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1、第四章第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 主要内容主要内容1、柱面、柱面2、锥面、锥面3、旋转曲面、旋转曲面4、椭球面、椭球面5、双曲面、双曲面6、抛物面、抛物面7、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线第一节第一节 柱面柱面定义定义平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线 C 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 L 叫叫柱面的柱面的母线母线.设柱面的准线为设柱面的准线为母线的方向数为母线的方向数为X,Y,Z。如果。如果M1(x1,y1,z1
2、)为准线为准线上一点，则过点上一点，则过点M1的母线方程为的母线方程为且有且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (3)从（从（2）（）（3）中消去）中消去x1,y1,z1得得F(x,y,z)=0这就是以这就是以（1 1）为准线，母线的方向数为为准线，母线的方向数为X，Y，Z的的柱面的方程。柱面的方程。柱面举例柱面举例抛物柱面抛物柱面平面平面从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例椭圆柱面椭圆柱面 母线母线/轴轴双曲柱面母线双曲柱面母线/轴轴抛物柱面母线抛物柱面母线/轴轴 只含只含yx,而缺而缺z的方程的方程0),(=yxF，在，
3、在空间直角坐标系中表示母线平行于空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱轴的柱面，其准线为面，其准线为xoy面上曲线面上曲线C.例例1、柱面的准线方程为、柱面的准线方程为而母线的方向数为而母线的方向数为-1-1，0 0，1 1，求这柱面的方程。，求这柱面的方程。例例2、已知圆柱面的轴为、已知圆柱面的轴为点点（1,-2,1)1,-2,1)在此在此圆柱面上，求这个柱面的方程圆柱面上，求这个柱面的方程。定理定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标）在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元（坐
4、标）的同名坐标轴。所缺元（坐标）的同名坐标轴。证明：我们不妨证明方程证明：我们不妨证明方程 是母线平是母线平行于行于Z轴的柱面。轴的柱面。取曲面取曲面 与与xOy面的交线面的交线作准线，作准线，z轴的方向轴的方向 为母线的方向，来建立为母线的方向，来建立柱面方程柱面方程。任取准线上的一点任取准线上的一点 ，过，过 的母线的母线 方程为方程为 取曲面取曲面而母线的方向数为而母线的方向数为-1-1，0 0，1 1，求这柱面的方程。，求这柱面的方程。即即又因为点又因为点 在准线（在准线（1）上，所以又有）上，所以又有将（将（2）代入（）代入（3）消去参数）消去参数 ，得到所求的，得到所求的柱面方程为
5、柱面方程为同理，同理，与与 分别表示母线平行于分别表示母线平行于X轴和轴和y轴的柱面。轴的柱面。方程方程 分别分别表示椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面。表示椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面。2.空间曲线的射影柱面空间曲线的射影柱面 设空间曲线为设空间曲线为依次从（依次从（1）中消去一个元，可得）中消去一个元，可得任取其中两个方程组成方程组，比如任取其中两个方程组成方程组，比如那么（2）与（1）是两个等价的方程组，也就 是（2）表示的曲线与（1）是同一条曲线。从而曲面 与曲面 都通过已知曲线（1）同理方程 也通过已知曲线（1）。我们把曲面 称为空间曲线（1）对xOy坐标面的射影柱面，而曲线称为空间曲线（
6、1）在xOy坐标面上的射影曲线。同理，曲面 与曲面 分别叫做方程（1）对xOz坐标面与yOz坐标面射影的射影柱面而曲线 与曲线分别叫做曲线（1）在xOz坐标面与yOz坐标面上的射影曲线。例：从方程组消去y，得 ，这就是空间曲线L在xOz面上的射影柱面，曲线 为曲线L在xOz坐标面上的射影曲线从方程组消去z，得 ，这就是空间曲线L在xOy面上的射影柱面，曲线 为曲线L在xOy坐标面上的射影曲线曲线L也可以看成是作业P147:1,3,8(1),(2)第二节第二节 锥面锥面一、锥面一、锥面1、定义、定义 在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面称为
7、锥面，这些直线都称为锥面的直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。2 2、锥面的方程、锥面的方程设锥面的准线为设锥面的准线为顶点为顶点为A(x0,y0,z0)，如果，如果M1(x1,y1,z1)为准线上任一点，为准线上任一点，则锥面过点则锥面过点M1的母线为：的母线为：且有且有F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=0 （3）从（从（2）（）（3）中消去参数）中消去参数x1,y1,z1得三元方程得三元方程F(x,y,z)=0这就是以（这就是以（1）为准线，以）为准线，以A为顶点的
8、锥面方程。为顶点的锥面方程。例例1、求顶点在原点，准线为、求顶点在原点，准线为的锥面的方程。的锥面的方程。答：答：（二次锥面）（二次锥面）例例2：已知圆锥面的顶点为（：已知圆锥面的顶点为（1,2,3），轴垂直于平面），轴垂直于平面2x+2y-z+1=0，母线与轴成，母线与轴成 角，试求这圆锥面角，试求这圆锥面的方程。的方程。解：设解：设 为任意母线上的一点，那么过为任意母线上的一点，那么过点的母线的方向向量点的母线的方向向量而在直角坐标系下，圆锥面的轴线的方向就是平面而在直角坐标系下，圆锥面的轴线的方向就是平面 的法向量，即为的法向量，即为 有有整理得整理得 2x+2y-z+1=0定理定理 4
