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1、第五节 定积分的应用 本章中我们将用前面学过的定积分的知识来本章中我们将用前面学过的定积分的知识来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅是建立计算这些几何、物理的公式，不仅是建立计算这些几何、物理的公式，更重要的在于介绍运用元素分析法解决问题更重要的在于介绍运用元素分析法解决问题的定积分的方法。的定积分的方法。第一第一 定积分的元素法定积分的元素法一一 问题的提出问题的提出二二 定积分的元素法定积分的元素法考虑曲边梯形面积计算问题ab xyo一 问题的提出(Introduction)面积表示为定积分要通过如下步骤：2）（计算计算iAD D的近似值的
2、近似值（3 3）求和，得求和，得A A的近似值的近似值（4 4）求极限，得求极限，得A A的精确值的精确值.（1 1）把区间把区间,ba分成分成 n个长度为个长度为ixD D的小区间，的小区间，相应的曲边梯形被分为相应的曲边梯形被分为 n个小窄曲边梯形，第个小窄曲边梯形，第i 个小窄曲边梯形的面积为个小窄曲边梯形的面积为iAD D，则，则 D D niiAA1;要想得到一个定积分表达式，只要求出被积要想得到一个定积分表达式，只要求出被积表达式表达式这就是定积分的元素法这就是定积分的元素法.两式，我们发现一个事实，即左边的极限式子与右边两式，我们发现一个事实，即左边的极限式子与右边的定积分表达式
3、有很好的对应。我们让的定积分表达式有很好的对应。我们让比较比较元素法的一般步骤:2 2）在在,ba中任取一小区间并记为中任取一小区间并记为,dxxx，求出相应于这小区间的部分量，求出相应于这小区间的部分量UD D的近似值的近似值.如果如果 能近似地表示为能近似地表示为,ba上上的一个连续函数在的一个连续函数在 x处的值处的值)(xf与与dx的乘的乘积，就把积，就把dxxf)(称为量称为量 U的元素且记作的元素且记作 dU，即，即dxxfdU)(；二 定积分的元素法（Element Method）这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法常见应用方向有常见应用方向有：平面图形的面积；体积；平面
4、曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力等功；水压力；引力等一、平面图形的面积 二、体积 第二第二 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用三、平面曲线的弧长 dS=f上上(x)f下下(x)dx 它也就是面积元素它也就是面积元素 一、平面图形的面积一、平面图形的面积 设设平平面面图图形形由由上上下下两两条条曲曲线线y f上上(x)与与y f下下(x)及及左左右右两条直线两条直线x a与与x b所围成所围成 因此平面图形的面积为因此平面图形的面积为 在点在点x处面积增量的近似值为处面积增量的近似值为 1.1.直角坐标情形直角坐标情形 讨论：讨论：由左右两条曲线由左右
5、两条曲线x 左左(y)与与x 右右(y)及上下两条直线及上下两条直线y d与与y c所围成的平面图形的面积如所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？何表示为定积分？提示：提示：面积为面积为 面积元素为面积元素为 右右(y)左左(y)dy:)(3确定上下曲线确定上下曲线2)(,)(xxfxxf=下上.例例1 1 计算抛物线计算抛物线y2 x与与y x2所围成的图形的面积所围成的图形的面积 解解 (2)确定在确定在x轴上的投影区间轴上的投影区间:(4)计算积分计算积分 0 1;(1)画图画图;31313210323=-=xx.例2 计算抛物线计算抛物线y2 2x与直线与直线y x 4所围成的图形的
6、面所围成的图形的面积积 (2)确定在确定在y轴上的投影区间轴上的投影区间:(4)计算积分计算积分 (3)确定左右曲线确定左右曲线:2 4 解 (1)画图画图;4)(,21)(2+=yyyy右左jj.43-18621-y1422=+=yy 解解：例例3 3 求由曲线求由曲线 所围所围成的面积成的面积 与与x x2 2 y y2 2 8(8(两部分都要计算两部分都要计算)曲边扇形曲边扇形曲边扇形的面积元素曲边扇形的面积元素 曲边扇形是由曲线曲边扇形是由曲线 ()及射线及射线 所所围成的图围成的图形形 曲边扇形的面积 2.2.极坐标情形极坐标情形 ddS2)(21.例例4 4 计算阿基米德螺线计算阿
7、基米德螺线 a (a0)上相应于上相应于 从从0变变到到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积的一段弧与极轴所围成的图形的面积 解解 .曲边扇形的面积：曲边扇形的面积：例例5 5 计算心形线计算心形线 2a(2 cos)(a0)所围成的图形的所围成的图形的面积面积 解解 .曲边扇形的面积：曲边扇形的面积：旋转体都可以看作是由连续曲线旋转体都可以看作是由连续曲线y f(x)、直线、直线x a、a b及及x轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体轴旋转一周而成的立体 二、体积1.1.旋转体的体积旋转体的体积 旋转体的体积元素旋转体的体积元素 考虑旋转体内点考虑旋转体内点x处垂直
8、于处垂直于x轴的厚度为轴的厚度为dx的切片的切片 用圆柱体的体积用圆柱体的体积 f(x)2dx作为切片体积的近似值作为切片体积的近似值 旋转体的体积旋转体的体积 于是于是体积元素为体积元素为 dV f(x)2dx 例例6 6 把把抛抛物物线线y2 4ax及及直直线线x x0(x0 0)所所围围成成的的图图形形绕绕x轴旋转轴旋转 计算所得旋转体的体积计算所得旋转体的体积 旋转体的体积：旋转体的体积：解：解：所得旋转体的体积为所得旋转体的体积为 解解 旋转椭球体旋转椭球体可以看作是由半个椭圆可以看作是由半个椭圆22xaaby-=及及x轴围成的图形绕轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体轴旋转而成的立体
