第六讲判别分析.pptx

《第六讲判别分析.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第六讲判别分析.pptx（89页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、 分类学是人类认识世界的基础科学。聚类分析和判别分析是研究事物分类的基本方法，广泛地应用于自然科学、社会科学、工农业生产的各个领域。在自然科学和社会科学的各个领域经常遇到需要对某个个体属于哪一类进行判断。如动物学家对动物如何分类的研究和某个动物属于哪一类、目、纲的判断。第1页/共89页判别判别 有一些昆虫的性别很难看出，只有通过解剖才能够判别；但是雄性和雌性昆虫在若干体表度量上有些综合的差异。于是统计学家就根据已知雌雄的昆虫体表度量（这些用作度量的变量亦称为预测变量）得到一个标准，并且利用这个标准来判别其他未知性别的昆虫。这样的判别虽然不能保证百分之百准确，但至少大部分判别都是对的，而且用不着

2、杀死昆虫来进行判别了。第2页/共89页 判别分析是根据观测到的某些指标对所研究的对象进行分类的一种多元统计分析方法。在医学研究中经常遇到这类问题；例如,临床上常需根据就诊者的各项症状、体征、实验室检查、病理学检查及医学影像学资料等对其作出是否有某种疾病的诊断或对几种可能患有的疾病进行鉴别诊断，有时已初步诊断为某种疾病，还需进一步作出属该类疾病中哪一种或哪一型的判断。什么是判别分析第3页/共89页聚类分析是根据事物本身的特性研究个体分类的方法，原则是同一类中的个体有较大的相似性，不同类中的个体差异很大。判别分析是根据表明事物特点的变量值和它们所属的类，求出判别函数。根据判别函数对未知所属类别的事

3、物进行分类的一种分析方法。第4页/共89页主要不同点就是，在聚类分析中一般人们事先并不知道或一定要明确应该分成几类，完全根据数据来确定。而在判别分析中，至少有一个已经明确知道类别的“训练样本”，利用这个数据，就可以建立判别准则，并通过预测变量来为未知类别的观测值进行判别了。判别分析和聚类分析有什么不同呢？第5页/共89页聚类分析聚类分析第6页/共89页聚类要注意的问题聚类结果主要受所选择的变量影响。如果去掉一些变量，或者增加一些变量，结果会很不同。相比之下，聚类方法的选择则不那么重要了。因此，聚类之前一定要目标明确。另外就分成多少类来说，也要有道理。只要你高兴，从分层聚类的计算机结果可以得到任

4、何可能数量的类。但是，聚类的目的是要使各类距离尽可能的远，而类中点的距离尽可能的近，而且分类结果还要有令人信服的解释。这一点就不是数学可以解决的了。第7页/共89页判别分析第8页/共89页n概述概述n距离判别法距离判别法n贝叶斯判别法贝叶斯判别法n费歇尔判别法费歇尔判别法n逐步判别法逐步判别法第9页/共89页10一、什么是判别分析？设有k个总体G1，G2，Gk，希望建立一个准则，对给定的任意一个样本x，依据这个准则就能判断它是来自哪个总体。应当要求这种准则在某种意义下是最优的，如：错判概率最小或错判损失最小等等。第一节 概述第10页/共89页判别分析的一般步骤第11页/共89页12 判别分析利

5、用已知类别的样本培训模型，为未知样本判类的一种统计方法。它产生于本世纪30年代。近年来，在自然科学、社会学及经济管理学科中都有广泛的应用。判别分析的特点是根据已掌握的、历史上每个类别的若干样本的数据信息，总结出客观事物分类的规律性，建立判别公式和判别准则。然后，当遇到新的样本点时，只要根据总结出来的判别公式和判别准则，就能判别该样本点所属的类别。第12页/共89页13判别分析举例：根据发掘出来的人类头盖骨的高、宽等特征来判断其是男性还是女性。在税务稽查中，要判断某企业是否偷漏税。医生对病情的诊断。信用风险的判定。成功概率的判定。企业运行状态或财务状况的判定。第13页/共89页14二、判别分析的

