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1、误差与数据处理（一）误差与数据处理（一）一、测量与误差1、所谓测量：就是用计量仪器对被测物理量进行量度。2、测量值：用测量仪器测定待测物理量所得的数值。3、真值：任一物理量都有它的客观大小，这个客观量称为真值。最理想的测量就是能够测得真值，但由于测量是利用仪器，在一定条件下通过人来完成的，受仪器的灵敏度和分辨能力的局限性，环境的不稳定性和人的精神状态等因素的影响，使得待测量的真值是不可测得的。4、误差：测量值和真值之间总会存在或多或少的偏差，这种偏差就称为测量值的误差。设被测量的真值为X,测量值为x,则测量误差为=xX,我们所测得的一切数据都毫无例外地包含一定的误差，因而误差存在于一切测量之中
2、。5、测量的任务是：（1）设法使测量值中的误差减到最小。（2）求出在测量条件下被测量的最近真值。（3）估计最近真值的可靠程度。二、误差的分类：1、系统误差：系统误差：l系统误差：在同一条件下（观察方法、仪器、环境、观察者不变）多次测量同一物理量时，符号和绝对值保持不变的误差叫系统误差。当条件发生变化时，系统误差也按一定规律变化。系统误差反映了多次测量总体平均值偏离真值的程度。(产生固定方向的偏差产生固定方向的偏差)例如：用天平测量物体质量，当天平不等臂时，测出物体质量总是偏大或偏小；当我们的手表走的很慢时，测出每一天的时间总是小于24小时；仪器零点未校正；温度引起阻值的变化。l系统误差的消除：
3、由于系统误差主要是由于仪器不完善，方法（或理论）不完善、环境影响而产生，在实验过程中要不断积累经验，认真分析系统误差产生的原因，采取适当的措施来消除。系统误差不能通过多次测量取平均值的方式来减小或消除，但它可归结为一个或几个因素的函数，并可用解析公式、曲线或列表的方式表示，这些曲线或表格称为误差修正曲线或误差修正表，。通过这种方法可研究出系统误差的变化规律，最终达到修正或消除系统误差的目的。2、随机误差随机误差l随机误差（偶然误差）：在同一条件下，多次测量同一物理量时，测量值总是有稍许差异而变化不定，这种绝对值和符号经常变化的误差称为随机误差。（以不可预知的方式变化，可用多次测量求平均来表示测
4、量结果）l随机误差的规律性：（1）绝对值相等的正的误差和负的误差出现的机会相同。（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。（3）超出一定范围的误差基本不出现。l随机误差的消除：在一定测量条件下，增加测量次数，可以减小测量结果的随机误差，使算术平均值趋于真值。因此，可以取算术平均值为直接测量的最近真值（最佳值）。3、绝对误差：绝对误差：l绝对误差：测量值x与被测量真值X之差，同被测量有相同单位，它反映了测量值偏离真值的大小。这种有单位的误差称为绝对误差。在同一测量条件下，绝对误差可以表示一个测量结果的可靠程度；但比较不同测量结果时，问题就出现了。例如：用米尺测量二个物体的长度时，测量值分
5、别是0.1m和1000m,它们的绝对误差分别是0.01m和1m,虽然后者的绝对误差远大于前者，但是前者的绝对误差占测量值的10%，而后者的绝对误差仅占测量值的0.1%，说明后一个测量值的可靠程度远大于前者，故绝对误差不能正确比较不同测量值的可靠性。4、相对误差：相对误差：l相对误差：测量值的绝对误差与测量值之比叫相对误差。相对误差是一个比值，没有单位，通常用百分比表示。三、直接测量结果的误差估计1、单次测量的误差估计单次测量的误差估计由于有些物理量的测量精度要求不高，或者这一物理量的误差对整体影响较小，因而只测量一次即可满足测量要求，此时测量误差的估计分两种情况：（1）在给定仪器误差情况下，单