9、.2.1 一个关于一个关于x,y,z的齐次方程总表示顶点在的齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面。坐标原点的锥面。齐次方程齐次方程：设设为实数，数，对于函数于函数f(x,y,z)f(x,y,z)，如果有，如果有f(tx,ty,tz)=tf(x,y,z)则称则称f(x,y,z)为为的的齐次函数，齐次函数，f(x,y,z)=0称为齐次称为齐次方程。方程。例如，方程例如，方程 x2+y2-z2=0圆锥面圆锥面又如，方程又如，方程 x2+y2+z2=0原点（虚锥面）原点（虚锥面）作业:P151:2,3,5第三节第三节 旋转曲面旋转曲面一、一、.旋转曲面旋转曲面1、定定义义:以以一一条条平平面面曲曲线线C
10、绕绕其其平平面面上上的的一一条条直直线线旋旋转转一一周周所所成成的的曲曲面面叫叫做做旋旋转转曲曲面面,这这条条定定直直线线叫叫旋旋转转曲曲面面的的轴轴.曲线曲线C称为旋转曲面的称为旋转曲面的母线母线oC纬线纬线经线经线二、旋转曲面的方程二、旋转曲面的方程在空间坐标系中，设旋转曲面的母线为：旋转直线为：其中P0(x0,y0,z0)为轴L上一定点，X，Y，Z为旋转轴L的方向数。设M1(x1,y1,z1)为母线C上的任意点，则M1的纬圆总可以看成是过M1且垂直于旋转轴L的平面与以P0为中心，|P0M1|为半径的球面的交线。所以过M1的纬圆的方程为：当点M1跑遍整个母线C时，就得到所有的纬圆，这些纬圆
11、就生成旋转曲面。又由于M1在母线上，所以又有：从（3）（4）的四个等式中消去参数x1,y1,z1,得到一个三元方程：F(x,y,z)=0这就是以C为母线，L为旋转轴的旋转曲面的方程。例1、求直线绕直线x=y=z旋转所得旋转曲面的方程。解：设M1(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过M1的纬圆方程是：又由于M1在母线上，所以又有：即 x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋转曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0。三、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面：三、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面：已知yoz面
12、上一条曲线C,方程为 ,曲线C绕 z 轴旋转一周就得一个旋转曲面.设M1(0,y1,z1)是C上任意一点,则有f(y1,z1)=0当C绕 z 轴旋转而M1随之转到M(x,y,z)时,有将z1=z,代入方程f(y1,z1)=0,得旋转曲面的方程:即规律：规律：当坐标平面上的曲线C绕此坐标平面的一个坐标轴旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线C在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。解解 圆锥面方程圆锥面方程例2:求直线 z=ay 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面方程.zxyz=ay解:将 y 用 代入直线方程,得平方得:z2=a2(x2+y2)
13、该旋转曲面叫做圆锥面,其顶点在原点.例例3 3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程旋旋转转双双曲曲面面（单叶）（单叶）（双叶）（双叶）例4、将圆绕Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程。解：所求旋转曲面的方程为：即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)该曲面称为圆环面。旋旋转转椭椭球球面面旋转抛物面旋转抛物面（长形）（长形）（短形）（短形）作业:P158:1(1),(4)二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程三元二次方程相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的
14、平面截痕法平面截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面一、基本内容、基本内容所表示的曲面称之为二次曲面所表示的曲面称之为二次曲面ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0zoxyO2 用平面z=k去截割(要求|k|c),得椭圆当|k|c 时,|k|越大,椭圆越小;当|k|=c 时,椭圆退缩成点.二二.几种常见二次曲面几种常见二次曲面
15、.（一）椭球面1 用平面z=0去截割,得椭圆3 类似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,得椭圆:特别:当a=b=c时,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原点o,半径为a的球面.4.5 双曲面双曲面单叶双曲面单叶双曲面（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得中心在原点截得中心在原点 的椭圆的椭圆.与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线.实轴与实轴与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.双曲线的双曲线的中心中心都在