6、种类1、按判别的组数分有两组判别分析和多组判别分析2、按区分不同总体所用的数学模型分有 线性判别和非线性判别3、按判别准则的不同有距离判别、费歇尔（FisherFisher）判别和贝叶斯（BayesBayes）判别。第14页/共89页判别分析的假设前提每一个判别变量不能是其他判别变量的线性组合各组变量的协方差阵相等各判别变量之间具有多元正态分布15第15页/共89页第二节 距离判别 （一）马氏距离 距离判别的最直观的想法是计算样品到第i i类总体的平均数的距离，哪个距离最小就将它判归哪个总体，所以，我们首先考虑的是是否能够构造一个恰当的距离函数，通过样本与某类别之间距离的大小，判别其所属类别。

7、第16页/共89页17 设 是从期望=和方差阵=的总体G抽得的两个观测值，则 样本X和Gi类之间的马氏距离定义为X与Gi类重心间的距离：X X与与Y Y之间的之间的MahalanobisMahalanobis距离距离 第17页/共89页18马氏距离和欧式距离之间的差别 马氏距离欧氏距离第18页/共89页19马氏距离有如下的特点：2、马氏距离是标准化后的变量的欧式距离1、马氏距离不受计量单位的影响;第19页/共89页20 3、若变量之间是相互无关的，则协方差矩阵为对角矩阵第20页/共89页21此时的马氏距离为第21页/共89页（二）两个总体距离判别法先考虑两个总体的情况，设有两个协差阵相同的p

8、p维正态总体，对给定的样本X X，判别一个样本X X到底是来自哪一个总体，一个最直观的想法是计算X X到两个总体的距离。故我们用马氏距离来给定判别规则，有：1、方差相等第22页/共89页23考虑 和 的差，就有：第23页/共89页24则前面的判别法则表示为当和已知时，是一个已知的p维向量，W（x）是x的线性函数，称为线性判别函数。称为判别系数。用线性判别函数进行判别分析非常直观，使用起来最方便，在实际中的应用也最广泛。第24页/共89页25 例 在企业的考核中，可以根据企业的生产经营情况把企业分为优秀企业和一般企业。考核企业经营状况的指标有：资金利润率=利润总额/资金占用总额 劳动生产率=总产

9、值/职工平均人数 产品净值率=净产值/总产值 三个指标的均值向量和协方差矩阵如下。现有二个企业，观测值分别为 （7.8，39.1，9.6）和（8.1，34.2，6.9），问这两个企业应该属于哪一类？第25页/共89页26变量均值向量协方差矩阵优秀一般资金利润率13.55.468.3940.2421.41 劳动生产率 40.729.840.2454.5811.67 产品净值率 10.76.221.4111.677.90第26页/共89页第27页/共89页线性判别函数：第28页/共89页29 2、当总体的协方差已知，且不相等第29页/共89页30随着计算机计算能力的增强和计算机的普及，距离判别法的

10、判别函数也在逐步改进，一种等价的距离判别为：设有个K总体，分别有均值向量i(i=1,2,k)和协方差阵i=，各总体出现的先验概率相等。又设Y是一个待判样品。则与总体i的距离为（即判别函数）(三)多总体的距离判别法上式中的第一项x-1x与i无关，则舍去，得一个等价的函数第30页/共89页31将上式中提-2，得则距离判别法的判别函数为：注：这与前面所提出的距离判别是等价的.判别规则为第31页/共89页32（四）对判别效果做出检验1、错判概率 由上面的分析可以看出，马氏距离判别法是合理的，但是这并不意味着不会发生误判。两总体分别服从其判别函数为第32页/共89页33显然，只有两个总体的均值有显著差异

11、时，判别分析才有实际意义显然，只有两个总体的均值有显著差异时，判别分析才有实际意义第33页/共89页342、交叉核实交叉核实法的思想是：为了判断第i个观测的判别正确与否，用删除第i个观测的样本数据集计算出判别函数，然后用此判别函数来判别第i个观测。对每一个观测都这样进行。交叉核实检查比较严格，能说明所选择判别方法的有效性。交叉核实可以检验所用方法是否稳定。交叉核实可以解决样本容量不大的情形，改变样本，来检验方法是否稳定的问题。第34页/共89页35 判类判类原类原类合计第35页/共89页36加权错判率：设qi是第i类的先验概率，pi是第i类的错判概率，则加权错判率为 简单错判率：第36页/共8

