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1、p随机变量：表示随机事件各次试验结果的实数值变量。p随机变量分类1.连续型随机变量2.离散型随机变量p随机变量系列（系列）：随机变量可以取的一系列数值。大多数水文现象第1页/共87页3.1 概率统计理论基础总体和样本p2.样本：从总体中随机抽取的一部分试验结果值，称为随机变量的样本。p总体分类1.有限总体2.无限总体p1.总体：随机变量所有可取试验结果的全体。p样本容量：样本的数目。p抽样：从总体中抽取样本。大多数水文现象的总体第2页/共87页3.1 概率统计理论基础概率与频率式中：m随机事件A出现的总次数。n试验结果的总数。p简单随机事件：若试验的可能结果是有限的，而且所有事件出现的可能性都
2、相等。p1.概率（机率、几率）：随机变量X取值的可能性。p2.频率：在n次重复的随机试验中，事件A实际出现的次数f与试验总次数n的比值，称为事件A的频率。简单随机事件的概率：第3页/共87页3.1 概率统计理论基础概率probability与频率frequencyp用实测样本的频率特性来分析推论事件总体的概率特性，是数理统计方法的基本原理。第4页/共87页3.1 概率统计理论基础累积频率与重现期p1.累积频率：在n次重复随机试验中，大于等于某量值累计出现的次数与总次数的比值。第5页/共87页破坏率：建筑物每年遭到洪水破坏的可能性。P 安全率：建筑物每年正常运行的可能性。1P保证率：在n n年内
3、保持正常运行的可能性。(1-P)(1-P)n n 风险率：在n n年内遭到破坏的可能性。1 1(1-P)(1-P)n n累积频率与重现期p2.重现期：水文破坏事件在长时期观测中可能再现的平均时间间隔，单位为年。第6页/共87页当确定设计洪峰流量或水位xi时，破坏率：破坏事件(Xx(Xxi i)的重现期：累积频率与重现期p当确定设计枯水位或年最小流量x xi i时，安全率：破坏率：破坏事件(Xx(X100，可由设计频率（横坐标）查得设 计值（纵坐标）第18页/共87页p例：第19页/共87页第20页/共87页3.3 水文经验频率曲线p水文经验累积频率曲线的绘制与局限性2.水文经验累积频率曲线的外
4、延 设计洪水流量都是小频率的特大洪水流量。一般情况下，实测洪水资料的年份有限，为了求设计洪水流量，必须将经验频率曲线外延。经验频率曲线呈S形，两端陡中间平缓。求很小频率的设计流量需向左端上方外延，这样可能产生很大的误差。第21页/共87页3.3 水文经验频率曲线p水文经验累积频率曲线的绘制与局限性2.水文经验累积频率曲线的外延 海森(A.Hazen,1913)频率格纸 主要特点：使正态分布的分布曲线（频率曲线）在坐标纸上呈一条直线。频率为横坐标，以P50为中心对称分格，中间格密而两边渐疏；随机变量（流量、降雨量、潮水位等）为纵坐标，均匀分格或对数分格。第22页/共87页利用实测流量资料推求桥涵
5、的设计流量时，往往需要将频率曲线的头部外延很远，采用海森机率格纸，仍有较大的任意性，同样会产生很大的误差。显然，仍不能满足水文计算的要求，必须进一步寻求绘制和外延频率曲线的方法。第23页/共87页3.3 水文经验频率曲线例：某水文站有22年不连续的年最大流量资料，列于表25第3栏，试绘制该站的经验频率曲线，并目估延长，推求洪水频率为2、1和0.33的流量。把历年的年最大流量资料，按大小递减次序排列，如表25第5栏；采用维泊尔公式计算各项流量的经验频率P，列入表25第6栏。然后，按表中经验频率和流量数值，在海森机率格纸上绘出经验频率点，如图25中的圆点；再依点群的趋势描绘成一条圆滑的曲线，如图中
