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1、第3章 有限差分方法基础有限差分方法基础廖敦明材料学院 华铸软件中心Tel：1有限差分法基础有限差分法基础讲义讲义2主要内容1、差分原理及逼近误差2、差分方程，截断误差和相容性3、收敛性与稳定性4、Lax等价定理31.1.微分方程？微分方程？2.2.常微分方程？常微分方程？3.3.偏微分方程？偏微分方程？4.4.导数？数？5.5.微分？微分？6.6.差分？差分？7.7.差商？差商？几个概念几个概念41.1.微分方程微分方程？几个概念几个概念5FDM3有限差分法（FDM），又称泰勒展开差分法，最早用于传热的计算方法。该方法具有差分公式导出简单和计算成本低等优点，目前已成为应用最为广泛的数值分析方
2、法之一，绝大部分流动场和温度场数值模拟计算均采用此方法。FDM在缩孔、缩松预测，组织形态预测及流动场模拟等方面都表现出很大优势及良好的前景。在铸造领域中，FDM经过三十年的发展，已在温度场、流场模拟、缺陷预测等方面取得了丰硕成果，涌现出许多商品化软件，如德国的MagmaSoft，瑞典的NovaCast，美国的FLOW-3D，芬兰的CASTCAE以及国内清华大学研制的FT-Star，华中科技大学的华铸CAE等。概述概述-有限差分法应用有限差分法应用1、差分原理、差分原理设有x的解析函数y=f(x)，从微分学知道函数y对x的导数为：是函数对自变量的导数，又称微商；、分别称为函数及自变量的差分，为函
3、数对自变量的差商。6第一节 差分原理及逼近误差where，is density（kg/m3）;is specific heat（J/kgK）；）；T is temperature（K）;t is time（s）;is thermal conductivity（W/mK）;is latent heat.三三维温度温度场控制方程控制方程傅里叶傅里叶热传导方程（方程（Fourier equation）：）：78差分离散化：差分离散化：根据微分定义可知，式中，T 当前时刻温度；下一时刻温度；两时刻间的间隔。9一一阶差分：差分：（图示）示）向前差分（1-2）向后差分（1-3）中心差分（1-4）0 10上
4、面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。对一阶差分再作一阶差分，所得到的称为二阶差分，记为 。以向前差分为例，有（1-5）二二阶差分：差分：112、请分分别写出二写出二阶向前、向后、中心向前、向后、中心差分格式：差分格式：（1）二）二阶差分向前差分？差分向前差分？（2）二）二阶差分向后差分？差分向后差分？（3）二）二阶中心差分？中心差分？课堂作堂作业：1、请写出一写出一阶差分格式差分格式12二二阶差分向后差分差分向后差分二二阶中心差分中心差分二二阶差分向前差分差分向前差分13 依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。例如n 阶向前差分向前差分为：（1-6）14 函数的差分与自变
5、量的差分之比，即为函数对自变量的差商。一阶向前差商为：一阶向后差商为：（1-7）（1-8）差商：差商：15一阶中心差商为：或（1-9）（1-10）16以上是一元函数的差分与差商。多元函数f(x,y,)的差分与差商也可以类推。如一阶向前差商为（1-12）（1-13）172、不同的差分格式a)、泰勒级数展开将 在点 按泰勒级数展开，则有：导数的差分表达式不是唯一的。作业：用taylor级数展开，推导一阶向前差商，一阶向后差商。18第三层第二层第一层第一第一层网格网格图及其及其标号号 1920b)、差分格式的选取 21混合二阶导中心差分22端点差分公式中心差分公式是以相隔2h的两结点处的函数值来表示
6、中间结点处的一阶导数值。有时也需要用到另一种形式的差分公式，它以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值，可称为端点导数公式。23X-Y平面有限差分离散图24得出关于得出关于结点点0，1，9的端点差分公式：的端点差分公式：在上图中的结点1,即：在上图中的结点9，即：按泰勒级数展开得出：25再从式（1）和式（2）中消去 即得一阶端点导数公式：同理，得出关于结点0、3、11的端点导数公式：26Y方向的端点差分公式方向的端点差分公式27中心差分公式与端点差分公式的比中心差分公式与端点差分公式的比较中心差分公式与端点差分公式相比，精度较高，因为前者反映了结点两边的函数变化，而后者却只反映结点一
