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1、第二章 有限差分方法基础2.1 有限差分方法概述2.2 导数的数值逼近方法2.3 差分格式的性质2.4 发展方程的稳定性分析第1页/共81页2.1 有限差分方法概述 以一维非定常热传导方程为例，介绍有限差分方法的概念、简单构造方法和求解过程。2.1.1 基本方程和定解问题方程(2.1.1)和初边条件(2.1.2)构成了一个适定的定解问题。有限差分方法：对于一个偏微分方程，如果把方程中的所有偏导数近似地用代数差商(Algebraic Difference Quotient)代替，则可以用一组代数方程近似地替代这个偏微分方程，进而得到数值解，这种方法称为有限差分方法(Finite Differen
2、ce Method)。第2页/共81页2.1.2 求解域及偏导数的离散化 为了用有限差分方法求解式(2.1.1)，需要把其中的偏导数表示为代数形式，为此，首先要把自变量从连续的分布变为离散形式。这个过程称为求解域的离散化。1.空间求解域的离散化把空间求解域分为M段（均匀剖分）2.时间变量的离散化把感兴趣的时间段(t=T之前)分为N段（均匀剖分），则时间方向的求解域可以划分为第3页/共81页 求解域被划分为一系列离散的时空网格点 图2.1 求解域的离散化 3.解的离散表示目标：求出所有网格点上物理量u的近似解。第4页/共81页 4.导数的数值逼近把方程中的偏导数项近似表示为代数形式。第5页/共8
3、1页第6页/共81页第7页/共81页第8页/共81页2.1.3 差分格式同一偏导数可以有不同的近似方法，不同的导数近似方法导致方程的不同的有限差分近似。1.FTCS(Forward difference in Time,Central difference in Space)格式时间方向用前差近似，空间二阶导数用中心差分近似。对初始条件和边界条件的离散化式(2.1.9)(2.1.12)称为方程(2.1.1)的一个有限差分方程或有限差分格式(finite difference scheme)。第9页/共81页2.BTCS(Backward difference in Time,Central d
4、ifference in Space)格式时间方向用后差近似，空间二阶导数用中心差分近似。在研究数值方法时，通常把 tn 时刻的物理量视为已知量，而把 tn+1 时刻的物理量作为待求的未知量。因此，式(2.1.13)可以改写成第10页/共81页2.1.4 差分方程的求解1.FTCS 格式可以改写为可见，在FTCS格式中，某一点的数值解只依赖于前一时间步的三个点，如图2.2所示。图2.2：FTCS格式的模板点第11页/共81页FTCS格式的求解过程第12页/共81页2.BTCS 格式可以改写为跟FTCS格式不同，BTCS格式中同时涉及到 n+1 时刻的多个未知量，不能递推求解，称为隐式格式(im
5、plicit scheme)。图2.3：BTCS格式的模板点BTCS格式的求解过程第13页/共81页第14页/共81页第15页/共81页2.1.5 用时间相关方法求解定常问题考虑非定常热传导方程和定解条件第16页/共81页第17页/共81页BTCS格式的求解过程FTCS格式的求解过程第18页/共81页2.2 导数的数值逼近方法2.2.1 精度分析 在上一节，我们得到了一阶偏导数的前差、后差和中心差分近似，以及二阶导数的中心差分近似。这些近似方法逼近偏导数的程度如何呢？可以用Taylor展开式进行分析。第19页/共81页第20页/共81页 一般来讲，对偏导数的近似精度越高，差分格式的精度越高。第
6、21页/共81页例：一维非定常热传导方程的FTCS格式中涉及的导数差分近似的精度。第22页/共81页2.2.2 导数差分近似的待定系数法第23页/共81页第24页/共81页第25页/共81页第26页/共81页2.2.3 导数差分近似方法的差分算子法1.差分算子的定义 算子，一种前置运算符。算子和它后面的作用量一起代表一种确定的运算过程。在引入差分算子的定义之前，先介绍一种特殊的算子移位算子。移位算子的运算规则为移位算子的下标表示移位的方向，上标表示移位的步数。第27页/共81页差分算子：移位算子和可以表示为移位算子函数的算子。差分方法中常用的算子：第28页/共81页2.差分算子之间的关系第29