6、的细实线，就是该水文站的经验频率曲线；将经验频率曲线向上延长(图25中的细虚线)，可由图中直接读出所求洪水频率的流量第24页/共87页第25页/共87页第26页/共87页3.4 统计参数统计参数统计参数反映随机变量的特征反映随机变量的特征均值均值 、中值、中值 、众值、众值数值大小数值大小均方差均方差 、变差系数、变差系数离均程度离均程度偏差系数偏差系数对均值的对称性对均值的对称性第27页/共87页3.4 统计参数均值、中值、众值p1.均值：（1）加权平均法设有一实测系列由x1,x2,xn组成，各个随机变量出现的次数分别为f1,f2,fn,则系列均值为:式中N样本系列的总项数N=f1+f2+f
7、n。（2）算术平均法若实测系列内各随机变量很少重复出现，可以不考虑出现次数的影响，用算术平均法求均值。式中n样本系列的项数。第28页/共87页3.4 统计参数均值、中值、众值p2.模比系数（变率）K系列中各个变量与均值的比值。而且第29页/共87页3.4 统计参数均值、中值、众值p3.中值（中位数）系列中的随机变量为等权时，按大小递减次序排列，位置居于正中间的那个变量。也就是几率为50的变量，恰好平分密度曲线以下的面积。p4.众值系列中出现次数最多的那个变量。也就是系列中几率最大的变量。第30页/共87页第31页/共87页3.4 统计参数均方差、变差系数p1.离均差（离差）：p2.均方差（标准
8、差）离均差平方和的平均数的平方根。对于样本系列应采用下列修正公式仅适用于总体适用于样本第32页/共87页例：甲系列：10 50 90 乙系列：49 50 51 均值都为50。甲40 乙1第33页/共87页3.4 统计参数均方差、变差系数p均值相同，均方差越小，均值的代表性就越强。p均值不同，均方差就不足以说明离散程度的大小。p3.变差系数（离差系数，离势系数）甲地区的年雨量分布，EX11200mm，标准差1360mm；乙地区的年雨量分布，EX2800mm，标准差2320mm。尽管12，但是EX1EX2，应从相对观点来比较这两个分布的离散程度。采用一个无因次的数字（均方差与均值的比值）来衡量分布
9、的相对离散程度，称为变差系数第34页/共87页3变差系数（离差系数，离势系数）或 算得两个地区年雨量的变差系数，CV1360/1200=0.30，CV2=320/8000.40。说明甲地区的年雨量离散程度较乙地区的为小。第35页/共87页3.4 统计参数偏差系数（偏态系数）反映分布对均值是否对称的特征参数，记为C CS S如果不对称，是大于均值的数出现的多,还是小于的多 1.1.当密度曲线对EXEX对称，C CS S0 0，为正态分布；2.2.若不对称，当正离差（离均差）的立方占优时，C CS S0 0，称为正偏（左偏）；3.3.当负离差的立方占优势时，C CS S 0 0，称为负偏（右偏）。
10、适用于总体第36页/共87页第37页/共87页适用于样本第38页/共87页3.5 水文理论频率曲线p1.理论频率曲线根据自然界大量实际资料的频率分布趋势，很多学者建立了一些频率曲线的线形，并选配了相应的数学函数式。这种具有一定数学函数式的频率曲线，习惯上称为理论频率曲线。p2.皮尔逊型曲线理论频率曲线的线形很多，适合于水文现象的也不少。根据我国多年使用经验，认为皮尔逊型曲线（Pearson-)Pearson-)比较符合我国多数地区水文现象的实际情况。水文理论频率曲线第39页/共87页p2.皮尔逊型曲线 是类似于铃形的曲线，这种曲线有两个特点：（1）只有一个众数；（2）曲线的两端或一端以横轴为渐
11、近线。第40页/共87页式中三个参数与总体 的关系皮尔逊型频率密度曲线：实际上第41页/共87页皮尔逊型频率曲线：式中：xP频率为P的随机变量设计值；P离均系数，可查离均系数表，见附录2；KP模比系数，皮尔逊型频率曲线的方程：第42页/共87页皮尔逊型频率曲线的参数Cs物理条件：a0总体最小值，xmin样本最小值注意：当Cs2时，皮尔逊型频率曲线将不呈铃形而为单调的乙字形第43页/共87页第44页/共87页第45页/共87页第46页/共87页3.5 水文理论频率曲线p1.矩法水文理论频率曲线的参数估计（1 1）样本的均值）样本的均值X X，它与总体均值相对应，即，它与总体均值相对应，即（2 2