12、9页 距离判别只要求知道总体的数字特征，不涉及总体的分布函数，当参数未知和协方差时，就用样本的均值和协方差矩阵来估计。距离判别方法简单实用，但没有考虑到每个总体出现的机会大小，即先验概率，没有考虑到错判的损失。贝叶斯判别法正是为了解决这两个问题提出的判别分析方法。第37页/共89页38 办公室新来了一个雇员小王，小王是好人还是坏人大家都在猜测。按人们主观意识，一个人是好人或坏人的概率均为0.5。坏人总是要做坏事，好人总是做好事，偶尔也会做一件坏事，一般好人做好事的概率为0.9，坏人做好事的概率为0.2，一天，小王做了一件好事，小王是好人的概率有多大，你现在把小王判为何种人。第三节贝叶斯判别法一

13、 、最大后验准则第38页/共89页39第39页/共89页40 距离判别简单直观，很实用，但是距离判别的方法把总体等同看待，没有考虑到总体会以不同的概率（先验概率）出现，也没有考虑误判之后所造成的损失的差异。一个好的判别方法，既要考虑到各个总体出现的先验概率，又要考虑到错判造成的损失，Bayes判别就具有这些优点，其判别效果更加理想，应用也更广泛。贝叶斯公式是一个我们熟知的公式第40页/共89页41设有总体，具有概率密度函数。并且根据以往的统计分析，知道出现的概率为。即当样本发生时，求它属于某类的概率。由贝叶斯公式计算后验概率，有：判别规则则判给。在正态的假定下，为正态分布的密度函数。第41页/

14、共89页42 则判给。上式两边取对数并去掉与i无关的项，则等价的判别函数为：特别，总体服从正态分布的情形第42页/共89页43问题转化为若，则判。第43页/共89页44则判别函数退化为令问题转化为若，则判。当协方差阵相等第44页/共89页45 令完全成为距离判别法。有问题转化为若，则判。当先验概率相等，第45页/共89页46二、最小平均误判代价准则 设有总体，具有概率密度函数。并且根据以往的统计分析，知道出现的概率为，且。又D1，D2，Dk是R(p)的一个分划，判别法则为：当样品X落入Di时，则判 关键的问题是寻找D1，D2，Dk分划，这个分划应该使平均错判率最小。第46页/共89页47【定义

15、】（平均错判损失）用P(j/i)表示将来自总体Gi的样品错判到总体Gj的条件概率。若用C(j/i)表示相应错判所造成的损失。则平均错判损失为：使ECM最小的分划，是Bayes判别分析的解。第47页/共89页48【定理】若总体G1，G2，Gk的先验概率为且相应的密度函数为，损失为则划分的Bayes解为式中 第48页/共89页49 含义是：当抽取了一个未知总体的样品值x，要判别它属于那个总体，只要先计算出k个按先验概率加权的误判平均损失为了直观说明，作为例子，我们讨论k=2的情形。然后比较其大小，选取其中最小的，则判定样品属于该总体。第49页/共89页50 第50页/共89页51 由此可见，要使E

16、CM最小，被积函数必须在D1是负数，则有分划 第51页/共89页52Bayes判别准则为：第52页/共89页53特别，若与标准Bayes判别等价第53页/共89页 下表是某金融机构客户的个人资料，这些资料对一个金融机构来说，对于客户信用度的了解至关重要，因为利用这些资料，可以挖掘出许多的信息，建立客户的信用度评价体系。所选变量为：x1:月收入 x2：月生活费支出 x3：虚拟变量，住房的所有权，自己的为“1”，租用的“0”x4：目前工作的年限 x5：前一个工作的年限 x6：目前住所的年限 x7：前一个住所的年限x8：信用程度，“5”的信用度最高，“1”的信用度最低。第54页/共89页第55页/共

