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1、1第第2章章 有限差分法基础有限差分法基础2-1 2-1 差分原理及逼近误差差分原理及逼近误差2-2 2-2 差分方程，截断误差和相容性差分方程，截断误差和相容性2-3 2-3 收敛性与稳定性收敛性与稳定性2-4 2-4 LaxLax等价定理等价定理2-5 2-5 利用有限差分法求解应用问题的一般步骤利用有限差分法求解应用问题的一般步骤2-6 2-6 应用数值方法模拟材料成形的若干注意事项应用数值方法模拟材料成形的若干注意事项Finite difference method (FDM) 2第第2章章 有限差分法基础有限差分法基础有限差分法有限差分法: : 将连续求解域划分成差分网格（最简单的差
2、分网格将连续求解域划分成差分网格（最简单的差分网格是矩形网格），用有限个节点代替原连续求解域，用差是矩形网格），用有限个节点代替原连续求解域，用差商代替控制微分方程中的导数，并在此基础上建立含有商代替控制微分方程中的导数，并在此基础上建立含有限个未知数的节点差分方程组；代入初始条件和边界条限个未知数的节点差分方程组；代入初始条件和边界条件后求解差分方程组；该差分方程组的解就是元微分方件后求解差分方程组；该差分方程组的解就是元微分方程定解问题的数值近似解。程定解问题的数值近似解。3第第2章章 有限差分法基础有限差分法基础有限差分法有限差分法: : 优点：优点：是一种直接将微分问题转变成代数问题的
3、近是一种直接将微分问题转变成代数问题的近似数值解法，其最大特点是网格划分规整，无需构建形似数值解法，其最大特点是网格划分规整，无需构建形函数，不存在单元分析和整体分析，数学建模简便，但函数，不存在单元分析和整体分析，数学建模简便，但不太适合处理具有复杂边界条件的工程问题。不太适合处理具有复杂边界条件的工程问题。不足：不足：在处理求解对象的集合边界上缺乏灵活性，即边在处理求解对象的集合边界上缺乏灵活性，即边界节点（网格交点）没有全部坐落在边界线（面）上。界节点（网格交点）没有全部坐落在边界线（面）上。 适合用于传热、流动等工程问题的求解。适合用于传热、流动等工程问题的求解。4第第2章章 有限差分
4、法基础有限差分法基础有限差分法有限差分法: :直观，理论成熟，精度可选。但是不规则直观，理论成熟，精度可选。但是不规则区域处理繁琐，虽然网格生成可以使区域处理繁琐，虽然网格生成可以使FDMFDM应用于不规则应用于不规则区域，但是对区域的连续性等要求较严。使用区域，但是对区域的连续性等要求较严。使用FDMFDM的好的好处在于易于编程，易于并行。处在于易于编程，易于并行。 有限元方法有限元方法: :适合处理复杂区域，精度可选。缺憾在于适合处理复杂区域，精度可选。缺憾在于内存和计算量巨大。并行不如内存和计算量巨大。并行不如FDMFDM直观。不过直观。不过FEMFEM的并行的并行是当前和将来应用的一个
5、不错的方向。是当前和将来应用的一个不错的方向。 52-12-1差分原理及逼近误差1差分原理差分原理 设有设有x的解析函数的解析函数y=f(x)，从微分学知道，从微分学知道函数函数y对对x的导数为的导数为 xxfxxfxydxdyxx )()(limlim00dxdy是函数对自变量的导数，又称是函数对自变量的导数，又称微商微商； y、x 分别称为函数及自变量的分别称为函数及自变量的差分差分，xy 为函数对自变量的为函数对自变量的差商差商。 （2-1）Finite difference method (FDM) 6向前差分向前差分)()(xfxxfy)()(xxfxfy)21()21(xxfxxf
