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1、一、一、数列的概念数列的概念1.定义定义按一定次序排列的一列数叫做数列按一定次序排列的一列数叫做数列.2.数列是特殊的函数数列是特殊的函数 从函数的观点看数列从函数的观点看数列,对于定义域为正整数集对于定义域为正整数集N*(或它的或它的有限子集有限子集1,2,3,n)的函数来说的函数来说,数列就是这个函数当自数列就是这个函数当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值,其图象是无其图象是无限个或有限个孤立的点限个或有限个孤立的点.注注:依据此观点可以用函数的思想方法来解决有关数列依据此观点可以用函数的思想方法来解决有关数列的问题的问题.二、二、数列的表示
2、数列的表示1.列举法列举法2.图象法图象法3.通项公式法通项公式法 若数列的每一项若数列的每一项 an 与项数与项数 n 之间的函数关系可以用一个公之间的函数关系可以用一个公式来表达式来表达,即即 an=f(n),则则 an=f(n)叫做数列的叫做数列的通项公式通项公式.4.递推公式法递推公式法 如果已知数列的第一项如果已知数列的第一项(或前几项或前几项),且任一项与它的前一且任一项与它的前一项项(或前几项或前几项)的关系可以用一个公式来表示的关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个公式就叫做数列的数列的递推公式递推公式.注注:递推公式有两要素递推公式有两要素:递推关系与初始条件递推关系与
3、初始条件.三、三、数列的分类数列的分类1.按项数按项数：有穷数列和无穷数列有穷数列和无穷数列；2.按按 an 的增减性：递增、递减、常数、摆动数列的增减性：递增、递减、常数、摆动数列；3.按按|an|是否有界：有界数列和无界数列是否有界：有界数列和无界数列.四、数列的前四、数列的前 n 项和项和Sn=a1+a2+an=ak;nk=1 an=S1 (n=1),Sn-Sn-1 (n2).五、数列的单调性五、数列的单调性 设设 D 是由连续的正整数构成的集合是由连续的正整数构成的集合,若对于若对于 D 中的每一个中的每一个n 都有都有 an+1an(或或 an+1an),则称数列则称数列 an 在在
4、 D 内单调递增内单调递增(或或单调递减单调递减).方法方法：作差、作商、函数求导：作差、作商、函数求导.六、重要变换六、重要变换an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1);an=a1 .anan-1a2 a1 a3 a2 典型例题典型例题1.若数列若数列 an 满足满足 a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2),则当则当 n2 时时,an 的通项的通项 an=.2.定义定义“等和数列等和数列”:在一个数列中在一个数列中,如果每一项与它的后如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列那么这个数列叫做等和数列
5、,这个这个常数叫做该数列的公和常数叫做该数列的公和.已知数列已知数列 an 是等和数列是等和数列,且且 a1=2,公和为公和为 5,那么那么 a18 的值为的值为 ,这个数列的前这个数列的前 n 项和项和 Sn 的计算的计算公式为公式为 .3.设数列设数列 an 的前的前 n 项和为项和为 Sn,Sn=(对于所有对于所有n1),且且 a4=54,则则 a1 的数值为的数值为 .a1(3n-1)2 4.在数列在数列 an 中中,a1=,an+1-an=,求数列求数列 an 的通的通项公式项公式.124n2-1 1n!2an=324n-2 4n-3 an=n 为奇数时为奇数时,Sn=n-;n 为偶
6、数时为偶数时,Sn=n.125252 5.已知数列已知数列 an 的前的前 n 项和项和 Sn 满足满足:log2(1+Sn)=n+1,求数求数列列 an 的通项公式的通项公式.6.设数列设数列 an 的前的前 n 项和项和 Sn=2an-1(n=1,2,3,);数列数列 bn 满满足足:b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,3,).求数列求数列 an、bn 的通项的通项公式公式.3,n=1,2n,n2.an=an=2n-1bn=2n-1+2 7.设数列设数列 an 的前的前 n 项和项和 Sn=3n2-65n,求数列求数列|an|的前的前 n 项和项和 Tn.-3n2+65n,n11,