17、89页第56页/共89页第四节Fisher判别法第57页/共89页FisherFisher判别法(先进行投影)所谓Fisher判别法，就是一种先投影的方法。考虑只有两个（预测）变量的判别分析问题。假定这里只有两类。数据中的每个观测值是二维空间的一个点。见图（下一张幻灯片）。这里只有两种已知类型的训练样本。其中一类有38个点（用“o”表示），另一类有44个点（用“*”表示）。按照原来的变量（横坐标和纵坐标），很难将这两种点分开。于是就寻找一个方向，也就是图上的虚线方向，沿着这个方向朝和这个虚线垂直的一条直线进行投影会使得这两类分得最清楚。可以看出，如果向其他方向投影，判别效果不会比这个好。有了投

18、影之后，再用前面讲到的距离远近的方法来得到判别准则。这种首先进行投影的判别方法就是Fisher判别法。第58页/共89页第59页/共89页 用家庭收入和草地面积来区别城市中家庭可能购买割草机和不太可能购买割草机将坐标轴旋转至总体单位尽可能分开的方向，此时分类变量被简化为一个 第60页/共89页 从距离判别法，我们已经看到判别规则是一个线性函数，由于线性判别函数使用简便，因此我们希望能在更一般的情况下，建立一种线性判别函数。FisherFisher判别法是根据方差分析的思想建立起来的一种能较好区分各个总体的线性判别法，FisherFisher在1936年提出。该判别方法对总体的分布不做任何要求。

19、第61页/共89页62（1）基本思想：从两个总体中抽取具有p个指标的样品观测数据，借助方差分析的思想构造一个判别函数或称判别式：，其中系数c1、c2、c3.cp确定的原则是使两组间的区别最大，而使每个组内部的离差最小。有了判别式后，对于一个新的样品，将它的p个指标值代入判别式中求出y值，然后与判别临界值（或称分界点后面给出）进行比较，就可以判别它应属于哪一个总体。一、不等协差阵的两总体Fisher判别法第62页/共89页63（2）判别函数的导出 假设有两个总体G1、G2，从第一个总体中抽取n1个样品，从第二个总体中抽取n2个样品，每个样品观测p个指标，列表如下：第63页/共89页64假设新建立

20、的判别式为，今将属于不同两总体的样品观测值代入判别式中去，则得：对上边两式分别左右相加，再乘以相应的样品个数，则有：第一组样品的“重心”第二组样品的“重心”第64页/共89页为了使判别函数能够很好地区别来自不同总体的样品，自然希望：i）来自不同总体的两个平均值相差愈大愈好。ii）对于来自第一个总体 要求它们的离差平方和 愈小愈好，同样也要求 愈小愈好。综合以上两点，就是要求 愈大愈好 记 为两组间离差。为两组内的离差。第65页/共89页有了判别函数之后，欲建立判别准则还要确定判别临界值（分界点）y0，在两总体先验概率相等的假设下，一般常取y0为和的加权平均值即如果由原始数据求得 与 ，且满足

21、，则建立判别准则为：对一个新样品 代入判别函数中去，所取得的值记为y，若yy0，则判定 ；若yy0，则判定 。如果 ，判别准则则相反。则利用微积分求极值的必要条件可求出使I 达到最大值。或第66页/共89页（3）计算步骤i）建立判别函数求 的最大值点 ，根据极值原理，需解方程组可得到 ，写出判别函数：第67页/共89页68ii）计算判别临界值，然后根据判别准则对新样品判别分类。iii）检验判别效果（当两个总体协差阵相同且总体服从正态分布）。检验统计量：其中第68页/共89页69给定检验水平a,查F分布表，确定临界值 ，若 ，则 被否定，认为判别有效。否则认为判别无效。第69页/共89页结论 考

