本讲稿第二页，共七十一页3.1研究系统稳定性的意义研究系统稳定性的意义闭环系统稳定性的问题是控制系统设计的闭环系统稳定性的问题是控制系统设计的核核心心内容。不稳定的系统通常没有使用价值。内容。不稳定的系统通常没有使用价值。因此寻找方法来因此寻找方法来分析和设计分析和设计稳定系统。稳定系统。如果输入是有界的，那么稳定系
2、统的输出也如果输入是有界的，那么稳定系统的输出也是有界的，这叫做是有界的，这叫做有界输入有界输入有界输出稳定有界输出稳定性性，这是本章的主题。，这是本章的主题。研究稳定性包含两个目的：研究稳定性包含两个目的：判定控制系统是否具有稳定性及其稳定的程度；判定控制系统是否具有稳定性及其稳定的程度；如果系统不稳定或稳定程度较差如何使其稳定及如果系统不稳定或稳定程度较差如何使其稳定及如何提高稳定程度。如何提高稳定程度。本讲稿第三页，共七十一页3.2稳定性的定义稳定性的定义平衡状态：系统在没有输入作用和外部干平衡状态：系统在没有输入作用和外部干扰扰(称为扰动称为扰动)作用时，处于自由运动状态。作用时，处于
3、自由运动状态。当系统达到某一状态后会维持在该种状态当系统达到某一状态后会维持在该种状态下而不再发生变化，这样的状态称为该系下而不再发生变化，这样的状态称为该系统的平衡状态统的平衡状态。一个闭环系统或者是稳定的，或者是不稳一个闭环系统或者是稳定的，或者是不稳定的，这种特征称为定的，这种特征称为绝对稳定性绝对稳定性。进一步。进一步描述稳定的程度，就是描述稳定的程度，就是相对稳定性相对稳定性。本讲稿第四页，共七十一页稳定性的定义（续稳定性的定义（续1）控制系统受到外界扰动而偏离了原来的平控制系统受到外界扰动而偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，若系统能够逐渐衡状态，当扰动消失后，若系统能够逐渐地恢复
4、到平衡状态，则称系统是渐近稳定地恢复到平衡状态，则称系统是渐近稳定的，简称稳定。的，简称稳定。若系统不能恢复到平衡状态则称系统是不若系统不能恢复到平衡状态则称系统是不稳定的。稳定的。本讲稿第五页，共七十一页稳定的各种情况稳定的各种情况(a)大范围稳定的系统大范围稳定的系统(b)局部渐近稳定的系统局部渐近稳定的系统(c)不稳定的系统不稳定的系统本讲稿第六页，共七十一页稳定各种情况的结论稳定各种情况的结论大范围稳定的系统和不稳定的系统其稳定大范围稳定的系统和不稳定的系统其稳定性完全取决于系统自身的结构和参数性完全取决于系统自身的结构和参数,而和而和扰动的性质无关。扰动的性质无关。局部稳定系统的稳定
5、性不仅取决于系统自局部稳定系统的稳定性不仅取决于系统自身的结构和参数而且和扰动的性质有关。身的结构和参数而且和扰动的性质有关。线性系统如果是稳定的则一定是大范围稳线性系统如果是稳定的则一定是大范围稳定的定的。本讲稿第七页，共七十一页失稳效应的例子（一）失稳效应的例子（一）在礼堂扩音的音频放大器和扬声器系统的在礼堂扩音的音频放大器和扬声器系统的有反馈失稳效应。扬声器产生的音频信号有反馈失稳效应。扬声器产生的音频信号是由麦克风采集的声音放大得到的。除了是由麦克风采集的声音放大得到的。除了其他的音频输入，来自于扬声器本身的声其他的音频输入，来自于扬声器本身的声音可能会被麦克风探测到，形成正反馈。音可
6、能会被麦克风探测到，形成正反馈。由于空气的衰减特性，距离越远，到达麦由于空气的衰减特性，距离越远，到达麦克风的信号越弱。如果扬声器和麦克风之克风的信号越弱。如果扬声器和麦克风之间太靠近，系统将会不稳定。结果是对音间太靠近，系统将会不稳定。结果是对音频信号过分放大和畸变，甚至振荡的啸叫。频信号过分放大和畸变，甚至振荡的啸叫。本讲稿第八页，共七十一页失稳效应的例子（二）失稳效应的例子（二）第一座在华盛顿横跨塔克马峡谷的桥梁于第一座在华盛顿横跨塔克马峡谷的桥梁于1940年年7月月1日开通。人们发现这座桥只要日开通。人们发现这座桥只要刮风就会振荡。四个月后，刮风就会振荡。四个月后，11月月7日碰到一日
