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1、会计学1桥涵水文桥涵水文(shuwn)水文水文(shuwn)统计基统计基本原理与方法本原理与方法第一页，共87页。p随机变量：表示随机事件各次试验结果随机变量：表示随机事件各次试验结果(jigu)的实数值变量。的实数值变量。p随机变量随机变量(sujbinlin)分类分类1.连续型随机变量连续型随机变量(sujbinlin)2.离散型随机变量离散型随机变量p随机变量系列（系列）：随机变量可以取的一系列数值。随机变量系列（系列）：随机变量可以取的一系列数值。大多数水文现象大多数水文现象第1页/共87页第二页，共87页。3.1 3.1 概率概率概率概率(gil(gil)统计理论基础统计理论基础统计
2、理论基础统计理论基础总体总体(zngt)和样本和样本p2.样本：从总体中随机样本：从总体中随机(suj)抽取的一部分试验结果抽取的一部分试验结果值，称为随机值，称为随机(suj)变量的样本。变量的样本。p总体分类总体分类1.有限总体有限总体2.无限总体无限总体p1.总体总体：随机变量所有可取试验结果的全体。：随机变量所有可取试验结果的全体。p样本容量：样本的数目。样本容量：样本的数目。p抽样：从总体中抽取样本。抽样：从总体中抽取样本。大多数水文现象的总体大多数水文现象的总体第2页/共87页第三页，共87页。3.1 3.1 概率概率概率概率(gil(gil)统计理论基础统计理论基础统计理论基础统
3、计理论基础概率概率(gil)与频率与频率式中：式中：m随机事件随机事件A出现的总次数出现的总次数(csh)。n试验结果的总数。试验结果的总数。p简单随机事件：若试验的可能结果是有限的，而且所有简单随机事件：若试验的可能结果是有限的，而且所有事件出现的可能性都相等。事件出现的可能性都相等。p1.概率概率（机率、几率）：随机变量（机率、几率）：随机变量X取值的可能性。取值的可能性。p2.频率频率：在：在n次重复的随机试验中，事件次重复的随机试验中，事件A实际出现实际出现的次数的次数f与试验总次数与试验总次数n的比值，称为事件的比值，称为事件A的频率。的频率。简单随机事件的概率：简单随机事件的概率：
4、第3页/共87页第四页，共87页。3.1 3.1 概率统计理论概率统计理论概率统计理论概率统计理论(l(l ln)ln)基础基础基础基础概率概率(gil)probability与频率与频率frequencyp用实测样本的频率特性来分析用实测样本的频率特性来分析(fnx)推论事件总体推论事件总体的概率特性，是数理统计方法的基本原理。的概率特性，是数理统计方法的基本原理。第4页/共87页第五页，共87页。3.1 3.1 概率统计理论概率统计理论概率统计理论概率统计理论(l(l ln)ln)基础基础基础基础累积累积(lij)频率与重现期频率与重现期p1.累积累积(lij)频率：在频率：在n次重复随机
5、试验中，大于等于次重复随机试验中，大于等于某量值累计出现的次数与总次数的比值。某量值累计出现的次数与总次数的比值。第5页/共87页第六页，共87页。n n破坏破坏(phui)率：建筑物每年遭率：建筑物每年遭到洪水破坏到洪水破坏(phui)的可能性。的可能性。Pn n 安全率：建筑物每年正常运行安全率：建筑物每年正常运行的可能性。的可能性。1Pn n保证率：在保证率：在n年内保持正常运行年内保持正常运行的可能性。的可能性。(1-P)nn n 风险率：在风险率：在n年内遭到破坏年内遭到破坏(phui)的可能性。的可能性。1(1-P)n累积累积(lij)频率与重现期频率与重现期p2.重现期：水文破坏
6、事件在长时期观测中可能再现重现期：水文破坏事件在长时期观测中可能再现(zixin)的平均时间间隔，单位为年。的平均时间间隔，单位为年。第6页/共87页第七页，共87页。n n当确定设计洪峰流量或水位当确定设计洪峰流量或水位xi时，时，n n 破坏率：破坏率：n n 破坏事件破坏事件(shjin)(Xxi)的的重现期：重现期：累积累积(lij)频率与重现期频率与重现期p当确定设计枯水位或年最小流量当确定设计枯水位或年最小流量xi时，时，p安全率：安全率：p破坏破坏(phui)率：率：p破坏破坏(phui)事件事件(X100，可由设计频，可由设计频率（横坐标）查得设率（横坐标）查得设n n 计值（