7、3n2-65n+704,n12.Tn=8.已知数列已知数列 an 的通项的通项 an=(n+1)(),问是否存在正整数问是否存在正整数 M,使得对任意正整数使得对任意正整数 n 都有都有 anaM?n109当当 nan,an 单调递增；单调递增；当当 n8 时时,an+1an,an 单调递减单调递减.而而 a8=a9,即即 a1a2a10a11,a8 与与 a9 是数列是数列 an 的最大项的最大项.故存在故存在 M=8 或或 9,使得使得 anaM 对对 nN+恒成立恒成立.解解:an+1-an=(n+2)()n+1-(n+1)()n 11 911 9=()n .11 910 8-n 9.求
8、使得不等式求使得不等式 +2a-5 对对 nN*恒成立的正整数恒成立的正整数 a 的最大值的最大值.1 3n+1 1 n+1 1 n+2 1 n+3 解解:记记 f(n)=+,考察考察 f(n)的单调性的单调性.1 3n+1 1 n+1 1 n+2 1 n+3 f(n+1)f(n),f(n+1)-f(n)=+-1 3n+2 1 3n+3 1 3n+4 1 n+1=+-1 3n+2 1 3n+4 2 3n+3=0,2(3n+2)(3n+3)(3n+4)评析评析 数列的单调性是探索数列的最大项、最小项及解决数列的单调性是探索数列的最大项、最小项及解决其它许多数列问题的重要途径其它许多数列问题的重要
9、途径,因此要熟练掌握求数列单调性因此要熟练掌握求数列单调性的程序的程序.当当 n=1 时时,f(n)有最小值有最小值 f(1)=+=.1213141213要使题中不等式对要使题中不等式对 nN*恒成立恒成立,只须只须 2a-5 .1213正整数正整数 a 的最大值是的最大值是3.解得解得 a .2473课后练习课后练习 1.根据下列数列的前几项的值根据下列数列的前几项的值,写出数列的一个写出数列的一个通项公式通项公式:(1)-1,-,-,;3436321315(2)5,55,555,.an=(-1)n 2+(-1)nnan=5555=(9999)=(10n-1)n 个个59n 个个59(3)-
10、1,7,-13,19,;(4)7,77,777,7777,;(5),;236389910154356(6)5,0,-5,0,5,0,-5,0,.an=(-1)n(6n-5)an=(10n-1)79an=2n(2n-1)(2n+1)an=5sin 2 n 2.已知下面各数列已知下面各数列 an 的前的前 n 项和项和 Sn 的公式的公式,求求 an 的通的通项公式项公式:(1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n2+n+1;(3)Sn=3n-2.解解:(1)当当 n=1 时时,a1=S1=-1;当当 n2 时时,an=Sn-Sn-1=4n-5,故故 an=4n-5(n N*).(2)当当 n=1
11、 时时,a1=S1=5;当当 n2 时时,an=Sn-Sn-1=6n-2,故故 an=5,n=1,6n-2,n2.(3)当当 n=1 时时,a1=S1=1;当当 n2 时时,an=Sn-Sn-1=2 3n-1,故故 an=1,n=1,23n-1,n2.3.已知数列已知数列 an 满足满足 a1=1,an=3n-1+an-1(n2).(1)求求 a2,a3;(2)证明证明:an=.3n-1 2(1)解解:a1=1,an=3n-1+an-1(n2),a2=32-1+a1=3+1=4,a3=33-1+a2=9+4=13.故故 a2,a3 的值分别为的值分别为 4,13.(2)证证:a1=1,an=3
12、n-1+an-1,an-an-1=3n-1.an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+3+32+3n-1 3n-1 2故故 an=.3n-1 23n-1 3-13-1=.4.设函数设函数 f(x)=log2x-logx2(0 x1),数列数列 an 满足满足 f(2an)=2n,n=1,2,3,.(1)求数列求数列 an 的通项公式的通项公式;(2)判断数列判断数列 an 的单调性的单调性.解解:(1)由已知由已知 log22an-=2n,log22an1an-=2n,1an即即 an2-2nan-1=0.解得解得 an=n n2+1.故故 an=n-n2+1(n N