7、碰到一场风速为场风速为19m/s的风，桥剧烈地扭曲振动，的风，桥剧烈地扭曲振动，且振幅越来越大，直到桥面倾斜到且振幅越来越大，直到桥面倾斜到45左右，左右，使吊杆逐根拉断，导致桥面钢梁折断而塌使吊杆逐根拉断，导致桥面钢梁折断而塌毁。正好有一支好莱坞电影队以此桥为外毁。正好有一支好莱坞电影队以此桥为外景拍摄，记录了全过程。景拍摄，记录了全过程。本讲稿第九页，共七十一页3.3闭环极点和稳定性的关系闭环极点和稳定性的关系线性系统的稳定性完全由其闭环极点在复平面线性系统的稳定性完全由其闭环极点在复平面的位置所决定的位置所决定 本讲稿第十页，共七十一页闭环极点位置的响应振型闭环极点位置的响应振型本讲稿第
8、十一页，共七十一页闭环极点和稳定性关系的结论闭环极点和稳定性关系的结论单输入单输出单输入单输出(SISO)线性定常系统稳定的充线性定常系统稳定的充分必要条件是：系统所有的分必要条件是：系统所有的闭环极点都在闭环极点都在S平面的左半平面平面的左半平面。或者说：所有的闭环极。或者说：所有的闭环极点都具有负的实部。点都具有负的实部。多输入多输出多输入多输出(MIMO)系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是：是：系统矩阵系统矩阵A的全部特征值都位于的全部特征值都位于S平面平面的左半平面的左半平面或都具有负实部。或都具有负实部。本讲稿第十二页，共七十一页3.4劳斯判据劳斯判据劳斯判定是一种代数判定，它是
9、依据代数劳斯判定是一种代数判定，它是依据代数方程根与系数关系来得到结论。方程根与系数关系来得到结论。代数方法是使用系统的闭环结果，即获得代数方法是使用系统的闭环结果，即获得系统的特征方程或特征多项式。系统的特征方程或特征多项式。系统稳定的系统稳定的必要必要条件是：条件是：系统特征方程的系统特征方程的诸系数不能为零且同号诸系数不能为零且同号。劳斯判据是一个劳斯判据是一个线性线性系统稳定性的系统稳定性的充要充要判判据。据。本讲稿第十三页，共七十一页3.4.1劳斯表及其制作劳斯表及其制作设系统特征方程为：设系统特征方程为：（1）表头的填法：）表头的填法：第一行：第一列填入第一行：第一列填入an值。第
10、二列填值。第二列填an-2值，依值，依此类推，后一列和前一列是此类推，后一列和前一列是s相差两次幂的对应相差两次幂的对应系数。系数。第二行：第一列填入第二行：第一列填入an-1值，后续诸列单元值依值，后续诸列单元值依次为相差两次幂之系数。次为相差两次幂之系数。本讲稿第十四页，共七十一页劳斯表及其制作（续劳斯表及其制作（续1）（2）表体的填法：设表体某单元的值为）表体的填法：设表体某单元的值为Ai,j(i3)，约定在，约定在i3时的时的Ai,j值即为该表头位置之值。值即为该表头位置之值。Ai,j的值由下式求出：的值由下式求出：重要的是正确找到行列式中的四个元素，所求单重要的是正确找到行列式中的四
11、个元素，所求单元上两行第一列的值和该单元上两行其后一列的元上两行第一列的值和该单元上两行其后一列的值。值。本讲稿第十五页，共七十一页劳斯表制作举例劳斯表制作举例例例3.1设系统的特征方程如下，填出劳斯表。设系统的特征方程如下，填出劳斯表。12s4+6s3+32s2+7s+3=0123236733618本讲稿第十六页，共七十一页几种情况的处理方法几种情况的处理方法1.某行各单元值中含有分数某行各单元值中含有分数：若某行中含有：若某行中含有分数，则该行同乘以一个不为零的正的常分数，则该行同乘以一个不为零的正的常数，劳斯表结果不发生改变。数，劳斯表结果不发生改变。2.某行所有单元值为零某行所有单元值