6、y（2-2）向后差分向后差分（2-3）中心差分中心差分（2-4）x0 2-12-1差分原理及逼近误差差分原理及逼近误差Finite difference method (FDM) 7 上面谈的是一阶导数，对应的称为上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分一阶差分。对一阶差。对一阶差分再作一阶差分，所得到的称为分再作一阶差分，所得到的称为二阶差分二阶差分，记为，记为 。y2以以向前差分向前差分为例，有为例，有 )()(2)2( )()()()2( )()( )()( )(2xfxxfxxfxfxxfxxfxxfxfxxfxfxxfyy2-12-1差分原理及逼近误差（2-5）Finite diffe
7、rence method (FDM) 8 依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。例如例如n 阶前差分为阶前差分为 )()( )( )( )(21xfxxfyyyynnn2-12-1差分原理及逼近误差（2-6）Finite difference method (FDM) 9 函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商差商。 一阶向前差商一阶向前差商为为 xxfxxfxy)()(一阶向后差商一阶向后差商为为 xxxfxfxy)()(2-12-1差分原理及逼近误差差
8、分原理及逼近误差（2-8）（2-7）Finite difference method (FDM) 10一阶中心一阶中心差商差商为为xxxfxxfxy)21()21(或或xxxfxxfxy2)()(2-12-1差分原理及逼近误差差分原理及逼近误差（2-9）（2-10）Finite difference method (FDM) 11二阶差商多取中心式，即二阶差商多取中心式，即222)()()(2)(xxxfxfxxfxy当然，在某些情况下也可取向前或向后的二阶差商。当然，在某些情况下也可取向前或向后的二阶差商。 2-12-1差分原理及逼近误差（2-11）Finite difference met
9、hod (FDM) 12以上是一元函数的差分与差商。多元函数以上是一元函数的差分与差商。多元函数f(x,y,)的差分与差商也可以类推。的差分与差商也可以类推。如一阶向前差商为如一阶向前差商为,),(),(xyxfyxxfxf,),(),(yyxfyyxfyf2-12-1差分原理及逼近误差差分原理及逼近误差（2-13）（2-12）Finite difference method (FDM) 13 由导数（由导数（微商微商）和）和差商差商的定义知道，当自变量的的定义知道，当自变量的差分差分（增量）趋近于（增量）趋近于零时，就可零时，就可由差商得到导数由差商得到导数。因此在数值计算中。因此在数值计算
10、中常用差商近似代替导数常用差商近似代替导数。差商与导数之间的误差表明差商与导数之间的误差表明差商差商逼近导数的程度，逼近导数的程度，称为称为逼近误差逼近误差。由函数。由函数的的Taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量）的展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量）的量级量级，称，称为用差商代替导数的精度，简称为为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度差商的精度。现将函数现将函数在在x的的 邻域作邻域作Taylor展开：展开：)()(! 4)()(! 3)()(! 2)()()()(5432xOxfxxfxxfxxfxxfxxfIV )()( )()(! 4)()(! 3)(!