7、纵坐标）计值（纵坐标）第18页/共87页第十九页，共87页。p例：例：第19页/共87页第二十页，共87页。第20页/共87页第二十一页，共87页。3.3 3.3 水文经验频率水文经验频率水文经验频率水文经验频率(pnl(pnl)曲线曲线曲线曲线p水文经验水文经验(jngyn)累积频率曲线的绘制与局限性累积频率曲线的绘制与局限性n n2.水文经验累积频率曲线的外延水文经验累积频率曲线的外延n n 设计洪水流量都是小频率的设计洪水流量都是小频率的特大洪水流量。一般情况下，特大洪水流量。一般情况下，实测洪水资料的年份有限，为实测洪水资料的年份有限，为了求设计洪水流量，必须将经了求设计洪水流量，必须
8、将经验频率曲线外延。验频率曲线外延。n n 经验频率曲线呈经验频率曲线呈S形，两端形，两端陡中间陡中间(zhngjin)平缓。求很平缓。求很小频率的设计流量需向左端上小频率的设计流量需向左端上方外延，这样可能产生很大的方外延，这样可能产生很大的误差。误差。n n 第21页/共87页第二十二页，共87页。3.3 3.3 水文经验频率水文经验频率水文经验频率水文经验频率(pnl(pnl)曲线曲线曲线曲线p水文经验水文经验(jngyn)累积频率曲线的绘制与局限性累积频率曲线的绘制与局限性n n2.水文经验累积频率曲线的外延水文经验累积频率曲线的外延n n 海森海森(A.Hazen,1913)频率格纸
9、频率格纸n n 主要特点：使正态分布的分主要特点：使正态分布的分布曲线（频率曲线）在坐标纸布曲线（频率曲线）在坐标纸上呈一条直线。上呈一条直线。n n 频率为横坐标，以频率为横坐标，以P50为中心对称分格，中间格密而为中心对称分格，中间格密而两边渐疏；两边渐疏；n n 随机变量（流量、降雨量、随机变量（流量、降雨量、潮水位等）为纵坐标，均匀潮水位等）为纵坐标，均匀(jnyn)分格或对数分格。分格或对数分格。n n 第22页/共87页第二十三页，共87页。n n利用实测流量资料推利用实测流量资料推利用实测流量资料推利用实测流量资料推求桥涵的设计流量时，求桥涵的设计流量时，求桥涵的设计流量时，求桥
10、涵的设计流量时，往往需要将频率曲线往往需要将频率曲线往往需要将频率曲线往往需要将频率曲线的头部外延的头部外延的头部外延的头部外延(wiyn)(wiyn)很远，采用海森机率很远，采用海森机率很远，采用海森机率很远，采用海森机率格纸，仍有较大的任格纸，仍有较大的任格纸，仍有较大的任格纸，仍有较大的任意性，同样会产生很意性，同样会产生很意性，同样会产生很意性，同样会产生很大的误差。大的误差。大的误差。大的误差。n n显然，仍不能满足水显然，仍不能满足水显然，仍不能满足水显然，仍不能满足水文计算的要求，必须文计算的要求，必须文计算的要求，必须文计算的要求，必须进一步寻求绘制和外进一步寻求绘制和外进一步
11、寻求绘制和外进一步寻求绘制和外延延延延(wiyn)(wiyn)频率曲线频率曲线频率曲线频率曲线的方法。的方法。的方法。的方法。第23页/共87页第二十四页，共87页。3.3 3.3 水文经验水文经验水文经验水文经验(jngyn)(jngyn)频率曲线频率曲线频率曲线频率曲线n n例：某水文站有例：某水文站有例：某水文站有例：某水文站有2222年不连续的年最大流量资料，列于表年不连续的年最大流量资料，列于表年不连续的年最大流量资料，列于表年不连续的年最大流量资料，列于表2525第第第第3 3栏，栏，栏，栏，试绘制该站的经验频率曲线试绘制该站的经验频率曲线试绘制该站的经验频率曲线试绘制该站的经验频
12、率曲线(qxin)(qxin)，并目估延长，推求洪水频率，并目估延长，推求洪水频率，并目估延长，推求洪水频率，并目估延长，推求洪水频率为为为为2 2、1 1和和和和0.330.33的流量。的流量。的流量。的流量。n n把历年的年最大流量资料，按大小递减次序排列，如表把历年的年最大流量资料，按大小递减次序排列，如表把历年的年最大流量资料，按大小递减次序排列，如表把历年的年最大流量资料，按大小递减次序排列，如表2 25 5第第第第5 5栏；栏；栏；栏；n n采用维泊尔公式计算各项流量的经验频率采用维泊尔公式计算各项流量的经验频率采用维泊尔公式计算各项流量的经验频率采用维泊尔公式计算各项流量的经验频