7、边的函数变化。(参见下页)据此，我们总是尽可能应用中心差分公式，而只有在无法应用中心差分公式时，才不得不用端点差分公式。28X-Y平面有限差分离散图29求解偏微分方程的有限差分方法求解偏微分方程的有限差分方法考考虑一个典型的二一个典型的二维二二阶稳态问题，寻找函数找函数u(x,y):R，使得：使得：3031节点点(xi,yi)处的真的真实解解u(xi,yi)的近似的近似值记为ui,j(有限差分有限差分)，0iNx且且0jNy，如，如图所示。有限差分方法的基本思想是用几个所示。有限差分方法的基本思想是用几个临近点近点处的函数的函数值近似一元函数近似一元函数(x)在点在点x处的的导数数 ：其中其中
8、h为一个很小的正数。将式一个很小的正数。将式39代入式代入式37的一的一阶导数数项，得：，得：32代入二代入二阶导数数项得：得：其中，其中，记号号ai,j表示任一系表示任一系统函数函数a(x,y)在点在点(xi,yi)处的的值a(xi,yi),ai+1/2,j表示表示a(xi+1/2,j,yj)，且，且xi+1/2,j=xi+hx/2。33这样方程（方程（37）在任一内部）在任一内部结点点(xi,yj)处可以用一个有限差分公式近似：可以用一个有限差分公式近似：34在每个在每个边界界节点点处，解由，解由Dirichlet条件（条件（38）决定：）决定：35第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（1
9、/5）由导数（微商）和差商的定义知道，当自变量的差分（增量）趋近于零时，就可由差商得到导数。因此在数值计算中常用差商近似代替导数。差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差。由函数的Taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量）的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度。2逼近逼近误差差36第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（1/5）现将函数在x的邻域作Taylor展开：（1-14）（1-15）符号O（）表示与（）中的量有相同量级的量。把 中的指数n作为精度的阶数。这里n=1，故一阶向前差商具有一阶精度。37第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（2/5）一阶
10、向后差商也具有一阶精度。（1-16）38第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（3/5）将与的Taylor展开式可见一阶中心差商具有二阶精度。（1-17）相减可得39第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（4/9）将与的Taylor展开式相加可得这说明二阶中心差商的精度也为二阶（1-18）40第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（5/5）设有函数f(x)，自变量x的增量为，若取对应的函数值为，则f(x)在xi处的n阶差分可表达为式中cj为给定系数，J1和J2是两个正整数。（1-19）（1-20）当J1=0时，称为向前差分；当J2=0时，称为向后差分；当J1=J2且 时，称为中心差分。41在有些情况
11、下要求自变量的增量本身是变化的，如图1-1中的 、，是不相等的，相应的差分和差商就是不等距的。Ox图1-1 非均匀步长差分3非均匀步非均匀步长一阶向后差商一阶中心差商（1-22）（1-23）42第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（1/3）从上节所述可知，差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可得到有限形式的差分方程。现以对流方程为例，列出对应的差分方程。（2-1）43图2-1 差分网格第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（2/3）44若时间导数用一阶向前差商近似代替，