16、都在 轴上轴上.与平面与平面 的交线为双曲线的交线为双曲线.实轴与实轴与 轴平行轴平行,虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.实轴与实轴与 轴平行轴平行,虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.（3）用坐标面）用坐标面 ，与曲面相截与曲面相截均可得双曲线均可得双曲线.单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz平面平面 的截痕是的截痕是两对相交直线两对相交直线.双叶双曲面双叶双曲面xyo4.6 抛物面抛物面椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得一点，即坐标原点
17、截得一点，即坐标原点原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.与平面与平面 不相交不相交.（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得抛物线截得抛物线与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线.它的轴平行于它的轴平行于 轴轴（3）用坐标面）用坐标面 ，与曲面相截与曲面相截均可得抛物线均可得抛物线.zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为旋转抛物面旋转抛物面（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴
18、旋转而成的）旋转而成的）与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论：图形如下：图形如下：xyzo例1：作出球面 与 旋转抛物面 的交线。v例2：作出曲面 与平面 ，三坐标面所围成的立体在第一卦象部分的立体图形。作业:P168:3,5P175:2v 4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线 定义：由一族直线生成的曲面叫做直纹曲面。定义：由一族直线生成的曲面叫做直纹曲面。柱面，锥面都是直纹曲面。单叶双曲面与双柱面，锥面都是直纹曲面。单叶双曲面与双曲抛物面也是直纹曲面。曲抛物面
19、也是直纹曲面。考虑单叶双曲面：考虑单叶双曲面：其中其中a，b，c为正常数，把（为正常数，把（1）改写成）改写成 现在引进不等于零的参数现在引进不等于零的参数u，并考察由上式得来方程，并考察由上式得来方程组组与两个方程组与两个方程组U族上直线中的任何一条直线上的点都在曲面族上直线中的任何一条直线上的点都在曲面（1）上。）上。反过来，也可以证明曲面（反过来，也可以证明曲面（1）上的任一点，一）上的任一点，一定在定在u族直线中的某一条直线上。族直线中的某一条直线上。设设 是曲面（是曲面（1）上的一点，有）上的一点，有显然显然 与与 不能同时为零，不妨假设不能同时为零，不妨假设如果如果 ，那么去，那么
20、去u的值使得的值使得由（由（5）便得）便得所以点所以点 在直线（在直线（3）上。）上。如果如果 ，那么由（，那么由（5）知必有）知必有 ，所以点所以点 在直线（在直线（4）上，因此曲面上任）上，因此曲面上任上任一点上任一点 ，一定在，一定在u族直线中的某一条直族直线中的某一条直线上。线上。这就证明了曲面（这就证明了曲面（1）是由）是由u族直线所生成，因族直线所生成，因此单叶双曲面（此单叶双曲面（1）是直纹曲面，而）是直纹曲面，而u族直线是单叶族直线是单叶双曲面（双曲面（1）的一族直母线，称为）的一族直母线，称为u族直母线。族直母线。同样可以证明由直线同样可以证明由直线（其中（其中v为不等于零的
21、任意实数）与另两条直线为不等于零的任意实数）与另两条直线与与合在一起组成的直线族是单叶双曲面（合在一起组成的直线族是单叶双曲面（1）上的另一）上的另一族直母线，称它为单叶双曲面（族直母线，称它为单叶双曲面（1）的）的v族直母线。族直母线。推论推论 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点。条直母线通过这点。对于双曲抛物面对于双曲抛物面同理可以证明它有两族直母线（图同理可以证明它有两族直母线（图4-26），它们的方），它们的方程分别是程分别是或者或者推论推论 对于双曲抛物面上的点，两族直母线中各有一对于双曲抛物面上的点，两族直母线中各有一条
22、直母线通过这点。条直母线通过这点。单叶双曲面与双曲抛物面的直母线还有如下的性质：单叶双曲面与双曲抛物面的直母线还有如下的性质：定理定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两条直母线单叶双曲面上异族的任意两条直母线必共面；任意两条同族的直母线必是异面直线。必共面；任意两条同族的直母线必是异面直线。定理定理4.7.2 双曲抛物面上异族的任意两条直母线双曲抛物面上异族的任意两条直母线必相交；同族的任意两条直母线必是异面直线，且必相交；同族的任意两条直母线必是异面直线，且同族的全体直母线平行于同一个平面。同族的全体直母线平行于同一个平面。证明：书上证明定理证明：书上证明定理4.7.1的前半部分。现证后的前半部分。现证后半部分。任取同族两条直母线半部分。任取同族两条直母线与与改写成改写成行列式行列式所以，直母线所以，直母线 与与 异面。异面。例：求过单叶双曲面例：求过单叶双曲面 上的点上的点（6,2,8）的直母线方程。）的直母线方程。解：单叶双曲面的两组直母线方程是解：单叶双曲面的两组直母线方程是 与与将点（将点（6,2,8）分别代入上面两个方程，有）分别代入上面两个方程，有 与与所以，经过点（所以，经过点（6,2,8）的异族直母线方程为）的异族直母线方程为 与与即即 与与作业:P181:1（1）；2（2）P182:3v