11、 2)()()()( 432xOxfxOxxfxxfxxfxfxxfxxfIV 2 2逼近误差逼近误差2-12-1差分原理及逼近误差差分原理及逼近误差（2-14）Finite difference method (FDM) 14)()()()( ),)()(! 4)()(! 3)( )(! 2)()()()( 5432xOxfxxxfxfxOxfxxfxxfxxfxxfxxfIV 一阶一阶向后差商向后差商也具有也具有一阶精度一阶精度。2-12-1差分原理及逼近误差（2-15）（2-16）Finite difference method (FDM) 15将将)(xxf与与)(xxf的的Taylo
12、r展开式相减可得展开式相减可得)()(2)()(2xOxfxxxfxxf可见一阶可见一阶中心差商中心差商具有二阶精度。具有二阶精度。（1-17）2-12-1差分原理及逼近误差Finite difference method (FDM) 16将将)(xxf与与)(xxf的的Taylor展开式相加可得展开式相加可得)()()()(2)(22xOxfxxxfxfxxf 这说明这说明二阶中心差商二阶中心差商的精度也为二阶的精度也为二阶 （1-18）2-12-1差分原理及逼近误差由于由于 是个小量，因而阶数越大精度越高！是个小量，因而阶数越大精度越高！x Finite difference method
13、 (FDM) 172ix在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，如图在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，如图2-1中的中的1ix1iixx 和，是不相等的，相应的差分和差商就是不等距的。，是不相等的，相应的差分和差商就是不等距的。Ox2ix1ixix1ix2ix2ix1ixix1 ix图图2-1 非均匀步长差分非均匀步长差分3 3非均匀步长非均匀步长一阶向后差商一阶向后差商11)()(iiiixxxfxf一阶中心差商一阶中心差商11)()(iiiiiixxxxfxxf （1-22）（1-23）2-12-1差分原理及逼近误差Finite difference method (FDM) 1
14、8图图2-2 2-2 均匀和非均匀网格实例均匀和非均匀网格实例1 12-12-1差分原理及逼近误差Finite difference method (FDM) 19图图2-3 2-3 均匀和非均匀网格实例均匀和非均匀网格实例2 22-12-1差分原理及逼近误差Finite difference method (FDM) 202-22-2差分方程、截断误差和相容性0 xt 从上节所述可知，从上节所述可知，差分相应于微分，差商相应于导数差分相应于微分，差商相应于导数。只。只不过不过差分和差商是用有限形式表示差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数则是以极的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果
15、将微分方程中的导数用相应的差商近似代限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可得到替，就可得到有限形式的差分方程有限形式的差分方程。现以对流方程为例，列出。现以对流方程为例，列出对应的差分方程。对应的差分方程。（2-1）对流系数对流系数 对流场函数对流场函数),(tx 微分方程用于连续对象问题，微分方程用于连续对象问题，差分方程用于离散对象问题差分方程用于离散对象问题1 1、差分方程、差分方程Finite difference method (FDM) 21, 2 , 1 , 0 ,0ixixxi, 2 , 1 , 0 , ntntn图图2-4 差分网格差分网格2-22-2
16、差分方程、截断误差和相容性1 1、差分方程、差分方程Finite difference method (FDM) 22若时间导数用一阶向前差商近似代替，即若时间导数用一阶向前差商近似代替，即ttninini1空间导数用一阶中心差商近似代替，即空间导数用一阶中心差商近似代替，即xxninini211则在则在),(nitx点的对流方程就可近似地写作点的对流方程就可近似地写作02111xtnininini（2-2）（2-3）（2-4）2-22-2差分方程、截断误差和相容性1 1、差分方程、差分方程Finite difference method (FDM) 23按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间
17、向前差商代替时间导数时的误差为按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间向前差商代替时间导数时的误差为 )( tO 用空间中心差商代替空间导数时的误差为用空间中心差商代替空间导数时的误差为)(2xO 因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，它是因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，它是)( ,()()(22xtOxOtORni这也可由这也可由Taylor展开得到。因为展开得到。因为)( ,()(! 31212),(),(),(),(223322xtOxtxtxtttxtxxtxxttxttxninininininininini（2-5）（2-6）2-22-2差分方程、截断误差和相