12、为零：此种情况系统肯定：此种情况系统肯定是不稳定的，但若为其它目的可按下述方是不稳定的，但若为其它目的可按下述方法处理。用该行的上一行对应单元值建立法处理。用该行的上一行对应单元值建立一个辅助方程。对辅助方程求一次导数获一个辅助方程。对辅助方程求一次导数获得一降阶方程。用降阶方程对应幂次的系得一降阶方程。用降阶方程对应幂次的系数代替全零行各单元值并继续计算。数代替全零行各单元值并继续计算。本讲稿第十七页，共七十一页几种情况的处理方法（续几种情况的处理方法（续1）重要性质：若某行所有单元值全为零，则重要性质：若某行所有单元值全为零，则该系统必然具有关于该系统必然具有关于S平面平面原点对称的闭原点
13、对称的闭环极点存在环极点存在。其辅助方程的根一定是闭环。其辅助方程的根一定是闭环极点。极点。3.某行的第一列单元值为零某行的第一列单元值为零：此种情况的存：此种情况的存在系统一定是不稳定的，若需要进一步填在系统一定是不稳定的，若需要进一步填写劳斯表，则用一个无穷小的正数写劳斯表，则用一个无穷小的正数 代替代替该行第一列的零值后继续计算。该行第一列的零值后继续计算。本讲稿第十八页，共七十一页几种情况的举例几种情况的举例例例3.2设系统的特征方程如下，填出劳斯表。设系统的特征方程如下，填出劳斯表。s7+4s6+9s5+10s4-s3-4s2-9s-10=019-1-9410-4-1025-2-51
14、3/20-13/21-1010-100取上行做辅助方程：取上行做辅助方程：s4-1=0,求导得本行系求导得本行系数数400-14/-1-1本讲稿第十九页，共七十一页3.4.2劳斯判据劳斯判据若系统劳斯表若系统劳斯表第一列第一列的所有单元值均为的所有单元值均为正正数数则系统是稳定的，否则系统是不稳定的。则系统是稳定的，否则系统是不稳定的。系统具有正实部的系统具有正实部的闭环极点闭环极点个数个数等于劳斯等于劳斯表第一列诸值表第一列诸值符号改变次数的符号改变次数的总和总和。在在例例3.1中第一列所有值均为正数，故系统中第一列所有值均为正数，故系统是稳定的。在是稳定的。在例例3.2中由于出现了一行各列
15、中由于出现了一行各列值全为零，故系统是不稳定的。由于第一值全为零，故系统是不稳定的。由于第一列值变号次数为列值变号次数为1，该系统有一个闭环极点，该系统有一个闭环极点在在S平面的右半平面平面的右半平面(s1=1)。本讲稿第二十页，共七十一页劳斯判据举例一劳斯判据举例一例例3.3已知系统特征多项式如下，判定稳定性和闭环已知系统特征多项式如下，判定稳定性和闭环极点分布的状况：极点分布的状况：2s7+3s6+4s5+3s4+5s3+s2+5s+3 245533136139-7-764999252124121本讲稿第二十一页，共七十一页劳斯判据举例二劳斯判据举例二例例3.4已知系统特征多项式如下，判定
16、稳定性和已知系统特征多项式如下，判定稳定性和闭环极点分布的状况：闭环极点分布的状况：s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0 182016168168133818本讲稿第二十二页，共七十一页3.4.3劳斯判定的应用举例劳斯判定的应用举例例例3.5设系统的开环传递函数如下，试确定设系统的开环传递函数如下，试确定放大器放大倍数放大器放大倍数K的稳定域。的稳定域。解：由解：由G(s)知系统特征方程为知系统特征方程为 s(3s+1)(6s+1)+K(s+1)=0 18s3+9s2+(1+K)s+K=0本讲稿第二十三页，共七十一页例例3.5（续）（续）18s3+9s2+(1+K)s+K