7、页/共81页所有的差分算子均可用Taylor展开式来估算截断误差项的量级。第30页/共81页3.微分算子与差分算子的关系第31页/共81页4.导数的近似 根据差分算子之间的转化关系，可以建立微分算子与其它差分算子之间的联系，从而得到导数的数值近似公式。即：第32页/共81页即：与待定系数法得到的结果一致。第33页/共81页即：第34页/共81页5.紧致格式 从上面的推导可以看出，导数的有限差分近似精度越高，所需要的模板点越多。对于一阶导数，一般需要5个点才能得到四阶精度的差分近似。模板点数太多不仅使数值方法变得复杂，也给边界附近的处理带来一定困难。紧致格式：用较少的模板点构造导数的高阶近似。第
8、35页/共81页第36页/共81页基于Pade近似的导数近似方法，称为紧致格式(compact scheme)。第37页/共81页第38页/共81页第39页/共81页2.3 差分格式的性质2.3.1 范数的定义及性质1.向量范数第40页/共81页2.算子范数第41页/共81页第42页/共81页2.3.2 差分格式的精度差分格式是微分方程的近似，通常用局部截断误差(local truncation error)衡量差分格式逼近微分方程的程度。第43页/共81页第44页/共81页第45页/共81页如果时间步长和空间步长之间满足一定的关系，FTCS格式时间方向可达到二阶精度，空间方向可达到四阶精度。
9、根据差分格式精度的定义，按照上面的分析，FTCS格式时间方向是一阶精度，空间方向是二阶精度。第46页/共81页2.3.3 差分格式的相容性截断误差是在网格点上逐点定义的。定义中每个网格点上的数值解构成一个解向量，每一个网格点上的截断误差也构成一个向量。因此，可以用向量范数来刻画差分格式的局部截断误差。第47页/共81页2.3.4 差分格式的收敛性和稳定性1.差分方程的矩阵形式考虑线性的发展方程（双曲型方程和抛物型方程）的差分格式。发展型方程的一般形式：以非定常热传导方程的FTCS格式为例，将差分格式写成矩阵形式：FTCS格式：解向量记为：考虑到边界条件，则差分格式可以写为：第48页/共81页2
10、.整体截断误差局部截断误差：差分方程逼近微分方程的程度整体截断误差：差分方程的解逼近微分方程的精确解的程度第49页/共81页第50页/共81页3.差分格式的收敛性和稳定性差分格式的收敛性对于保证数值解的有效性是非常重要的。如果差分格式是收敛的，那么，当计算网格足够密时，数值解将相当接近精确解。差分格式的稳定性等价于差分方程数值解的一致有界性。第51页/共81页第52页/共81页上述定理建立了算子范数的一致有界性与稳定性之间的关系。当差分格式稳定时，整体截断误差和局部截断误差量级相同。第53页/共81页第54页/共81页Lax等价性定理是计算流体力学中的一个重要定理。直接分析差分格式的收敛性比较
11、困难，而稳定性分析则比较简单。Lax定理告诉我们，在一定条件下，收敛性和稳定性是等价的；通过稳定性分析，即可确定差分格式的收敛条件。4.稳定性的意义第55页/共81页2.4 发展方程的稳定性分析2.4.1 矩阵方法第56页/共81页第57页/共81页第58页/共81页第59页/共81页第60页/共81页2.4.2 Von Neumann稳定性理论第61页/共81页第62页/共81页第63页/共81页第64页/共81页第65页/共81页第66页/共81页第67页/共81页第68页/共81页第69页/共81页第70页/共81页2.4.3 稳定性分析实例第71页/共81页第72页/共81页第73页/共81页第74页/共81页第75页/共81页第76页/共81页第77页/共81页第78页/共81页第79页/共81页第80页/共81页感谢您的欣赏第81页/共81页