13、率P P，列入表，列入表，列入表，列入表2525第第第第6 6栏。栏。栏。栏。n n然后，按表中经验频率和流量数值，在海森机率格纸上绘出经验然后，按表中经验频率和流量数值，在海森机率格纸上绘出经验然后，按表中经验频率和流量数值，在海森机率格纸上绘出经验然后，按表中经验频率和流量数值，在海森机率格纸上绘出经验频率点，如图频率点，如图频率点，如图频率点，如图2525中的圆点；中的圆点；中的圆点；中的圆点；n n再依点群的趋势描绘成一条圆滑的曲线再依点群的趋势描绘成一条圆滑的曲线再依点群的趋势描绘成一条圆滑的曲线再依点群的趋势描绘成一条圆滑的曲线(qxin)(qxin)，如图中的细实，如图中的细实，
14、如图中的细实，如图中的细实线，就是该水文站的经验频率曲线线，就是该水文站的经验频率曲线线，就是该水文站的经验频率曲线线，就是该水文站的经验频率曲线(qxin)(qxin)；n n将经验频率曲线将经验频率曲线将经验频率曲线将经验频率曲线(qxin)(qxin)向上延长向上延长向上延长向上延长(图图图图2 25 5中的细虚线中的细虚线中的细虚线中的细虚线)，可由图，可由图，可由图，可由图中直接读出所求洪水频率的流量中直接读出所求洪水频率的流量中直接读出所求洪水频率的流量中直接读出所求洪水频率的流量第24页/共87页第二十五页，共87页。第25页/共87页第二十六页，共87页。第26页/共87页第二
15、十七页，共87页。3.4 3.4 统计统计统计统计(t(t ngj)ngj)参数参数参数参数统计参数统计参数反映随机变量的特征反映随机变量的特征均值均值 、中值、中值 、众值、众值数值大小数值大小均方差均方差 、变差系数、变差系数离均程度离均程度偏差系数偏差系数对均值的对称性对均值的对称性第27页/共87页第二十八页，共87页。3.4 3.4 统计统计统计统计(t(t ngj)ngj)参数参数参数参数均值均值(jn zh)、中值、众值、中值、众值p1.均值：均值：p（1）加权平均法）加权平均法p设有一实测设有一实测(shc)系列由系列由x1,x2,xn组成，组成，各个随机变量出现的次数分别为各
16、个随机变量出现的次数分别为f1,f2,fn,则系则系列均值为列均值为:p式中式中N样本系列的总项数样本系列的总项数N=f1+f2+fn。p（2）算术平均法）算术平均法p若实测若实测(shc)系列内各随机变量很少重复系列内各随机变量很少重复出现，可以不考虑出现次数的影响，用算术平均出现，可以不考虑出现次数的影响，用算术平均法求均值。法求均值。p式中式中n样本系列的项数。样本系列的项数。第28页/共87页第二十九页，共87页。3.4 3.4 统计统计统计统计(t(t ngj)ngj)参数参数参数参数均值均值(jn zh)、中值、众值、中值、众值p2.模比系数（变率）模比系数（变率）Kp系列中各个系
17、列中各个(gg)变量与均值的比值。变量与均值的比值。p而且而且第29页/共87页第三十页，共87页。3.4 3.4 统计统计统计统计(t(t ngj)ngj)参数参数参数参数均值均值(jn zh)、中值、众值、中值、众值p3.中值（中位数）中值（中位数）p系列中的随机变量系列中的随机变量(binling)为等权时，按为等权时，按大小递减次序排列，位置居于正中间的那个变量大小递减次序排列，位置居于正中间的那个变量(binling)。p也就是几率为也就是几率为50的变量的变量(binling)，恰好，恰好平分密度曲线以下的面积。平分密度曲线以下的面积。p4.众值众值系列中系列中出现次数最多出现次数
18、最多的那个变量。的那个变量。也就是系列中也就是系列中几率最大几率最大的变量。的变量。第30页/共87页第三十一页，共87页。第31页/共87页第三十二页，共87页。3.4 3.4 统计统计统计统计(t(t ngj)ngj)参数参数参数参数均方差均方差(fn ch)、变差系数、变差系数p1.离均差离均差(jnch)（离差）：（离差）：p2.均方差（标准差）均方差（标准差）离均差平方和的平均数的平方根。离均差平方和的平均数的平方根。对于对于样本样本系列应采用下列修正公式系列应采用下列修正公式仅适用于总体仅适用于总体适用于样本适用于样本第32页/共87页第三十三页，共87页。n n例：甲系列例：甲系
19、列(xli)：10 50 90n n 乙系列乙系列(xli)：49 50 51n n 均值都为均值都为50。n n 甲甲40n n 乙乙1第33页/共87页第三十四页，共87页。3.4 3.4 统计统计统计统计(t(t ngj)ngj)参数参数参数参数均方差均方差(fn ch)、变差系数、变差系数p均值相同，均方差越小，均值的代表性就越强。均值相同，均方差越小，均值的代表性就越强。p均值不同，均方差就不足以说明离散程度均值不同，均方差就不足以说明离散程度(chngd)的大小。的大小。p3.变差系数（离差系数，离势系数）变差系数（离差系数，离势系数）甲地区的年雨量分布，甲地区的年雨量分布，EX1