12、）样本标准差）样本标准差S S 与总体标准差与总体标准差相对应，即相对应，即（3 3）样本离势系数）样本离势系数CvCv与总体离势系数相对应，即与总体离势系数相对应，即 （4 4）样本偏态系数）样本偏态系数C CS S，与总体参数偏态系数相对应，即与总体参数偏态系数相对应，即 只要掌握了样本，借助上列公式估计出参数；就可推出只要掌握了样本，借助上列公式估计出参数；就可推出概率分布曲线，这种方法叫做矩法。概率分布曲线，这种方法叫做矩法。第47页/共87页 原矩法公式得出的原矩法公式得出的S S、CVCV 、和和C CS S 并不是无偏估计并不是无偏估计量，目前水文上采用的是经修正后的矩法公式量，
13、目前水文上采用的是经修正后的矩法公式:第48页/共87页3.5 水文理论频率曲线p2.三点法水文理论频率曲线的参数估计S偏度系数。S-P1、P2、P3Cs，见附录3。第49页/共87页p2.三点法第50页/共87页p2.三点法（其他推导方法）第51页/共87页 由样本参数估计总体参数总会出现误差，称为抽样误差。例如，就样本平均值而言，各个样本平均值的抽样误差当然是不同的，有的大，有的小。由于EXEX是未知的，对某一样本平均值的抽样误差无法求得。样本平均数的抽样误差与其样本平均数抽样分布有关，其大小可以用表征抽样分布离散程度的均方差x x来度量，称样本平均值的均方差。3.6 抽样误差与相关分析抽
14、样误差第52页/共87页 以上以上对样本平均数抽本平均数抽样误差的差的讨论，其基本原，其基本原则完全适用于其他完全适用于其他样本参数。据本参数。据统计理理论，可推，可推导出各参数出各参数均方均方误（均方差）（均方差）的公式，它与的公式，它与总体分布体分布有关。有关。第53页/共87页第54页/共87页 样本参数的均方误差（相对误差，%）由表中可见，由表中可见，C CS S的误差很大。当的误差很大。当n n100100时，时，C CS S的误差的误差在在40%40%126%126%之间。之间。n n1010时，则在时，则在126%126%以上，超出了以上，超出了C CS S本身的数值。水文资料一
15、般都很短（本身的数值。水文资料一般都很短（n n100100）可见直接）可见直接由资料按矩法公式算得的由资料按矩法公式算得的C CS S值，抽样误差太大。值，抽样误差太大。第55页/共87页 推求桥涵水文设计变量时，一般认为需要的样本容量 参数参数 需要的样本容量需要的样本容量n 1020 2030 100说明：由于目前我国水文样本资料系列一般在3050年左右，少于100年，直接用矩法计算Cs的相对均方误太大，不能满足实际工程设计的要求。因此在实际水文设计中，一般是广泛采用适线法估计皮尔逊型频率曲线的参数，也就是用矩法、三点法等确定初选参数 、，而 一般不计算，而是假定C Cs s为C Cv
16、v的某一倍数。第56页/共87页相关分析相关分析 自然界中有许多现象并非各自独立，其相互间往往存在着一定的联系。例如，气温与蒸发、降雨与径流、水位与流量、上下游水位（或流量）等都是有联系的。这种现象之间的联系在解决水文分析问题中经常被用到。这是由于在水文分析中，常常遇到某一种现象的资料很少，一旦与其有关的另一种现象的资料项数却很多，我们就可以通过这两种现象之间的关系，利用长系列资料展延（或内插）短系列资料。这种关系的推求在数理统计中是用相关计算这个工具。第57页/共87页相关分析相关分析 自然界中有许多现象之间是有一定联系的。按数理统计法建立上述两个或多个随机变量之间的联系，称之为近似关系或相
17、关关系。把对这种关系的分析和建立称为相关分析。相关分析可以用来延长和插补短系列。根据变量之间相互关系的密切程度，变量之间的关系有三种情况：即p相关关系1.完全相关2.零相关3.统计相关第58页/共87页相关关系完全相关零相关统计相关简单相关复相关直线相关曲线相关正相关负相关 若两个变量之间的关系界于完全相关和零相关之间，则称为统计相关。当只研究两个变量的相关关系时，称为简单相关；当研究3个或3个以上变量的相关关系时，则称为复相关。在相关的形式上，又可分为直线相关和非直线相关.第59页/共87页 相关分析（或回归分析）的内容一般包括三个方面：（1 1）判定变量间是否存在相关关系，若存在，计算其相