6、次测量的误差取仪器误差；（2）在没有给出仪器误差的情况下，对连续读数的仪器，取测量仪器最小分度值的一半作为单次测量的误差。对非连续读数的仪器，取测量仪器的最小分度值作为单次测量的误差。对于其余一些特殊情况，单次测量的仪器误差示具体情况而定。例如：秒表和天平。2、多次测量的误差估计多次测量的误差估计l算术平均值：在相同测量条件下，对同一物理量独立测量n次的测量值为x1,x2,xn,其算术平均值为l残差：测量值与平均值之差称为残差。l标准偏差：需要注意的是：测量值的标准偏差并不表示测量值的误差的实际大小，因为测量值的偶然误差是随机的，所以测量值的标准偏差只表示，任一测量值的误差落在区域（+、-）内
7、的概率为68.3%,这就是标准偏差的统计意义。l算术平均值的标准偏差:3、可疑数字的剔除可疑数字的剔除一般测量的误差出现在内的概率为68.3%,误差出现在内的概率为95.5%,而出现在区间内的概率为99.7%,而一般我们的测量次数又不是很多，故测量值误差超出区间的可能性及小，对误差超出的数据可以剔除，但要在原始数据记录表格中保留，并用红色笔做删除标记。4、测量次数的确定测量次数的确定在基础实验中，一般测量次数为410次。5、重复测量所得测量值相等时误差估计重复测量所得测量值相等时误差估计重复测量的测量值相等，此时用前面所讲的计算标准偏差公式计算的结果为零，这并不意味着测量中不存在随机误差，这是
8、由于测量仪器精度较低，不足以反映测量的随机误差，在这种情况下，计算标准偏差的方法为：设仪器的最小分辨值为b,测量的标准偏差为四、间接测量的误差传递由直接测量量代入公式计算得到的结果称为间接测量，由于直接测量存在误差，因此由计算得到的间接测量量也存在误差，这就是误差传递。1、差传递的基本公式差传递的基本公式设：x,y,z,为独立的测量量，N为待测物理量，其函数关系为：N=f（x,y,z,）对上式进行全微分有：上式就是误差传递的基本公式，其中等于号“=”后面的每一项称为绝对误差或相对误差的分误差项；dx,dy,dz前面的系数称为误差传递系数。可以看出，一个独立测量量的误差对总误差的影响，不仅取决于
9、本身误差的大小，还取决于误差传递系数。2、偶然误差的传递和合成偶然误差的传递和合成在一般情况下，直接测量的误差要求计算标准偏差，而以上两式对标准偏差并不成立，根据误差理论，在误差传递过程中，标准偏差的合成方式为：（1）绝对误差：（1）（2）相对误差：（2）五、测量结果的表示测量结果的表示l测量结果的误差：无论是直接测量还是间接测量其结果的误差只有一位有效数字，测量结果有效数字的最后一位与误差位对齐。l测量结果的表示：测量结果包括测量值、误差、单位三部分。其表达式为：（单位）式中在单次测量中是算术平均值，在多次测量中是由函数关系计算出的间接测量值；为多次测量的误差。l数值舍入规则：在基础实验中，
10、本教材对数字的取舍一律采用四舍五入的规则。六、有效数字及其运算（运算结果只保留一位欠准数）概念：可靠数+欠准数（1）记录：依据仪器的分度值而定（2）取舍规则：“奇”入“偶”舍（3）运算：加减（最先）、乘除（最少）、乘方，立方，开方（底）、常数e，h等（多取一位）七、实验数据的处理在实验过程中，选择合适的数据处理方法，能够简明、直观地分析和处理实验数据，易于显示物理量之间的联系和规律性。常用的数据处理方法有以下几种：1、列表法使用表格处理数据时，需要注意标明物理量的单位和符号。设计表格要简单明了，便于分析、比较物理量的变化规律。2、作图法常用作图包括曲线图、折线图、直方图等，所用图纸有直角坐标、极坐标、对数坐标纸等几种。