20、1200mm，标准差，标准差1360mm；乙地区的年雨量分布，；乙地区的年雨量分布，EX2800mm，标准差，标准差2320mm。尽管。尽管12，但是，但是EX1EX2，应从相对观点来比较这两个分布的离散程度。，应从相对观点来比较这两个分布的离散程度。采用一个无因次的数字（采用一个无因次的数字（均方差与均值的比值均方差与均值的比值）来）来衡量分布的相对离散程度，称为衡量分布的相对离散程度，称为变差系数变差系数第34页/共87页第三十五页，共87页。n n3变差系数（离差系数，离势变差系数（离差系数，离势系数）系数）n n 或或n n 算得两个算得两个(lin)地区年雨量地区年雨量的变差系数，的
21、变差系数，CV1360/1200=0.30，CV2=320/8000.40。说明甲地区的年雨量。说明甲地区的年雨量离散程度较乙地区的为小。离散程度较乙地区的为小。第35页/共87页第三十六页，共87页。3.4 3.4 统计统计统计统计(t(t ngj)ngj)参数参数参数参数偏差偏差(pinch)系数（偏态系数）系数（偏态系数）反映分布对均值是否对称的特征参数，记为反映分布对均值是否对称的特征参数，记为CSCS如如果果(rgu)(rgu)不对称，是大于均值的数出现的多不对称，是大于均值的数出现的多,还是还是小于的多小于的多 1.1.当密度曲线对当密度曲线对EXEX对称，对称，CSCS0 0，为
22、正态分布；，为正态分布；2.2.若不对称，当正离差（离均差）的立方占优时，若不对称，当正离差（离均差）的立方占优时，CSCS0 0，称为正偏（左偏）；，称为正偏（左偏）；3.3.当负离差的立方占优势时，当负离差的立方占优势时，CSCS 0 0，称为负偏（右，称为负偏（右偏）。偏）。适用于总体适用于总体第36页/共87页第三十七页，共87页。第37页/共87页第三十八页，共87页。适用适用(shyng)于样本于样本第38页/共87页第三十九页，共87页。3.5 3.5 水文水文水文水文(shu(shu wn)wn)理论频率曲线理论频率曲线理论频率曲线理论频率曲线p1.理论频率理论频率(pnl)曲
23、线曲线p根据自然界大量实际资料的频率根据自然界大量实际资料的频率(pnl)分布趋分布趋势，很多学者建立了一些频率势，很多学者建立了一些频率(pnl)曲线的线形，曲线的线形，并选配了相应的数学函数式。这种具有一定数学函并选配了相应的数学函数式。这种具有一定数学函数式的频率数式的频率(pnl)曲线，习惯上称为理论频率曲线，习惯上称为理论频率(pnl)曲线。曲线。p2.皮尔逊皮尔逊型曲线型曲线p理论理论(lln)频率曲线的线形很多，适合于水文频率曲线的线形很多，适合于水文现象的也不少。根据我国多年使用经验，认为皮尔现象的也不少。根据我国多年使用经验，认为皮尔逊逊型曲线（型曲线（Pearson-)比较
24、符合我国多数地区比较符合我国多数地区水文现象的实际情况。水文现象的实际情况。水文理论频率曲线水文理论频率曲线第39页/共87页第四十页，共87页。p2.皮尔逊皮尔逊型曲线型曲线p是类似于铃形的曲线，这种曲线有两个特点：是类似于铃形的曲线，这种曲线有两个特点：p（1）只有）只有(zhyu)一个众数；一个众数；p（2）曲线的两端或一端以横轴为渐近线。）曲线的两端或一端以横轴为渐近线。第40页/共87页第四十一页，共87页。式中三个参数与总体式中三个参数与总体(zngt)的关的关系系皮尔逊皮尔逊型频率型频率(pnl)密度曲线：密度曲线：实际上实际上第41页/共87页第四十二页，共87页。皮尔逊皮尔逊
25、型频率型频率(pnl)曲线：曲线：式中：式中：xP频率为频率为P的随机变量设计的随机变量设计(shj)值；值；P离均系数，离均系数，可查离均系数表，见附录可查离均系数表，见附录2；KP模比系数，模比系数，皮尔逊皮尔逊型频率曲线型频率曲线(qxin)的方程：的方程：第42页/共87页第四十三页，共87页。皮尔逊皮尔逊型频率曲线的参数型频率曲线的参数(cnsh)Cs物理条件：物理条件：a0总体总体(zngt)最小值，最小值，xmin样本最小样本最小值值注意：当注意：当Cs2时，时，皮尔逊皮尔逊型频率曲线型频率曲线(qxin)将不呈铃形而为单调将不呈铃形而为单调的乙字形的乙字形第43页/共87页第四
