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1、 4.4 4.4 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换 主要内容主要内容 重点：重点：部分分式分解部分分式分解 难点：难点：部分分式分解中系数的求解问题部分分式分解中系数的求解问题部分分式分解部分分式分解用留数定理求逆变换（自己看）用留数定理求逆变换（自己看） 从象函数从象函数F(sF(s) )求原函数求原函数f (t)f (t)的过程称为拉普拉斯反变换。的过程称为拉普拉斯反变换。简单的拉普拉斯反变换只要应用表简单的拉普拉斯反变换只要应用表4-14-1以及上节讨论的拉氏以及上节讨论的拉氏变换的性质便可得到相应的时间函数。变换的性质便可得到相应的时间函数。求取复杂拉氏变换式的反变换通常有两种方法：部分分
2、式求取复杂拉氏变换式的反变换通常有两种方法：部分分式展开法和围线积分法。前者是将复杂变换式分解为许多简展开法和围线积分法。前者是将复杂变换式分解为许多简单变换式之和，然后分别查表即可求得原信号，它适合于单变换式之和，然后分别查表即可求得原信号，它适合于F(sF(s) )为有理函数的情况；后者则是直接进行拉氏变换积分，为有理函数的情况；后者则是直接进行拉氏变换积分，它的适用范围更广。它的适用范围更广。一一、部分分式分解部分分式分解01110111)()()(bsbsbsbasasasasBsAsFnnnnmmmm ai,bi为实数，为实数，m,n为正整数。为正整数。 , 为有理真分式为有理真分式
3、当当sFnm :式式具有如下的有理分式形具有如下的有理分式形通常通常sF)()()()()()()(2121nnmmpspspsbzszszsasBsAsF 分解分解零点零点极点极点 0)(0)( sFsA 的零点的零点称为称为的根的根是是sFsAzzzzm,0,321 的极点的极点称为称为的根的根是是sFsBppppn,0,321 )(0)(sFsB 按照极点之不同特点，部分分式分解方法按照极点之不同特点，部分分式分解方法 有以下几种情况有以下几种情况 （1 1）极点为实数，无重根；）极点为实数，无重根； （2 2）包含共轭复数极点）包含共轭复数极点 （3 3）有多重极点）有多重极点1.1.
4、第一种情况：第一种情况：极点为实数，无重根极点为实数，无重根的情况）先考虑为不同的实数根nm( ,321npppp)()()()(21npspspssAsF nnpskpskpsksF 2211)( 展开为部分分式展开为部分分式即可将即可将求出求出sFkkkkn,321然后再根据常用信号的拉氏变换进行逆变换然后再根据常用信号的拉氏变换进行逆变换(1)找极点找极点 )3)(2)(1(3322 ssssssF(2)展成部分分式展成部分分式 321321 sksksksF362511)( ssssF6116332)(232 ssssssF 1 stueLt根据根据 065)(:32 teeetftt
5、t得得(3)逆变换逆变换求系数求系数例：求下列函数的逆变换例：求下列函数的逆变换如何求系数如何求系数k k1 1, k, k2 2, k, k33？11 k1, 1 ss且令且令对等式两边同乘以对等式两边同乘以11321321)1(kskskskss 右边右边1)()1( ssFs左边左边1)3)(2)(1(332)1(12 sssssss, 5)()2(:22 ssFsk同理同理6)()3(33 ssFsk362511)( ssssF第二种情况：第二种情况：包含包含共轭复数共轭复数极点极点 22 ssDsAsF jsjssF 1共轭极点出现在共轭极点出现在 j .21 jsKjsKsF js
6、sFjsK 1 jjF21 jssFjsK 2 jjF22 成共轭关系：成共轭关系：可见可见21,KKjBAK 1*12KjBAK 求求f(tf(t) )jBAK 1*12KjBAK jsKjsKLtfC211 ttteKeKe *11 tBtAet sincos2 例题例题。的逆变换的逆变换求求)()52)(2(3)(22tfsssssF )2)(21)(21(32 sjsjsssF21212210jsKjsKsK 02, 1 取取 57)2(20 ssFsK521)21)(2(32121jjsssKjs 52,51 BA 02sin522cos512572 ttteetftt 22 sss
7、FF(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法具有共轭极点，不必用部分分式展开法 2222 ssssF 0sincos ttetetftt 求下示函数求下示函数F(s)的逆变换的逆变换f(t)：解：解：求得求得另一种方法另一种方法 222)(cos)(sin ssteLsteLtt利用利用第三种情况：有多重极点第三种情况：有多重极点11121111)()()()( kkkpskpskpssA1121)1(1)(pskpskkk 求求k11，方法同第一种情况，方法同第一种情况：求其它系数，要用下式求其它系数，要用下式11)()()(1111pskpssFpssFk kisFsikpsiii, 3
8、, 2 , 1)(dd)!1(111111 1)(dd, 2112pssFsKi 当当1)(dd21, 312213pssFsKi 当当例：求下列函数的逆变换例：求下列函数的逆变换232122)1(12)1)(2()( skskskssssF4)1)(2()2(2221 sssssk1)1)(2()1(12223 sssssk为重根最高次系数为重根最高次系数为单根系数为单根系数31,kk如何求如何求k2?如何求如何求k k2 2? ?设法使部分分式只保留设法使部分分式只保留k k2 2，其它分式为，其它分式为0 032122)1(2)1(2ksksksss 0)2()1()2)(1(222211 ksskkss22222)2(4)2()2(22dd ssssssssss32 k2)1( s对原式两边乘以对原式两边乘以两边再求导两边再求导若求若求只能求出只能求出时时令令, 1,123kks 3212)1(2)1(ddkksskss右边右边 )()1(dd2sFss 左边左边2, 1ks 右右此时令此时令3)2(4122 ssss左边左边逆变换逆变换2)1(11324)( ssssF 034)()(21 tteeesFLtfttt二、用留数定理求逆变换（自己看）二、用留数定理求逆变换（自己看）思考题思考题 1. 1. 拉普拉斯逆变换的求解方法？拉普拉斯逆变换的求解方法？