12、即空间导数用一阶中心差商近似代替，即则在点的对流方程就可近似地写作（2-2）（2-3）（2-4）第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（3/3）45第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（1/6）按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间向前差商代替时间导数时的逼近误差为 ,用空间中心差商代替空间导数时的逼近误差为，因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，它是这也可由Taylor展开得到。因为（2-5）（2-6）46（2-6）47第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（2/6）一个与时间相关的物理问题，应用微分方程表示时，还必须给定初始条件，从而形成一个完整的初值问题。对
13、流方程的初值问题为这里为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件：初始条件是一种定解条件。如果是初边值问题，定解条件中还应有适当的边界条件。差分方程和其定解条件一起，称差分方程和其定解条件一起，称为相相应微分方程定解微分方程定解问题的差分格式。的差分格式。（2-7）（2-8）48第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（3/6）FTCS格式（2-9）FTFS格式（2-10）（2-11）FTBS格式49第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（5/6）(a)FTCS (b)FTFS (c)FTBS图2-2 差分格式50第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（6/6）FTCS格式的
14、截断误差为FTFS和FTBS格式的截断误差为（2-12）（2-13）3种格式对都有一阶精度。51第二节 差分方程、截断误差和相容性/相容性（1/3）一般说来，若微分方程为其中D是微分算子，f 是已知函数，而对应的差分方程为其中是差分算子，则截断误差为这里为定义域上某一足够光滑的函数，当然也可以取微分方程的解 。（2-14）（2-15）（2-16）如果当、时，差分方程的截断误差的某种范数也趋近于零，即则表明从截断误差的角度来看，此差分方程是能用来逼近微分方程的，通常称这样的差分方程和相应的微分方程相容相容（一致）。如果当、时，截断误差的范数不趋于零，则称为不相容（不一致），这样的差分方程不能用来
15、逼近微分方程。（2-17）52第二节 差分方程、截断误差和相容性/相容性（2/3）若微分问题的定解条件为其中B是微分算子，g是已知函数，而对应的差分问题的定解条件为其中是差分算子，则截断误差为（2-18）（2-19）（2-20）所谓相容性，是指当自变量的步长趋于零时，差分格式与微分问题的截断误差的范数是否趋于零，从而可看出是否能用此差分格式来逼近微分问题。53第二节 差分方程、截断误差和相容性/相容性（3/3）只有方程相容，定解条件也相容，即和整个问题才相容。（2-21）54第三节 收敛性与稳定性/收敛性（1/6）所谓相容性，是指当自变量的步长趋于零时，差分格式与微分问题的截断误差的范数是否趋
16、于零，从而可看出是否能用此差分格式来逼近微分问题。然而，方程（无论是微分方程或是差分方程）是物理问题的数学表达形式，其目的是为了借助数学的手段来求问题的解。因此，除了必须要求差分格式能逼近微分方程和定解条件（表明这两种数学表达方法在形式上是一致的）外，还进一步要求差分格式的解（数值解）与微分方程定解问题的解（精确解）是一致的（表明这两种数学表达方法的最终结果是一致的）。即当步长趋于零时，要求差分格式的解趋于微分方程定解问题的解。我们称这种是否趋于微分方程定解问题的解的情况为差分格式的收敛性。55第三节 收敛性与稳定性/收敛性（1/6）更明确地说，对差分网格上的任意结点，也是微分问题定解区域上的