26、十四页，共87页。第44页/共87页第四十五页，共87页。第45页/共87页第四十六页，共87页。第46页/共87页第四十七页，共87页。3.5 3.5 水文水文水文水文(shu(shu wn)wn)理论频率曲线理论频率曲线理论频率曲线理论频率曲线p1.矩法矩法水文水文(shuwn)理论频率曲线的参理论频率曲线的参数估计数估计（1 1）样本的均值）样本的均值(jn zh)X(jn zh)X，它与总体均值，它与总体均值(jn zh)(jn zh)相对应，即相对应，即（2 2）样本标准差）样本标准差S S 与总体标准差与总体标准差相对应，即相对应，即（3 3）样本离势系数）样本离势系数CvCv与总
27、体离势系数相对应，即与总体离势系数相对应，即 （4 4）样本偏态系数）样本偏态系数CSCS，与总体参数偏态系数相对应，即，与总体参数偏态系数相对应，即 只要掌握了样本，借助上列公式估计出参数；就可推出概率分只要掌握了样本，借助上列公式估计出参数；就可推出概率分布曲线，这种方法叫做矩法。布曲线，这种方法叫做矩法。第47页/共87页第四十八页，共87页。原矩法公式原矩法公式(gngsh)得出的得出的S、CV、和、和CS 并不是无偏估并不是无偏估计计量，目前水文上采用的是量，目前水文上采用的是经经修正后的矩法公式修正后的矩法公式(gngsh):第48页/共87页第四十九页，共87页。3.5 3.5
28、水文理论水文理论水文理论水文理论(l(l ln)ln)频率曲线频率曲线频率曲线频率曲线p2.三点三点(sndin)法法水文理论频率水文理论频率(pnl)曲线的参数曲线的参数估计估计S偏度系数偏度系数。S-P1、P2、P3Cs，见附录，见附录3。第49页/共87页第五十页，共87页。p2.三点三点(sndin)法法第50页/共87页第五十一页，共87页。p2.三点法（其他推导三点法（其他推导(tudo)方法）方法）第51页/共87页第五十二页，共87页。由样本参数估计总体参数总会出现误差由样本参数估计总体参数总会出现误差(wch)(wch)，称为抽，称为抽样误差样误差(wch)(wch)。例如，
29、就样本平均值而言，各个样本平均值的抽样误差例如，就样本平均值而言，各个样本平均值的抽样误差(wch)(wch)当然是不同的，有的大，有的小。由于当然是不同的，有的大，有的小。由于EXEX是未知的，是未知的，对某一样本平均值的抽样误差对某一样本平均值的抽样误差(wch)(wch)无法求得。无法求得。样本平均数的抽样误差样本平均数的抽样误差(wch)(wch)与其样本平均数抽样分布与其样本平均数抽样分布有关，其大小可以用表征抽样分布离散程度的均方差有关，其大小可以用表征抽样分布离散程度的均方差xx来度来度量，称样本平均值的均方差。量，称样本平均值的均方差。3.6 3.6 抽样误差与相关抽样误差与相
30、关抽样误差与相关抽样误差与相关(xinggun)(xinggun)分析分析分析分析抽样误差抽样误差第52页/共87页第五十三页，共87页。以上以上对样对样本平均数抽本平均数抽样误样误差的差的讨论讨论，其基本原，其基本原则则完全完全适用于其他适用于其他样样本参数。据本参数。据统计统计理理论论，可推，可推导导出各参数均方出各参数均方误误（均方差）的公式，它与（均方差）的公式，它与总总体体(zngt)(zngt)分布有关。分布有关。第53页/共87页第五十四页，共87页。第54页/共87页第五十五页，共87页。样本参数(cnsh)的均方误差（相对误差，%）由表中可由表中可见见，CSCS的的误误差很大
31、。当差很大。当n n100100时时，CSCS的的误误差在差在40%40%126%126%之之间间。n n1010时时，则则在在126%126%以上，超出了以上，超出了CSCS本身的数本身的数值值(shz)(shz)。水文。水文资资料一般都很短（料一般都很短（n n100100）可）可见见直接由直接由资资料按矩法公料按矩法公式算得的式算得的CSCS值值，抽，抽样误样误差太大。差太大。第55页/共87页第五十六页，共87页。推求桥涵水文设计推求桥涵水文设计推求桥涵水文设计推求桥涵水文设计(shj)(shj)变量时，一般认为需要的样本容量变量时，一般认为需要的样本容量变量时，一般认为需要的样本容量