17、=0181+K9K1-KK根据劳斯判据，若使系统稳定应有第一列诸值根据劳斯判据，若使系统稳定应有第一列诸值都大于零，则令都大于零，则令 解得：解得：0K1本讲稿第二十四页，共七十一页劳斯判定的应用举例劳斯判定的应用举例（二）例例3.6设系统的开环传递函数设系统的开环传递函数 且且k0，试确定该系统临界稳定时的，试确定该系统临界稳定时的k值及等幅振荡时值及等幅振荡时的角频率的角频率 n 解：系统特征方程为解：系统特征方程为s3+7s2+14s+8+k=011478+k90-k8+k本讲稿第二十五页，共七十一页例例3.6（续）（续）若使系统产生临界稳定则应产生一行全零情况。由若使系统产生临界稳定则
18、应产生一行全零情况。由于条件约束于条件约束k0故第四行不能为零。则故第四行不能为零。则k=90。这就使系统有可能产生等幅振荡。是否如此要这就使系统有可能产生等幅振荡。是否如此要求解辅助方程后才能确定。列辅助方程求解辅助方程后才能确定。列辅助方程解得：解得：可产生等幅振荡，振荡角频率可产生等幅振荡，振荡角频率rad/s本讲稿第二十六页，共七十一页3.5奈奎斯特判据奈奎斯特判据奈氏判据是奈氏判据是频域频域方法中的判定方法。它是方法中的判定方法。它是通过图形来直观地判定系统的稳定性。通过图形来直观地判定系统的稳定性。特别地，奈氏判定不仅可以判定绝对稳定特别地，奈氏判定不仅可以判定绝对稳定性，还可以判
19、断系统的性，还可以判断系统的相对相对稳定程度，这稳定程度，这是劳斯判定办不到的，故非常重要。是劳斯判定办不到的，故非常重要。本讲稿第二十七页，共七十一页3.5.1基础概念基础概念频率特性频率特性：对系统施加各种频率的正弦信：对系统施加各种频率的正弦信号研究系统的响应是频率特性研究方法的号研究系统的响应是频率特性研究方法的基本手段。系统输出和输入的基本手段。系统输出和输入的傅立叶变换傅立叶变换之比称为系统的频率特性函数，简称为之比称为系统的频率特性函数，简称为频频率特性率特性。记为。记为H(j)。求取系统的频率特性表达式可以直接在其求取系统的频率特性表达式可以直接在其传递函数中令传递函数中令s=
20、j 代入后获得。代入后获得。本讲稿第二十八页，共七十一页开环频率特性相关概念开环频率特性相关概念设系统开环频率特性可表述为：设系统开环频率特性可表述为：其中：其中：称为幅频特性。它表述了响应和输入信号幅值之称为幅频特性。它表述了响应和输入信号幅值之比与信号角频率的关系。比与信号角频率的关系。称为相频特性。它表述了响应与输入信号间相移和称为相频特性。它表述了响应与输入信号间相移和输入信号角频率的关系。输入信号角频率的关系。本讲稿第二十九页，共七十一页奈奎斯特图奈奎斯特图奈奎斯特图奈奎斯特图(又称为频率特性的极坐标图又称为频率特性的极坐标图)：是在复平面是在复平面G(s)上画出频率特性函数上画出频
21、率特性函数G(j)当当 由由0+时的图像。在绘制奈氏图时并时的图像。在绘制奈氏图时并不需要逐点精确。一般不需要逐点精确。一般=0时，时，=时的时的G(j)值；值；图像与实轴图像与实轴的交点值，的交点值，图像和虚图像和虚轴轴的交点值应准确，其余无特殊需要的点的交点值应准确，其余无特殊需要的点只要有其粗略形状即可。如果将只要有其粗略形状即可。如果将 由由-0部分的图像也画出称为部分的图像也画出称为增补奈氏图增补奈氏图，二者，二者之间可根据图像关于实轴对称的原则转换。之间可根据图像关于实轴对称的原则转换。本讲稿第三十页，共七十一页奈奎斯特图举例（一）奈奎斯特图举例（一）例例3.7已知系统开环传递函数