22、虑比 根据Fisher的思想我们要选择 使得比值达到最大。利用最大值引理，当 时，比值达到最大。特别取 时线性函数 称为Fisher线性判别函数。第70页/共89页 设在 维总体的情况下，的线性组合为 其中 为 维向量。设 和 的均值向量分别为 和 ，且有公共的协方差阵 。那么线性组合 的均值为 第71页/共89页 令则有于是Fisher判别准则为:第72页/共89页注意到Fisher判别准则可写为：这就是马氏距离最小判别准则。第73页/共89页74例子已知云南某地盐矿分为钾盐及非钾盐（即钠盐）两类。现我们已掌握有两类盐矿有关历史样本数据如下表7-1所示。第74页/共89页75为对待判样本进行

23、判别，需要进行判别分析。可以求出判别函数为：根据上述判别函数，可求得：使用上述判别函数进行回判，正确回判率为V=100%。对上述两类进行显著性检验，说明A，B两类差异显著，判别效果是有效的。第75页/共89页76待判样品结果为：第76页/共89页77二、多总体Fisher判别法设有k个总体G1,Gk，抽取样品数分别为 ，令 为第i个总体的第a个样品的观测向量假定所建立的判别函数为 其中 第77页/共89页记和分别是总体内x的样本均值向量和样本协差阵，根据求随机变量线性组合的均值和方差的性质可知，在上的样本均值和样本方差为记 为总的均值向量，则 。在多总体情况下，Fisher准则就是要选取系数向

24、量c，使达到最大，其中 是人为的正的加权系数，它可以取为先验概率。如果取 ，并将 代入上式可化为：第78页/共89页79其中E为组内离差阵，A为总体之间样本协差阵，即我们选择，使得上式达到最大，为了方便，我们约定第79页/共89页 定理 设 为 的 个非零特征值，为相应的特征向量（满足 ），则 时使得 式达到最大，称 为第一判别函数。除去 ，则 是在约束条件 之下使得 式达到最大的解，称 为第二判别函数。类推下去，除去 ，则 是在约束条件 之下使得 式达到最大，称 为第 个判别函数。第80页/共89页81于是可构造m个判别函数：对于每一个判别函数必须给出一个用以衡量判别能力的指标 定义为：第8

25、1页/共89页82m0个判别函数的判别能力定义为：如果spm0达到某个特定的值（比如85%），则就认为m0个判别函数就够了。有了判别函数之后，如何对待判的样品进行分类？Fisher判别法本身并未给出最合适的分类法，在实际工作中可以选用下列分类法之一去作分类。第82页/共89页83（1）当取m0=1时（即只取一个判别函数），此时有两种可供选用的方法。i）不加权法若 则判ii）加权法将 按大小次序排列，记为 ，相应判别函数的标准差重排为 。令则 可作分界点。如果x使得 ，则判 。第83页/共89页84（2）当取 时，也有类似两种供选用的方法i）不加权法 记 对待判样品 ，计算 若 则判 。第84页

26、/共89页ii）加权法 考虑到每个判别函数的判别能力不同，记 其中 是 的非零特征根。若 则判 。第85页/共89页86第五节第五节 逐步判别法逐步判别法一、基本思想一、基本思想类似于逐步回归的思想，采用“有进有出”的算法。按照变量的重要程度，逐步引入变量，在引入新变量后，同时对差别函数中的变量进行剔除，最后直到差别函数中没有不重要的变量需要剔除，同时也没有重要的变量可引入进来，此时筛选变量过程结束。二、基本原理二、基本原理第86页/共89页87 将样本分成两部分，一部分用于确定判别函数，另一部分用于检查判别的效果。如果样本量很大，可将样本平均地或随机地分成两部分。选择变量选择变量 （1）和判别分析的目的密切相关 （2）反映要判类变量的特征 （3）在不同研究对象上的值有明显的差异 确定分析样本和验证样本确定分析样本和验证样本 判别分析主要步骤第87页/共89页88估计判别函数估计判别函数选择某种方法建立判别规则，有距离判别、贝叶斯判别和典型判别.计算错判比率和正确判定的比率。将判别函数用于验证样本，通过验证样本的错判比率和正确判定的比率来确定判别的效果。所谓错判，就是把原来是第一类的样本判给了第二类。对于正确判定的比率应该达到多少才能接受，并没有严格的规则。检查判别的效果检查判别的效果第88页/共89页感谢您的观看！第89页/共89页