18、关系数，以判断相关的密切程度；（2 2）确定变量间的数量关系回归方程或相关线；（3 3）根据自变量的值，预报或延长、插补因变量的值，并对该估计值进行误差分析。第60页/共87页一、简直直线相关一、简直直线相关 1.相关图解法 设x xi i 和y yi i 代表两系列的观测值，共有n n 对，把对应值点绘于方格纸上，得到很多相关点。如果相关点的平均趋势近似直线，即可通过点群中间点绘出相关直线。有了这条相关线，就可以利用长系列资料来延长另一短系列资料。相关图解法解析法p分析方法第61页/共87页2相关计算法（解析法）为避免相关图解法在定线上的任意性，常采用相关计算法来确定相关线的方程，即回归方程
19、。简单直线相关方程的形式为:y=a+bx y=a+bx 式中 x x 自变量；y y 因变量；a a、b b 待定常数。待定常数a a、b b 由观测点与直线拟合最佳，通过最小二乘法进行估计。第62页/共87页相关系数r的性质和意义p表示了变量系列之间的相关程度 r=0 零相关 r=1 完全相关 0r0.8；3 3）第63页/共87页水文资料系列的审查p适线法：由于样本和总体之间的差异性，致使Pearson理论频率曲线与经验频率点群偏离较大。通过调整统计参数Cv、Cs值，能够选配一条与经验频率点群拟合最好的理论频率曲线，然后，依据设计洪水频率，推算设计流量。3.7 水文频率计算适线法可靠性一致
20、性p资料审查代表性独立性第64页/共87页p(1)资料的可靠性：即鉴定资料的可靠程度。应从资料来源、资料的测验和整编方法有无问题、刊印是否有误进行检查，可以通过上下游或干、支流水量平衡，流域年降水量等检查，数据是否合理。p(2)资料的一致性：一般认为，影响年最大流量的流域气候条件在短期内是相对稳定的；资料的一致性主要分析流域内下垫面条件是否稳定。否则，资料的一致性将遭到破坏。例如，设计断面上游修建了大型引水工程后，使设计断面资料一致性遭到破坏，必须对资料修正后方可进行计算。p(3)资料的代表性：是指资料是否包括了丰水年、平水年和枯水年，若代表性差，就不能很好地反映总体的规律，统计计算结果的实际
21、误差就大，为了提高资料的代表性，应尽可能展延径流系列的长度。p(4)资料的独立性：系列中的变量必须相互独立。资料的审查内容如下：第65页/共87页水文频率计算适线法的计算步骤p具体步骤如下：1.将实测资料由大到小排列，计算各项的经验频率，在频率格纸上点绘经验点据（纵坐标为变量的取值，横坐标为对应的经验频率）。2.选定水文频率分布线型（一般选用皮尔逊型）。3.先采用矩法或三点法估计出频率曲线参数的初估值、Cv，而Cs凭经验初选为Cv的倍数。4.根据拟定的、Cv和Cs，查附表2或附表3，计算xP值。以xP为纵坐标，P为横坐标，即可得到频率曲线。将此线画在绘有经验点据的图上，看与经验点据配合的情况。
22、若不理想，可通过调整参数（主要调整Cv和Cs），再次进行计算，重新适线。5.最后根据频率曲线与经验点据的配合情况，从中选出一条与经验点据配合较好的曲线作为采用曲线，相应于该曲线的参数便看作是总体参数的估值。6.求指定频率的水文变量设计值。第66页/共87页水文频率计算适线法的计算步骤经验频率的计算假定CS=KCV判断理论频率曲线与经验频率点的配合情况经验频率曲线适线初始参数的计算理论频率线型的确定理论频率曲线的绘制理论频率曲线的确定即总体统计参数的确定好不好第67页/共87页p点评：适线法得到的结果仍具有抽样误差，而这种误差目前还难以精确估算。因此对于工程上最终采用的频率曲线及其相应的统计参数