32、变量时，一般认为需要的样本容量 参数参数 需要的样本容量需要的样本容量n 1020 2030 100说明：由于说明：由于(yuy)目前我国水文样本资料系列一般在目前我国水文样本资料系列一般在3050年左右，少于年左右，少于100年，直接用矩法计算年，直接用矩法计算Cs的相对均方误的相对均方误太大，不能满足实际工程设计的要求。太大，不能满足实际工程设计的要求。因此在实际水文设计中，一般是广泛采用适线法估计皮因此在实际水文设计中，一般是广泛采用适线法估计皮尔逊尔逊型频率曲线的参数，也就是用矩法、三点法等确定型频率曲线的参数，也就是用矩法、三点法等确定初选参数初选参数、，而，而一般不计算，而是假定一
33、般不计算，而是假定Cs为为Cv的某的某一倍数。一倍数。第56页/共87页第五十七页，共87页。相关相关相关相关(xinggun)(xinggun)分析分析分析分析 自然界中有许多现象并非各自然界中有许多现象并非各自独立，其相互间往往存在着自独立，其相互间往往存在着一定的联系。一定的联系。例如，气温与蒸发、降雨与例如，气温与蒸发、降雨与径流、水位与流量、上下游水径流、水位与流量、上下游水位（或流量）等都是有联系的。位（或流量）等都是有联系的。这种现象之间的联系在解决这种现象之间的联系在解决水文分析问题中经常被用到。水文分析问题中经常被用到。这是由于在水文分析中，常常这是由于在水文分析中，常常遇到
34、某一种现象的资料很少，遇到某一种现象的资料很少，一旦与其有关的另一种现象的一旦与其有关的另一种现象的资料项数却很多，我们就可以资料项数却很多，我们就可以通过这两种现象之间的关系通过这两种现象之间的关系(gun x)，利用长系列资料展延，利用长系列资料展延（或内插）短系列资料。这种（或内插）短系列资料。这种关系关系(gun x)的推求在数理统计的推求在数理统计中是用相关计算这个工具。中是用相关计算这个工具。第57页/共87页第五十八页，共87页。相关相关相关相关(xinggun)(xinggun)分析分析分析分析 自然界中有许多现象之间是自然界中有许多现象之间是有一定联系的。按数理统计有一定联系
35、的。按数理统计(sh l tn j)法建立上述两个或多法建立上述两个或多个随机变量之间的联系，称之个随机变量之间的联系，称之为近似关系或相关关系。把对为近似关系或相关关系。把对这种关系的分析和建立称为相这种关系的分析和建立称为相关分析。相关分析可以用来延关分析。相关分析可以用来延长和插补短系列。长和插补短系列。根据变量之间相互关系的密根据变量之间相互关系的密切程度，变量之间的关系有三切程度，变量之间的关系有三种情况：即种情况：即p相关相关(xinggun)关系关系1.完全相关完全相关2.零相关零相关3.统计相关统计相关第58页/共87页第五十九页，共87页。相关相关(xinggun)关系关系完
36、全完全(wnqun)相相关关零相零相关关(xinggun)统计相关统计相关简单相关简单相关复相关复相关直线相关直线相关曲线相关曲线相关正相关正相关负相关负相关 若两个变量之间的关系界于完全相关和零相关之间，若两个变量之间的关系界于完全相关和零相关之间，若两个变量之间的关系界于完全相关和零相关之间，若两个变量之间的关系界于完全相关和零相关之间，则称为统计相关。则称为统计相关。则称为统计相关。则称为统计相关。当只研究两个变量的相关关系时，称为简单相关；当当只研究两个变量的相关关系时，称为简单相关；当当只研究两个变量的相关关系时，称为简单相关；当当只研究两个变量的相关关系时，称为简单相关；当研究研究
37、研究研究3 3个或个或个或个或3 3个以上变量的相关关系时，则称为复相关。个以上变量的相关关系时，则称为复相关。个以上变量的相关关系时，则称为复相关。个以上变量的相关关系时，则称为复相关。在相关的形式上，又可分为直线相关和非直线相关在相关的形式上，又可分为直线相关和非直线相关在相关的形式上，又可分为直线相关和非直线相关在相关的形式上，又可分为直线相关和非直线相关.第59页/共87页第六十页，共87页。相关相关(xinggun)(xinggun)分析（或回分析（或回归分析）的内容一般包括三个方归分析）的内容一般包括三个方面：面：（1 1）判定变量间是否存）判定变量间是否存在相关在相关(xingg