22、如下，已知系统开环传递函数如下，试绘制试绘制其奈氏图其奈氏图。解：令解：令s=j 代入得代入得 则有则有本讲稿第三十一页，共七十一页例例3.7（续（续1）此处利用了三角公式：此处利用了三角公式：当当=0时得时得A(0)=5，(0)=0当当 时得时得A(+)0，(+)0与实轴交点：就是虚部为与实轴交点：就是虚部为0，即，即-3=0，则，则=0，得，得A(0)=5，(0)=0与虚轴交点：就是实部为与虚轴交点：就是实部为0，即，即1-2 2=0，则，则本讲稿第三十二页，共七十一页例例3.7（续（续2）本讲稿第三十三页，共七十一页奈奎斯特图举例（二）奈奎斯特图举例（二）例例3.8已知系统开环传递函数如
23、下，已知系统开环传递函数如下，试绘制试绘制其奈氏图其奈氏图。解：令解：令s=j 代入得代入得 当当 时得时得G(+j)=0 本讲稿第三十四页，共七十一页例例3.8（续（续1）=0+时得时得G(j0+)=-16-j，在，在=0处是一个间断点，处是一个间断点，故故 不能取不能取0值，而取比值，而取比0多一个无穷小的正值。多一个无穷小的正值。与实轴交点：与实轴交点：Im=0，即，即 15 2-1=0得得 与虚轴交点：与虚轴交点：Re=0，即，即 -8=0，得，得=0，可见与，可见与虚轴无交点。虚轴无交点。本讲稿第三十五页，共七十一页例例3.8（续（续2）本讲稿第三十六页，共七十一页幅角定理幅角定理设
24、复变函数设复变函数W(s)是一个在是一个在S平面具有有限个平面具有有限个奇点且除了这些奇点外在奇点且除了这些奇点外在S平面处处连续而平面处处连续而又单值的正则函数。如果在又单值的正则函数。如果在S平面任取一条平面任取一条不穿越奇点的连续封闭曲线不穿越奇点的连续封闭曲线S，则在，则在W(s)平面亦有一条封闭曲线平面亦有一条封闭曲线W与之对应。与之对应。当当s按顺时针方向沿按顺时针方向沿S变化一周时，在变化一周时，在W(s)平面上的向量平面上的向量|W(s)|围绕围绕原点原点顺时针方向旋顺时针方向旋转的次数转的次数N等于等于S内包含的内包含的W(s)的零点数目的零点数目z和极点数目和极点数目p之差
25、。即：之差。即：N=z-p本讲稿第三十七页，共七十一页幅角定理（续）幅角定理（续）若若N0说明说明|W(s)|顺时针方向绕原点旋转，顺时针方向绕原点旋转，N0说明说明|W(s)|逆时针方向绕原点旋转，逆时针方向绕原点旋转，N=0说明说明|W(s)|没有绕行没有绕行W(s)平面原点，即曲线平面原点，即曲线W不包不包含含W(s)平面的原点。平面的原点。怎么和控制系统的稳定性关联起来？怎么和控制系统的稳定性关联起来？本讲稿第三十八页，共七十一页奈奎斯特围线（奈奎斯特围线（D围线）围线）S平面上平面上s取值为：由虚轴负无穷远处开始，取值为：由虚轴负无穷远处开始，沿虚轴至正无穷远处，再以无穷大为半径顺沿
26、虚轴至正无穷远处，再以无穷大为半径顺时针绕至虚轴负无穷远处而达到封闭。时针绕至虚轴负无穷远处而达到封闭。本讲稿第三十九页，共七十一页特征式和闭环极点的关系特征式和闭环极点的关系若系统的开环传递函数为若系统的开环传递函数为则其特征式为则其特征式为因此，特征式的零点为系统的闭环极点，特征因此，特征式的零点为系统的闭环极点，特征式的极点为开环极点。式的极点为开环极点。特征式特征式1+G(s)的图像和开环传递函数的图像和开环传递函数G(s)图像图像形状完全一致形状完全一致，只是坐标原点不同而已。，只是坐标原点不同而已。1+G(s)坐标原点是坐标原点是G(s)中的中的(-1，0)点点。本讲稿第四十页，共