13、*).0 x1,即即 02an1,an0.(2)=an+1 an (n+1)-(n+1)2+1n-n2+1(n+1)+(n+1)2+1n+n2+1=1.而而anan.故故数列数列 an 是递增数列是递增数列.5.已知数列已知数列 an 的通项的通项 an=(n+1)()n(n N*),试问该数试问该数列列an 有没有最大项有没有最大项?若有若有,求出最大项和最大项的项数求出最大项和最大项的项数;若若没有没有,说明理由说明理由.1110当当 n0,即即 an+1an;当当 n9 时时,an+1-an0,即即 an+10),则有则有:a24=a14q=(a11+3d)q,a32=a12q2=(a1
14、1+d)q2,12(+3d)q=1,(+d)q2=,1214即即:解得解得:q=d=.1212故公比故公比 q 的值为的值为.1212(2)a1k=a11+(k-1)d=+(k-1)=.k2n212(3)A1=a11+a12+a13+a1n=(+)=.n2n(n+1)4 Ak=ak1+ak2+ak3+akn=qk-1A1=()k-1 =.12n(n+1)4n(n+1)2k+1 7.已知数列已知数列 2n-1an 的前的前 n 项和项和 Sn=9-6n.(1)求数列求数列 an 的的通项公式通项公式;(2)设设 bn=n(3-log2 ),求数列求数列 的前的前 n 项和项和.|an|3bn1解
15、解:(1)当当 n=1 时时,20 a1=S1=9-6=3,a1=3;当当 n2 时时,2n-1 an=Sn-Sn-1=-6,故故 an=-,n2.3,n=1,2n-2 3 an=-.2n-2 3(2)当当 n=1 时时,b1=3-log21=3,=;b1113当当 n2 时时,bn=n(3-log2 )=n(n+1),3 2n-2 3bn1 =-.n1n+1156=-.n+11 +=+(-)+(-)b11b2 1bn113n11213n+11 8.已知数列已知数列 an,bn 满足满足 a1=1,a2=a(a为常数为常数),且且 bn=anan+1,其中其中,n=1,2,3,.(1)若若 a
16、n 是等比数列是等比数列,试求数试求数列列 bn 的前的前 n 项和项和 Sn 的公式的公式.解解:an 是等比数列是等比数列,a1=1,a2=a,a 0,an=an-1.又又 bn=anan+1,b1=a1a2=a,且有且有:bn+1 bn anan+1 an+1an+2=a2.an+2 an bn 是以是以 a 为首项为首项,a2 为公比的等比数列为公比的等比数列.当当 a=1 时时,Sn=1+1+1=n;当当 a=-1 时时,Sn=-1-1-1=-n;当当 a1 时时,Sn=.1-a2 a(1-a2n)1-a2 a(1-a2n)故故 Sn=n,a=1,-n,a=-1,a1.(2)当当 b
17、n 是等比数列时是等比数列时,甲同学说甲同学说:an 一定是等比数列一定是等比数列,乙同学说乙同学说:an 一定不是等比数列一定不是等比数列.你认为他们的说法是否正你认为他们的说法是否正确确?为什么为什么?解解:甲甲,乙两个同学的说法均不正确乙两个同学的说法均不正确,理由如下理由如下:设设 bn 的公比为的公比为 q,则则:bn+1 bn anan+1 an+1an+2=q,且且 a 0.an+2 an 又又a1=1,a2=a,a1,a3,a5,a2n-1,是以是以 1 为为首首项项,q 为为公比的等比数公比的等比数列列.a2,a4,a6,a2n,是以是以 a 为为首首项项,q 为为公比的等比数公比的等比数列列.即即 an 为为:1,a,q,aq,q2,aq2,.当当 q=a2 时时,an 是等比数列是等比数列,当当 q a2 时时,an 不不是等比数是等比数列列.法二法二:举例说明举例说明 an 可能是等比数列可能是等比数列,也可能不是也可能不是:设设 bn 的公比为的公比为 q,取取 a=q=1,则则:an=1(n N*).此时此时 bn=1,an 与与 bn 都都是等比数列是等比数列;取取 a=2,q=1,则则:an=,bn=2.1(n为奇数为奇数)2(n为偶数为偶数)此时此时 bn 是等比数列是等比数列,而而an不不是等比数列是等比数列.