17、一固定点，设差分格式在此点的解为 ,相应的微分问题的解为，二者之差为称为离散化误差。如果当、时，离散化误差的某种范数趋近于零，即则说明此差分格式是收敛的，即此差分格式的解收敛于相应微分问题的解，否则不收敛。与相容性类似，收敛又分为有条件收敛和无条件收敛。（3-1）、（3-2）56第三节 收敛性与稳定性/收敛性（2/6）57第三节 收敛性与稳定性/收敛性（3/6）相容性不一定能保证收敛性，那么对于一定的差分格式，其解能否收敛到相应微分问题的解？答案是差分格式的解收敛于微分问题的解是可能的。至于某给定格式是否收敛，则要按具体问题予以证明。下面以一个差分格式为例，讨论其收敛性：微分问题的FTBS格式
18、为在某结点（xi,tn）微分问题的解为，差分格式的解为，则离散化误差为（3-6）（3-5）（3-4）58第三节 收敛性与稳定性/收敛性（4/6）按照截断误差的分析知道以FTBS格式中的第一个方程减去上式得或写成若条件和成立，即，则式中表示在第n层所有结点上的最大值。（3-7）（3-8）（3-9）（3-10）59第三节 收敛性与稳定性/收敛性（5/6）由上式知，对一切i有故有于是综合得（3-11）（3-13）（3-12）（3-14）60第三节 收敛性与稳定性/收敛性（6/6）由于初始条件给定函数的初值，初始离散化误差。并且是一有限量，因而可见本问题FTBS格式的离散化误差与截断误差具有相同的量级
19、。最后得到这样就证明了，当时，本问题的RTBS格式收敛。这种离散化误差的最大绝对值趋于零的收敛情况称为一致收敛。（3-15）（3-16）此例介绍了一种证明差分格式收敛的方法，同时表明了相容性与收敛性的关系：相容性是收敛性的必要条件，但不一定是充分条件，还可能要求其他条件，如本例就是要求。61第三节 收敛性与稳定性/稳定性（1/8）首先介绍一下差分格式的依赖区间、决定区域和影响区域。还是以初值问题为例。先看FTCS格式，如图3-1（a）欲计算第二层p点的函数值，必先知道第一层上a、b、c这3点的函数值，故说p点的解依赖于a、b、c这3点的解。而a点的解又依赖于第0层（初值线）上A、d、e的初值，
20、b点的解依赖于d、e、f的初值，c点的解依赖于e、f、B的初值。因此p点的解依赖于初值线AB段上所有结点的初值，故称AB段上所有结点为p点的依赖区间。又，三角形pAB区域内任一结点的依赖区间都包含在AB之内，即该区域内任一结点上的解都由AB段上某些结点的初值所决定，而与AB以外结点的初值无关，故称此三角形区域为AB区间所决定的区域。这里为方便起见，是以第二层的p点为例的，事实上对任意层的任一结点，都在初始层上有一对应的依赖区间，而初始层的任一区间都有一对应的决定区域。（3-17）(a)FTCS (b)FTFS (c)FTBS 图3-1差分格式的依赖区间62第三节 收敛性与稳定性/稳定性（2/8
21、）随着时间的推移，一点函数值将影响以后某些结点的解。如图3-2，设p为第n层的某结点，当用FTCS格式计算第n+1层上的结点值时，a、b、c这3点的解必须用到p点的函数值，在第n+2层上则有更多点的解受p点函数值的影响。所有受p点函数值影响的结点总和为p点的影响区域，如图3-2中阴影所示区域。(a)FTCS格式 (b)FTFS格式 (c)FTBS格式图3-2差分格式的影响区域63第三节 收敛性与稳定性/稳定性（3/8）例如微分问题 其解为零，即。若用FTBS格式计算，且计算中不产生任何误差，则结果也是零，即由上可知，同一微分问题，当采用不同差分格式时，其依赖区间、决定区域和影响区域可以是不一样
22、的。依赖区间、决定区域和影响区域是由差分格式本身的构造所决定的，并与步长比有关。（3-18）（3-19）假设在第k层上的第j点，由于计算误差得到。不妨设k=0,j=0,，即相当于FTBS格式写成（3-20）64第三节 收敛性与稳定性/稳定性（4/8）现分别取和2，列表计算如下：（1）40000 1 16 1 4 3 8 1 4 1 1630000 1 8 3 8 3 8 1 8020000 1 4 1 2 1 40010000 1 2 1 20000000010000-4-3-2-101234ni65第三节 收敛性与稳定性/稳定性（5/8）（2）n40000000013000000010200
