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1、1一、微元法一、微元法二、平面图形的面积二、平面图形的面积第六节第六节 定积分的几何应用定积分的几何应用三、旋转体的体积三、旋转体的体积四、平行截面面积已知的四、平行截面面积已知的 立体的体积立体的体积2回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题一、定积分的元素法一、定积分的元素法ab xyo3面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下（3）求和求和，得，得A的近似值的近似值（4）取极限取极限，得，得A的精确值的精确值4ab xyo提示提示面面积积元元素素56元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：7这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积，
2、体积。平面图形的面积，体积。经济应用。其他应用。经济应用。其他应用。8二、平面图形的面积二、平面图形的面积面积微元面积微元:(1)由连续曲线由连续曲线 y=f(x)(f(x)0),直线直线 x=a,x=b(ab)及及x轴所围成的平面图形的面积轴所围成的平面图形的面积yo面积面积9若若f(x)有正有负有正有负,则曲边梯形面积为则曲边梯形面积为xyoab10 xyoab面积元素面积元素:(2)由连续曲线由连续曲线 y=f(x),y=g(x),直线直线 x=a,x=b(ab)所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积:11cxyoab一般地，一般地，12dcxyo及及y轴轴围成的平面图形的面积为围
3、成的平面图形的面积为 xyodc一般地，一般地，13及及y轴轴围成的平面图形的面积为：围成的平面图形的面积为：dcxyodcxyo一般地，一般地，14解解先求两曲线的交点先求两曲线的交点选选x为积分变量为积分变量,例例1 1 15例例2 2 围成的平面图形的面积围成的平面图形的面积.xoy解解 由对称性由对称性,交点交点16解解由对称性知由对称性知,例例3 3 总面积等于第一象限部分总面积等于第一象限部分面积的面积的4倍倍,17解解两曲线的交点两曲线的交点例例4 4 此法麻烦。此法麻烦。18此题选此题选 y 为积分变量比较好为积分变量比较好,选择积分变量的原则：选择积分变量的原则：(1)(1)
4、积分容易；积分容易；(2)(2)尽量少分块尽量少分块.19解解例例5 5 y=x2t1120 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1 1、旋转体的体积、旋转体的体积二、立体的体积二、立体的体积21abox y体积微元体积微元:旋转体的体积为旋转体的体积为22直线直线OP的方程为的方程为解解例例7 7 23例例8 8 x yOab解解 24例例9 9 解解 xy利用圆面积利用圆面积25x ycdox ydc26例例1010 解解 下面再介绍一个新方法下面再介
5、绍一个新方法.27ox yab套筒法套筒法:体积微元体积微元:28上例上例:ox yab29例例1111 解解“套筒法套筒法”推广：推广：ox yab30解解例例1212 31解解例例1212 32解解例例1313 圆锥体积圆锥体积33解解(1)(1)例例1414 y2xao34解解(1)(1)(2)(2)导数左正右负导数左正右负，为为极极大大值值点，点，即即为为最最大大值值点，点，35二、立体的体积二、立体的体积xx x+dxS(x)ab*2*2、已知平行截面面积求立体的体积、已知平行截面面积求立体的体积36解解建立坐标系如图建立坐标系如图,截面面积截面面积所以立体体积所以立体体积例例6 6
6、垂直于垂直于 x 轴的截面为直角轴的截面为直角三角形三角形,37解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积38三、定积分在经济学中的简单应用三、定积分在经济学中的简单应用设总成本函数为设总成本函数为C=C(Q)，总收益函数为总收益函数为R=R(Q)，其中其中Q为产量为产量，则总成本函数为则总成本函数为则总收益函数为则总收益函数为所以总利润函数为所以总利润函数为称为固定成本称为固定成本39 某商品每周产量为某商品每周产量为Q，固定成本为固定成本为200200元，成本元，成本函数变化率为函数变化率为 例例1515 解解求成本函数。求成本函数。如果该商品的销售单
7、价为如果该商品的销售单价为2020元，且假设产品可以全部元，且假设产品可以全部售出，求利润函数售出，求利润函数L(Q)，并问每周产量为多少时，可并问每周产量为多少时，可获得最大利润？获得最大利润？成本函数为成本函数为 40 某商品每周产量为某商品每周产量为Q，固定成本为固定成本为200200元，成本元，成本函数变化率为函数变化率为 销销售收入售收入为为 所以利所以利润润函数函数为为 得唯一驻点得唯一驻点 所以当每周产量所以当每周产量 时时,利润最大利润最大,最大利润为最大利润为 例例1515 解解如果该商品的销售单价为如果该商品的销售单价为2020元，且假设产品可以全部元，且假设产品可以全部售
8、出，求利润函数售出，求利润函数L(Q)，并问每周产量为多少时，可并问每周产量为多少时，可获得最大利润？获得最大利润？求成本函数。求成本函数。成本函数为成本函数为 41例例1616 解解所以需求函数为所以需求函数为 42四、小结四、小结定积分的元素法定积分的元素法平面图形的面积平面图形的面积旋转体的体积旋转体的体积*平行截面面积已知的立体的体积平行截面面积已知的立体的体积43*思考题思考题144思考题思考题1解答解答xyo两边同时对两边同时对 求导求导45积分得积分得所以所求曲线为所以所求曲线为46曲线 y=f(x)及直线 y=kx+b ,所围成的曲边梯形,求D绕直线y=kx+b旋转所成立体的体积.上有连续导数,D为思考题思考题247如右图示,L：NTM y=f(x)dlD曲线在M点处的切线MT为：思考题思考题2解答解答48应用定积分的元素法，考虑子区间x,x+dx.设相应于x,x+dx的曲线弧段在直线L上的投影长为dl,则当子区间的长充分小时,取切线MT上对应于右端点x+dx的点 到垂线 的距离为dl,则49而M点到直线L的距离为从而得所以曲边梯形D绕直线L旋转所成立体体积为50练习：练习：P245 习题六习题六