38、un)(xinggun)关系，若存在，关系，若存在，计算其相关计算其相关(xinggun)(xinggun)系数，以系数，以判断相关判断相关(xinggun)(xinggun)的密切程度；的密切程度；（2 2）确定变量间的数量）确定变量间的数量关系关系回归方程或相关回归方程或相关(xinggun)(xinggun)线；线；（3 3）根据自变量的值，）根据自变量的值，预报或延长、插补因变量的值，预报或延长、插补因变量的值，并对该估计值进行误差分析。并对该估计值进行误差分析。第60页/共87页第六十一页，共87页。一、简直直线一、简直直线一、简直直线一、简直直线(zhxin)(zhxin)相关相关
39、相关相关 1.1.相关图解法相关图解法相关图解法相关图解法 设设设设xi xi 和和和和yi yi 代表两系列的观测值，共有代表两系列的观测值，共有代表两系列的观测值，共有代表两系列的观测值，共有n n 对，把对，把对，把对，把对应值点绘于方格纸上，得到很多相关点。如果对应值点绘于方格纸上，得到很多相关点。如果对应值点绘于方格纸上，得到很多相关点。如果对应值点绘于方格纸上，得到很多相关点。如果相关点的平均趋势近似直线，即可通过点群中间相关点的平均趋势近似直线，即可通过点群中间相关点的平均趋势近似直线，即可通过点群中间相关点的平均趋势近似直线，即可通过点群中间(zhngjin)(zhngjin)
40、点绘出相关直线。点绘出相关直线。点绘出相关直线。点绘出相关直线。有了这条相关线，就可以利用长系列资料来延长有了这条相关线，就可以利用长系列资料来延长有了这条相关线，就可以利用长系列资料来延长有了这条相关线，就可以利用长系列资料来延长另一短系列资料。另一短系列资料。另一短系列资料。另一短系列资料。相关相关(xinggun)图图解法解法解析法解析法p分析方法分析方法第61页/共87页第六十二页，共87页。2 2相关相关相关相关(xinggun)(xinggun)计算法（解析法）计算法（解析法）计算法（解析法）计算法（解析法）为避免(bmin)相关图解法在定线上的任意性，常采用相关计算法来确定相关线
41、的方程，即回归方程。简单直线相关方程的形式为:y=a+bx 式中 x 自变量；y 因变量；a、b 待定常数。待定常数a、b 由观测点与直线拟合最佳，通过最小二乘法进行估计。第62页/共87页第六十三页，共87页。相关系数相关系数r的性质的性质(xngzh)和意义和意义p表示了变量系列之间的相关程度表示了变量系列之间的相关程度pr=0零相关零相关pr=1完全完全(wnqun)相关相关p0r0.8；p3）第63页/共87页第六十四页，共87页。水文水文(shuwn)资料系列的审查资料系列的审查p适线法：由于样本和总体之间的差异性，致使适线法：由于样本和总体之间的差异性，致使Pearson理论频率曲
42、线与经验频率点群偏离较大。通理论频率曲线与经验频率点群偏离较大。通过调整统计参数过调整统计参数Cv、Cs值，能够值，能够(nnggu)选配一条与选配一条与经验频率点群拟合最好的理论频率曲线，然后，依据设经验频率点群拟合最好的理论频率曲线，然后，依据设计洪水频率，推算设计流量。计洪水频率，推算设计流量。3.7水文水文(shuwn)频率计算适线法频率计算适线法可靠可靠性性一致性一致性p资料审查资料审查代表性代表性独立性独立性第64页/共87页第六十五页，共87页。p(1)资料的可靠性：即鉴定资料的可靠程度。应从资料来源、资料的可靠性：即鉴定资料的可靠程度。应从资料来源、资料的测验和整编方法有无问题
43、、刊印是否有误进行检查，资料的测验和整编方法有无问题、刊印是否有误进行检查，可以通过上下游或干、支流水量平衡，流域年降水量等检可以通过上下游或干、支流水量平衡，流域年降水量等检查，数据是否合理。查，数据是否合理。p(2)资料的一致性：一般认为，影响年最大流量的流域气候资料的一致性：一般认为，影响年最大流量的流域气候条件在短期内是相对稳定的；资料的一致性主要分析流域条件在短期内是相对稳定的；资料的一致性主要分析流域内下垫面条件是否稳定。否则，资料的一致性将遭到破坏内下垫面条件是否稳定。否则，资料的一致性将遭到破坏(phui)。例如，设计断面上游修建了大型引水工程后，。例如，设计断面上游修建了大型
44、引水工程后，使设计断面资料一致性遭到破坏使设计断面资料一致性遭到破坏(phui)，必须对资料修，必须对资料修正后方可进行计算。正后方可进行计算。p(3)资料的代表性：是指资料是否包括了丰水年、平水年和资料的代表性：是指资料是否包括了丰水年、平水年和枯水年，若代表性差，就不能很好地反映总体的规律，统枯水年，若代表性差，就不能很好地反映总体的规律，统计计算结果的实际误差就大，为了提高资料的代表性，应计计算结果的实际误差就大，为了提高资料的代表性，应尽可能展延径流系列的长度。尽可能展延径流系列的长度。p(4)资料的独立性：系列中的变量必须相互独立。资料的独立性：系列中的变量必须相互独立。资料的审查内