23、000010010000010000000010000-4-3-2-101234i66第三节 收敛性与稳定性/稳定性（6/8）（3）n400001-824-321630000-16-1280200001-440010000-120000000010000-4-3-2-101234这个例子一方面显示了该格式的影响区域，另一方面还显示了当值不同时，计算误差所产生的影响在数值上有很大的不同。当时，所产生的影响在数值上不再扩大；当时，所产生的影响在数值上将越来越大。数值上的差别引出了质的不同，因而出现了稳定性问题。i67第三节 收敛性与稳定性/稳定性（7/8）差分格式的数值稳定性，早在1928年就由R
24、.Courant、K.O.Friedrichs和H.Lewy 等人发现，并提出了关于双曲型方程差分格式稳定性的必要条件（简称CFL条件）。此后在这方面作了不少研究工作。1950年公开发表了von Neumann提出的稳定性分析法，这是现在比较广泛地用来确定稳定性准则的一种分析方法。在有限差分法的具体运算中，计算误差总是不可避免的，如舍入误差，以及这种误差的传播、积累。然而人们通过大量的实践和理论分析发现，同一问题的各种差分格式在某一定条件下，对误差的敏感程度不一样。例如某种格式在某一定条件下，若计算中某处产生了误差，则这个误差将对以后的计算产生影响。如果这一误差对以后的影响越来越小，或是这个影
25、响保持在某个限度以内，像上面例子中 的情况，那么就称这个差分格式在给定的条件下稳定，这个条件就是它的稳定准则。如果误差的影响随着n的增大越来越大，像上面 的情况，使计算的结果随着n的增大越来越偏离差分格式的精确解，而毫无实用价值，那么这种情况就是不稳定的。实际表明，有些格式在一定条件下稳定；有些格式在任何情况下都不稳定，称为完全不稳定。有些格式是无条件稳定的，称为完全稳定。68第三节 收敛性与稳定性/稳定性（8/8）现在以适当的数学式子给出稳定性定义。为此将差分解表示为连续函数Z(x，t)，则稳定性的一种定义为这里K是某个有限常数，称为Lipschitz常数，不随、而变。这就是说，当上述不等式
26、成立时，其中和分别是对应于微分方程和定解条件的差分算子，K1、K2分别是对应于、的Lipschitz常数。若取则为在建立了稳定性概念之后，可以进一步判定格式是否稳定，或在什么条件下稳定，因篇幅关系，这里不再详述。（3-21）只要差分问题初始值所含的误差为小量时，此后的解与差分问题的精确解的误差也一定为小量。由于计算误差不仅可以来自初值（包括在某一时刻前的任一时刻），还可以来自边界值，而且可以来自右端项，所以也有将稳定性定义为（3-22）（3-23）（3-24）69第四节 Lax等价定理（1/4）前面讨论了差分问题的相容性、收敛性和稳定性。已经知道，相容性是收敛性的必要条件；还发现，稳定性与收敛
27、性有一定的联系。Lax等价定理就是阐述相容性、收敛性和稳定性三者之间关系的。Lax等价定理：对一个适定的线性微分问题及一个与其相容的差分格式，如果该格式稳定则必收敛，不稳定必不收敛。换言之，若线性微分问题适定，差分格式相容，则稳定性是收敛性的必要和充分条件。这也可表示为70第四节 Lax等价定理（2/4）下面对此定理作一些简略的说明。由于在定解域内有其中D和分别为微分算子和差分算子，是线性的；f是已知函数；和Z分别为微分解和差分解。两式相减得改写成因为算子是线性的，故式中第一个 内相当于；而第二个 内就是截断误差R，所以有（4-1）（4-2）（4-3）（4-4）71第四节 Lax等价定理（3/
28、4）若定解条件为及其中B和分别为微分算子和差分算子，且是线性的；g为已知函数。按照以上对方程的同样推导法，可导得其中是截断误差。若差分格式是稳定的，按稳定性的定义，应该有将（4-4）式、（4-6）式代入得当差分格式相容时，可得从而保证了收敛性。（4-5）（4-6）（4-7）（4-8）（4-9）72第四节 Lax等价定理（4/4）根据此定理，在线性适定和格式相容的条件下，只要证明了格式是稳定的，则一定收敛；若不稳定，则不收敛。由于收敛性的证明往往比稳定性更难，故人们就可以把注意力集中在稳定性的研究上。73参考文献1顾尔祚编.流体力学中的有限差分法基础，上海交通大学出 版社，1988。2钱壬章等编.传热分析与计算，高等教育出版社，1987。3日大中逸雄.计算机传热凝固解析入门铸造过程中的应 用，机械工业出版社，1988。4美施天谟著.计算传热学，科学出版社，1987。5傅德薰主编.流体力学数值模拟，国防工业出版社，1993。谢谢！