27、七十一页奈奎斯特判据奈奎斯特判据 奈奎斯特判据：奈奎斯特判据：D围线所包含的奇点是在围线所包含的奇点是在S平面右半平面的闭环极点个数平面右半平面的闭环极点个数Z和在和在S平面平面右半平面的开环极点个数右半平面的开环极点个数P。若系统是稳定。若系统是稳定的必有的必有Z=0，故式变为，故式变为N=P。使用使用1+G(s)图像的判定：若处于图像的判定：若处于S右半平面的开右半平面的开环极点个数为环极点个数为P，图像围绕坐标，图像围绕坐标原点原点绕行的周绕行的周数为数为N，系统稳定的充要条件是满足，系统稳定的充要条件是满足N=P；使用使用G(s)图像的判定：若位于图像的判定：若位于S右半平面的开环右半
28、平面的开环极点个数为极点个数为P，图像围绕，图像围绕(-1,0)点绕行的周数为点绕行的周数为N,则系统稳定的充要条件是满足则系统稳定的充要条件是满足N=P：本讲稿第四十一页，共七十一页特别指出特别指出上述结论是依据上述结论是依据D围线的，即围线的，即 由由-+，因而对应的图像是增补奈氏图。由于对称因而对应的图像是增补奈氏图。由于对称性，人们往往画奈氏图取性，人们往往画奈氏图取(=0+)，因此，因此若使用奈氏图判定应除以若使用奈氏图判定应除以2，故改为：，故改为：本讲稿第四十二页，共七十一页N和和P值的获取值的获取1.P值的确定：通过开环传递函数直接看出。值的确定：通过开环传递函数直接看出。例例
29、3.9判断下列开环传递函数的判断下列开环传递函数的P值值 解：首先确定它有三个开环极点：解：首先确定它有三个开环极点：P1=0；P2=-10；P3=-100 而而P1、P2 和和P3不不在在D围围线线内内，不不能能认认为为是是右右半平面的开环极点。则半平面的开环极点。则P=0。本讲稿第四十三页，共七十一页N值的计算值的计算在在G(s)平面中以平面中以(-1,0)点至点至(-,0)的的实轴射线实轴射线为依据，研究奈氏曲线对其穿越情况来计为依据，研究奈氏曲线对其穿越情况来计算算N 值值(使用增补奈氏图则求使用增补奈氏图则求N值值)。约定：如果曲线由上向下穿越射线一次记约定：如果曲线由上向下穿越射线
30、一次记为为-1；由下向上穿越一次记为；由下向上穿越一次记为+1。对该射线对该射线所有穿越的和所有穿越的和值即为值即为N 值。值。本讲稿第四十四页，共七十一页计算计算N值举例值举例例例3.10某系统奈氏图如图所示，求其某系统奈氏图如图所示，求其N 值。值。本讲稿第四十五页，共七十一页具有间断点的增补奈氏图具有间断点的增补奈氏图设系统开环传递函数为：设系统开环传递函数为：在原点在原点=0处存在间断点，按处存在间断点，按D围线约定以无穷围线约定以无穷小正数小正数为半径逆时针绕行，可表述为为半径逆时针绕行，可表述为本讲稿第四十六页，共七十一页具有间断点的增补奈氏图（续具有间断点的增补奈氏图（续1）代入
31、代入G(s)得得当当0时有时有 当当=-/2时时 在负虚轴上靠近原点位置，记为在负虚轴上靠近原点位置，记为=0-，当，当=/2时时 在正虚轴上靠近原点处，记为在正虚轴上靠近原点处，记为=0+说明说明=0-逆时针绕至逆时针绕至=0+，G(s)曲线以曲线以 为半径为半径由由G(j0-)顺时针绕行顺时针绕行v180 到达到达G(j0+)本讲稿第四十七页，共七十一页具有间断点的增补奈氏图（续具有间断点的增补奈氏图（续2）当当v=14时增补奈氏图时增补奈氏图 本讲稿第四十八页，共七十一页具有间断点的增补奈氏图（续具有间断点的增补奈氏图（续3）具有间断点的具有间断点的增补奈氏图增补奈氏图在无穷远处对射在无
32、穷远处对射线的穿越次数可能是奇数也可能是偶数，线的穿越次数可能是奇数也可能是偶数，这由两个因素决定：这由两个因素决定：积分重数积分重数v和和=0-时时G(j0-)的位置的位置。v为偶数，间断点在实轴无穷远处；为偶数，间断点在实轴无穷远处；v为奇数，为奇数，间断点在虚轴无穷远处。间断点在虚轴无穷远处。注意：注意：当用当用N=-P时，使用增补奈氏图，不时，使用增补奈氏图，不会出错。但当用会出错。但当用N=-P/2时，使用的是奈氏时，使用的是奈氏图，则要以增补奈氏图的每个穿越点穿越图，则要以增补奈氏图的每个穿越点穿越次数的次数的一半一半来计算来计算N 值，值，本讲稿第四十九页，共七十一页具有间断点的