45、容资料的审查内容(nirng)如下：如下：第65页/共87页第六十六页，共87页。水文频率计算水文频率计算(jsun)适线法的计算适线法的计算(jsun)步骤步骤p具体步骤如下：具体步骤如下：p1.将实测资料由大到小排列，计算各项的经验频率，在频率格纸上点将实测资料由大到小排列，计算各项的经验频率，在频率格纸上点绘经验点据（纵坐标为变量的取值，横坐标为对应的经验频率）。绘经验点据（纵坐标为变量的取值，横坐标为对应的经验频率）。p2.选定水文频率分布线型（一般选用皮尔逊选定水文频率分布线型（一般选用皮尔逊型）。型）。p3.先采用矩法或三点法估计出频率曲线参数的初估值先采用矩法或三点法估计出频率曲
46、线参数的初估值、Cv，而，而Cs凭凭经验初选为经验初选为Cv的倍数。的倍数。p4.根据拟定的根据拟定的、Cv和和Cs，查附表，查附表2或附表或附表3，计算，计算xP值。以值。以xP为纵为纵坐标，坐标，P为横坐标，即可得到频率曲线。将此线画在绘有经验点据的为横坐标，即可得到频率曲线。将此线画在绘有经验点据的图上，看与经验点据配合的情况。若不理想，可通过调整参数（主要图上，看与经验点据配合的情况。若不理想，可通过调整参数（主要调整调整Cv和和Cs），再次进行计算，重新适线。），再次进行计算，重新适线。p5.最后最后(zuhu)根据频率曲线与经验点据的配合情况，从中选出一条根据频率曲线与经验点据的配
47、合情况，从中选出一条与经与经验点据配合较好的曲线作为采用曲线，相应于该曲线的参数便看验点据配合较好的曲线作为采用曲线，相应于该曲线的参数便看作是总体参数的估值。作是总体参数的估值。p6.求指定频率的水文变量设计值。求指定频率的水文变量设计值。第66页/共87页第六十七页，共87页。水文频率水文频率(pnl)计算适线法的计算步骤计算适线法的计算步骤经验频率的计算假定CS=KCV判断理论频率曲线与经验频率点的配合情况经验频率曲线适线初始参数的计算理论频率线型的确定理论频率曲线的绘制理论频率曲线的确定即总体统计参数的确定好不好第67页/共87页第六十八页，共87页。p点评：适线法得到的结果仍具有抽样
48、误差，而这种误差目前还难以点评：适线法得到的结果仍具有抽样误差，而这种误差目前还难以精确估算。因此对于工程上最终采用的频率曲线及其相应的统计参精确估算。因此对于工程上最终采用的频率曲线及其相应的统计参数，不仅要从水文统计方面分析，而且还要密切结合水文现象的物数，不仅要从水文统计方面分析，而且还要密切结合水文现象的物理成因及地区分布规律进行理成因及地区分布规律进行(jnxng)综合分析。综合分析。第68页/共87页第六十九页，共87页。水文频率计算适线法的若干水文频率计算适线法的若干(rugn)问题讨论问题讨论p1.统计统计(tngj)参数对皮尔逊参数对皮尔逊型频率曲线的影响型频率曲线的影响图3
49、.14 均值(jn zh)对频率曲线的影响第69页/共87页第七十页，共87页。p为了避免修改为了避免修改(xigi)(xigi)参数的盲目性，需要了参数的盲目性，需要了解参数对频率曲线的影解参数对频率曲线的影响。响。由频率曲线图可明由频率曲线图可明显看出，显看出，CVCV值愈大，曲值愈大，曲线愈陡。线愈陡。p若曲线左端偏低而右端若曲线左端偏低而右端偏高，则应增大偏高，则应增大CVCV值。值。图3.15 变差系数(xsh)Cv对频率曲线的影响第70页/共87页第七十一页，共87页。图316 偏态系数(xsh)Cs对频率曲线的影响p由频率曲线图可明显看出，由频率曲线图可明显看出，当当CSCS增大
50、时，曲线上段变陡增大时，曲线上段变陡而下段趋于平缓。而下段趋于平缓。若理论频率曲线左端和右端若理论频率曲线左端和右端都偏低，则应增大都偏低，则应增大CS CS p配线法采用了概率格纸，以配线法采用了概率格纸，以正态分布曲线成直线来划分正态分布曲线成直线来划分概率坐标的。当概率坐标的。当CSCS0 0，频率，频率曲线在概率纸上为一直线。曲线在概率纸上为一直线。其特点其特点(tdin)(tdin)是横坐标的是横坐标的两端分格较稀而中间较密，两端分格较稀而中间较密，纵坐标为均匀分格或对数分纵坐标为均匀分格或对数分格。这样，曲线两端的坡度格。这样，曲线两端的坡度变缓，使用起来比较方便。变缓，使用起来比