9、旋转椭球体的体积为旋转椭球体的体积为 旋转体的体积：旋转体的体积：旋转体旋转体(旋转椭球体旋转椭球体)的体积的体积 例例7 7 计算由椭圆计算由椭圆 所成的图形绕所成的图形绕x轴旋转而成的轴旋转而成的1+2222=byaxaaxxaab 313222 234ab .例例8 8由由y x3 x 2 y 0所围成的图形所围成的图形 分别绕分别绕x轴及轴及y轴旋转轴旋转 计算所得两个旋转体的体积计算所得两个旋转体的体积 解：解：绕绕x x轴旋转所得旋转体的体积为轴旋转所得旋转体的体积为 绕绕y y轴旋转所得旋转体的体积为轴旋转所得旋转体的体积为 解解 设设立立体体在在x轴轴上上的的投投影影区区间间为
10、为a b 立立体体内内垂垂直直于于x轴的截面面积为轴的截面面积为A(x)立体的体积元素为立体的体积元素为 立体的体积为立体的体积为2.2.平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 A(x)dx A(x)截面面积为截面面积为A(x)的立体体积：的立体体积：例例1010 一一平平面面经经过过半半径径为为R的的圆圆柱柱体体的的底底圆圆中中心心 并并与底面交成角与底面交成角 计算这平面截圆柱所得立体的体积计算这平面截圆柱所得立体的体积 建立坐标系如图建立坐标系如图 则则底圆的方程为底圆的方程为x2 y2 R2 所求立体的体积为所求立体的体积为 解 atan)(21)(22xRxA-
11、=.RRxxR-=31tan2132aatan323R=.立体中过点立体中过点x且垂直于且垂直于x轴的截面为直轴的截面为直角三角形角三角形 其其面积为面积为 三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长 设曲线弧由直角坐标方程设曲线弧由直角坐标方程y f(x)(a x b)给给出出 其其中中f(x)在在区区间间a b上上具具有有一一阶阶连连续续导导数数 现现在在来计算这曲线弧的长度来计算这曲线弧的长度 直角坐标情形直角坐标情形 弧长元素弧长元素(弧微分弧微分):因此所求弧长因此所求弧长解：解：曲线曲线y f(x)(a x b)的弧长：的弧长：例例1212 计算曲线计算曲线y y ln ln x x上相
12、应于上相应于 的一段弧的长度的一段弧的长度 令令 即即 则则 设曲线弧由参数方程设曲线弧由参数方程x (t)、y (t)(t )给出给出 其中其中(t)、(t)在在 上上具有连续导数具有连续导数 于是曲线弧的长为于是曲线弧的长为 曲线曲线y f(x)(a x b)的弧长：的弧长：参数方程情形参数方程情形 曲线曲线x (t)、y (t)(t )的弧长：的弧长：解解:曲线曲线y f(x)(a x b)的弧长：的弧长：例例1414计算星形线计算星形线 ,的全长的全长.用参数方程的弧长公式用参数方程的弧长公式 设设曲曲线线弧弧由由极极坐坐标标方方程程 ()()给给出出 其其中中()在在 上具有连续导数
13、上具有连续导数 因为因为 x ()cos y ()sin ()所以弧长元素为所以弧长元素为 曲线弧的长为曲线弧的长为 极坐标情形极坐标情形 曲线曲线 ()()的弧长：的弧长：例例1515 求阿基米德螺线求阿基米德螺线 a (a0)相应于相应于 从从0到到2 一段的弧长一段的弧长 解解 于是所求弧长为于是所求弧长为 弧长元素为弧长元素为曲线曲线y f(x)(a x b)的弧长：的弧长：曲线曲线x (t)、y (t)(t )的弧长：的弧长：第三第三一、一、变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功二、二、液体的侧压力液体的侧压力定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用 一、一、变力沿直线所作的功变力
14、沿直线所作的功设物体在连续变力设物体在连续变力 F(x)作用下沿作用下沿 x 轴从轴从 xa 移动到移动到力的方向与运动方向平行力的方向与运动方向平行,求变力所做的功求变力所做的功.在其上所作的功元在其上所作的功元素为素为因此变力因此变力F(x)在区间在区间 上所作的功为上所作的功为例例1.一个单一个单求电场力所作的功求电场力所作的功.解解:当单位正电荷距离原点当单位正电荷距离原点 r 时时,由由库仑定律库仑定律电场力为电场力为则功的元素为则功的元素为所求功为所求功为位正电荷沿直线从距离点电荷位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到处移动到 b 处处(a b),在一个带在一个带+q 电荷所产生
15、的电场作用下电荷所产生的电场作用下,面积为面积为 A 的平板的平板二、液体侧压力二、液体侧压力设液体密度为设液体密度为 深为深为 h 处的压强处的压强:当平板与水面平行时当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决所受侧压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为平板一侧所受的压力为小窄条上各点的压强例例4.的的液体液体,求桶的一个端面所受的侧压力求桶的一个端面所受的侧压力.解解:建立坐标系如图建立坐标系如图.所论半圆的所论半圆的利用对称性利用对称性,侧压力元素侧压力元素端面所受侧压力为端面所受侧压力为方程为方程为一水平横放的半径为一水平横放的半径为R 的圆桶的圆桶,内盛半桶密度为内盛半桶密度为 说明说明:当桶内充满液体时当桶内充满液体时,小窄条上的压强为小窄条上的压强为侧压力元素侧压力元素故端面所受侧压力为故端面所受侧压力为奇函数奇函数