23、，不仅要从水文统计方面分析，而且还要密切结合水文现象的物理成因及地区分布规律进行综合分析。第68页/共87页水文频率计算适线法的若干问题讨论p1.统计参数对皮尔逊型频率曲线的影响图3.14 均值对频率曲线的影响第69页/共87页 p为了避免修改参数的盲目性，需要了解参数对频率曲线的影响。由频率曲线图可明显看出，C CV V值愈大，曲线愈陡。p若曲线左端偏低而右端偏高，则应增大C CV V值。图3.15 变差系数Cv对频率曲线的影响第70页/共87页图316 偏态系数Cs对频率曲线的影响p由频率曲线图可明显看出，当C CS S增大时，曲线上段变陡而下段趋于平缓。若理论频率曲线左端和右端都偏低，则
24、应增大C CS S p配线法采用了概率格纸，以正态分布曲线成直线来划分概率坐标的。当C CS S0 0，频率曲线在概率纸上为一直线。其特点是横坐标的两端分格较稀而中间较密，纵坐标为均匀分格或对数分格。这样，曲线两端的坡度变缓，使用起来比较方便。第71页/共87页水文频率计算适线法的若干问题讨论p2.不连序系列的水文频率分析方法连序系列（系列中没有特大洪水值）不连序系列（系列中有特大洪水值）根据有无特大洪水第72页/共87页p设某河流断面的实测年最大洪峰流量资料系列为 x1,x2,xn，其中有a2个特大洪水值。在调查考证的N年内发现另有a1个历史洪水为特大洪水。(1)不连序系列的经验频率计算一般
25、洪水系列的经验频率计算m一般洪水递减排列序号，m=a2+1，.，npN其中最大的特大洪水值的重现期；n实测系列的年数。Nn第73页/共87页水文频率计算适线法的若干问题讨论p2.不连序系列的水文频率分析方法(1)不连序系列的经验频率计算一般洪水系列的经验频率计算m一般洪水递减排列序号，m=a2+1，.，n特大洪水的经验频率计算M特大洪水递减排列序号，M=1，2，.，a1+a2N调查考证期的总年数。N=T2-T1+1(2)用矩法初估不连序系列的参数第74页/共87页p通常假定整个调查考证期内的N-a1-a2个一般洪水的均值和标准差，分别与实测洪水资料系列中 n-a2个一般洪水的均值和标准差相等，
26、即水文频率计算适线法的若干问题讨论p2.不连序系列的水文频率分析方法第75页/共87页第76页/共87页3.8 桥位设计计算系统(QW1.0)简介近10年来，公路及桥梁勘测设计广泛地应用了电子计算机技术。由长安大学公路学院高冬光于2002年开发完成并通过测试，已在一些部、省级设计院使用，应用该软件，使复杂的水文水力计算和桥梁、涵洞勘测设计 全面系统地由计算机完成。下面通过实例来介绍该系统。第77页/共87页例1：有n32年的连续年最大流量系列。试用求矩适线法，确定其统计参数 ，推算洪水频率为2、1和0.33的流量。第78页/共87页第79页/共87页第80页/共87页例2：某一级公路拟建一座大
27、桥。桥位上游附近的一个水文站，能搜集到14年断续的流量观测资料，经插补和延长，获得1963年至1982年连续20年的年最大流量资料；又通过洪水调查和文献考证，得到1784年、1880年、1948年和1955年连续系列前四次特大洪水；1975年在实测期内也出现过一次特大洪水。试用求矩适线法，确定其统计参数 ，推算洪水频率为2、1和0.33的流量。解：a1=4，a2=1；a=a1+a2=5 n=1982-1963+1=20；m=2,.,20 N=1982-1784+1=199年 M=1,5第81页/共87页(1)不连序系列的经验频率计算一般洪水系列的经验频率计算m=a2+1，.，n；特大洪水的经验频率计算M=1，2，.，a1+a2m=2，.，20M=1，2，.，5第82页/共87页第83页/共87页第84页/共87页应用求矩适线法确定采用的统计参数和理论频率曲线：1）试取 Cv=0.34，Cs=4Cv=1.36适线比较：p20，频率曲线符合较好；p20，频率曲线偏低。2）试取 Cv=0.36，Cs=0.90，适线比较：理论频率曲线与点群整体分布较好；理论频率曲线与5个特大值吻合较好，取此参数 作为采用值第85页/共87页第86页/共87页感谢您的观看。第87页/共87页