33、增补奈氏图（续具有间断点的增补奈氏图（续4）例例3.11系统开环传递函数系统开环传递函数G(s)的奈氏图及其的奈氏图及其P值如图所示，判定系统的稳定性。含有积值如图所示，判定系统的稳定性。含有积分环节的不超过二重。分环节的不超过二重。本讲稿第五十页，共七十一页具有间断点的增补奈氏图（续具有间断点的增补奈氏图（续5）例例3.12系统开环传递函数如下，判定系统闭系统开环传递函数如下，判定系统闭环稳定性。环稳定性。解：由解：由G(s)知有一个知有一个s=1的开环极点在围线内，故的开环极点在围线内，故p=1。该系统含有一个积分环节则。该系统含有一个积分环节则v=1令令s=j 并代入得：并代入得：本讲稿
34、第五十一页，共七十一页具有间断点的增补奈氏图（续具有间断点的增补奈氏图（续6）找到关键点，画出奈图并补充找到关键点，画出奈图并补充0+的进入方向的进入方向：由于由于v=1故在无穷远处的穿故在无穷远处的穿越值为越值为+1/2故系统稳定故系统稳定本讲稿第五十二页，共七十一页稳定裕量稳定裕量 奈氏判定不仅可以判定系统的绝对稳定性，奈氏判定不仅可以判定系统的绝对稳定性，而且可以判断系统离不稳定相差的程度即而且可以判断系统离不稳定相差的程度即体现了系统的相对稳定性体现了系统的相对稳定性，称为稳定裕量。，称为稳定裕量。稳定裕度分为稳定裕度分为相位裕度相位裕度和和幅值裕度幅值裕度。能考察能考察实际系统实际系
35、统运行中参数变化、离散化运行中参数变化、离散化时的系统稳定情况。时的系统稳定情况。在负反馈系统中模为在负反馈系统中模为1，相角为，相角为-180将产生将产生等幅振荡，故临界稳定在奈氏图中的位置等幅振荡，故临界稳定在奈氏图中的位置-复平面上的复平面上的(-1，0)点点 本讲稿第五十三页，共七十一页相位裕度相位裕度 相位裕量是在幅值满足相位裕量是在幅值满足振荡条件时，离等幅振振荡条件时，离等幅振荡相位条件相差的程度。荡相位条件相差的程度。以负实轴方向为基准以负实轴方向为基准,原原点和点和G(j c)连线间的夹角连线间的夹角称为相位裕度，记为称为相位裕度，记为。逆时针为正，顺时针为逆时针为正，顺时针
36、为负。负。本讲稿第五十四页，共七十一页幅值裕度幅值裕度 幅值裕度是在满足振荡的相位条件时，距幅值裕度是在满足振荡的相位条件时，距离等幅振荡幅值条件相差的程度，即奈氏离等幅振荡幅值条件相差的程度，即奈氏曲线和实轴的交点。曲线和实轴的交点。使使G(s)相角为相角为-180 的的 值记为值记为 g，称为相，称为相角交越频率。角交越频率。临界振荡的幅值临界振荡的幅值1和和|G(j g)|的比值称为系统的比值称为系统的幅值裕度，记为的幅值裕度，记为kg，即，即本讲稿第五十五页，共七十一页3.6系统稳定性的改进系统稳定性的改进系统不稳定可以分为两类：系统不稳定可以分为两类：结构性不稳定结构性不稳定和和非结
37、构性不稳定非结构性不稳定。从特征方程的角度看结构。从特征方程的角度看结构性不稳定的特征方程性不稳定的特征方程缺项缺项，而非结构性不稳，而非结构性不稳定不缺项。定不缺项。非结构性不稳定系统中影响稳定性的因素主非结构性不稳定系统中影响稳定性的因素主要是要是参数参数，因此通过改变参数来稳定系统或，因此通过改变参数来稳定系统或达到要求的稳定裕量。达到要求的稳定裕量。结构不稳定系统，由于缺少某些幂次的项，结构不稳定系统，由于缺少某些幂次的项，是不能通过改变参数来改变其不稳定性的。是不能通过改变参数来改变其不稳定性的。其镇定的基本原则是：想办法其镇定的基本原则是：想办法补齐其缺项补齐其缺项。本讲稿第五十六
38、页，共七十一页稳定性的改进举例（一）稳定性的改进举例（一）例例3.13单位负反馈系统开环传递函数如下，单位负反馈系统开环传递函数如下，判定判定K的稳定域及保证闭环极点全部位于的稳定域及保证闭环极点全部位于s=-1左侧时左侧时K的取值范围。的取值范围。解：求取系统特征方程为解：求取系统特征方程为0.025s3+0.35s2+s+K=0 作劳斯表：作劳斯表：本讲稿第五十七页，共七十一页例例3.13续（续（1）-(0.025K-0.35)0.02510.35KK若使系统稳定应有：若使系统稳定应有：解得：解得：本讲稿第五十八页，共七十一页例例3.13续（续（2）如果将如果将S平面纵轴平移就可以使用劳斯
39、表判定在平面纵轴平移就可以使用劳斯表判定在s=-1左侧闭环极点的个数。左侧闭环极点的个数。令令s=s1-1代入式特征方程得代入式特征方程得 最终得最终得 本讲稿第五十九页，共七十一页稳定性的改进举例（二）稳定性的改进举例（二）例例3.14某系统方框图如下所示，使该系统镇定。某系统方框图如下所示，使该系统镇定。解：由图知系统开环传递函数为解：由图知系统开环传递函数为 其特征方程为其特征方程为 本讲稿第六十页，共七十一页例例3.14（改进方案（改进方案1）改变积分性质：改变积分性质：在在K0/s环节中加入负反馈：环节中加入负反馈：将积分环节变成了惰性环节。特征方程变为：将积分环节变成了惰性环节。特
40、征方程变为：本讲稿第六十一页，共七十一页例例3.14（改进方案（改进方案2）引入串联校正环节：引入串联校正环节：则特征方程变为：则特征方程变为：本讲稿第六十二页，共七十一页系列设计：磁盘驱动器读入系统系列设计：磁盘驱动器读入系统考虑如图所示的系统，它除了增加了速度考虑如图所示的系统，它除了增加了速度传感器之外，与前面具有电机和负载模型传感器之外，与前面具有电机和负载模型的系统是相同的。的系统是相同的。本讲稿第六十三页，共七十一页先考虑开关打开的情况，闭环传递函数为：先考虑开关打开的情况，闭环传递函数为：特征方程为：特征方程为：使用使用Routh判据：判据：本讲稿第六十四页，共七十一页因此当因此
41、当Ka=4080时产生临界稳定。时产生临界稳定。使用辅助方程，得到使用辅助方程，得到即虚轴上的根为：即虚轴上的根为：为了系统的稳定性，为了系统的稳定性，现在通过闭合开关来加入速度反馈，传递函数：现在通过闭合开关来加入速度反馈，传递函数：本讲稿第六十五页，共七十一页则特征方程为：则特征方程为：做做Routh判定表：判定表：本讲稿第六十六页，共七十一页为了保证稳定性，有必要选择使得：为了保证稳定性，有必要选择使得：的参数对的参数对(Ka,K1)，其中，其中Ka0当当Ka=100,K1=0.05时，利用时，利用MatLab求得系统响应。求得系统响应。为了满足性能要求，需要对参数进行多次迭代。为了满足
42、性能要求，需要对参数进行多次迭代。本讲稿第六十七页，共七十一页本讲稿第六十八页，共七十一页本章小结本章小结本章首先阐述了研究系统稳定性的意义、本章首先阐述了研究系统稳定性的意义、稳定性的定义以及闭环极点和稳定性的关稳定性的定义以及闭环极点和稳定性的关系。然后重点介绍了劳斯判据和奈奎斯特系。然后重点介绍了劳斯判据和奈奎斯特判据。最后介绍如何对不同类型的不稳定判据。最后介绍如何对不同类型的不稳定系统进行改进。系统进行改进。本讲稿第六十九页，共七十一页本章重点及要求本章重点及要求理解闭环极点和稳定性的关系。理解闭环极点和稳定性的关系。重点掌握劳斯判据和奈氏判据。重点掌握劳斯判据和奈氏判据。理解稳定性改进的方法。理解稳定性改进的方法。本讲稿第七十页，共七十一页练习与思考练习与思考课后课后3.2，3.4，3.5，3.6，3.7，3.8，3.12本讲稿第七十一页，共七十一页