18、容性2 2、截断误差、截断误差Finite difference method (FDM) 24一个与时间相关的物理问题，应用微分方程表示时，还必须给定初一个与时间相关的物理问题，应用微分方程表示时，还必须给定初始条件，从而形成一个完整的初值问题。对流方程的初值问题为始条件，从而形成一个完整的初值问题。对流方程的初值问题为)()0 ,(0 xxxt这里这里)(x为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件：为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件：)(020111iininininixxt 初始条件是一种初始条件是一种定解条件定解条件。如果是初边值问题，定解条件中还应有适当。如果是初边值问
19、题，定解条件中还应有适当的边界条件。差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程定解问题的差的边界条件。差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程定解问题的差分格式。分格式。（2-7）（2-8）2-22-2差分方程、截断误差和相容性2 2、截断误差、截断误差Finite difference method (FDM) 25)()(20111iininininixxtFTCS格式格式（2-9）)()(011iininininixxtFTFS格式格式（2-10）)()(011iininininixxt（2-11）FTBS格式格式2-22-2差分方程、截断误差和相容性2 2、截断误差、截断误差Fini
20、te difference method (FDM) 26 (a) FTCS (b)FTFS (c)FTBS图图2-2 差分格式差分格式FTFS:时间、空间均向前差分；时间、空间均向前差分；FTCS:时间向前、空间中心差分；时间向前、空间中心差分；FTBS:时间向前、空间向后差分；时间向前、空间向后差分；2-22-2差分方程、截断误差和相容性2 2、截断误差、截断误差Finite difference method (FDM) 27FTCS格式的截断误差为格式的截断误差为)( ,(2xtORniFTFS和和FTBS格式的截断误差为格式的截断误差为),(xtORni（2-12）（2-13）3种格
21、式对种格式对t都有一阶精度。都有一阶精度。2-22-2差分方程、截断误差和相容性2 2、截断误差、截断误差Finite difference method (FDM) 28一般说来，若微分方程为一般说来，若微分方程为fD)(其中其中D是微分算子，是微分算子，f 是已知函数，而对应的差分方程为是已知函数，而对应的差分方程为fD)(其中其中D是差分算子，则截断误差为是差分算子，则截断误差为)()(DDR这里这里为定义域上某一足够光滑的函数，当然也可以取微分方程的解为定义域上某一足够光滑的函数，当然也可以取微分方程的解 。（2-14）（2-15）（2-16）如果当如果当 ，x0t时，差分方程的截断误
22、差的某种范数时，差分方程的截断误差的某种范数| R也趋近于零，即也趋近于零，即0|lim00Rtx则表明从截断误差的角度来看，此差分方程是能用来逼近微分方程的，通常称这样的差分方则表明从截断误差的角度来看，此差分方程是能用来逼近微分方程的，通常称这样的差分方程和相应的微分方程相容（一致）。如果当程和相应的微分方程相容（一致）。如果当 、x、0t时，截断误差的范数不趋于零，则称为不相容（不一致），这样的差分方程不能用来逼近时，截断误差的范数不趋于零，则称为不相容（不一致），这样的差分方程不能用来逼近微分方程。微分方程。（2-17）2-22-2差分方程、截断误差和相容性3 3、相容性、相容性Fin
23、ite difference method (FDM) 29若微分问题的定解条件为若微分问题的定解条件为gB)(其中其中B是微分算子，是微分算子，g是已知函数，而对应的差分问题的定解条件为是已知函数，而对应的差分问题的定解条件为gB)(其中其中B是差分算子，则截断误差为是差分算子，则截断误差为)()(BBr（2-18）（2-19）（2-20）2-22-2差分方程、截断误差和相容性3 3、相容性、相容性Finite difference method (FDM) 30只有方程相容，定解条件也相容，即只有方程相容，定解条件也相容，即0|lim00Rtx和0|lim00rtx整个问题才相容。整个问题
24、才相容。 （2-21）无条件相容无条件相容 条件相容条件相容以上以上3种格式都属于一阶精度、二层、相容、显式格式。种格式都属于一阶精度、二层、相容、显式格式。2-22-2差分方程、截断误差和相容性3 3、相容性、相容性Finite difference method (FDM) 312-3 2-3 收敛性与稳定性1 1、收敛性、收敛性 一个差分格式能否在实际中使用，最终要一个差分格式能否在实际中使用，最终要看能否任意地逼近微分方程的解。这样对于每看能否任意地逼近微分方程的解。这样对于每一个差分格式，人们便从两个方面加以考虑：一个差分格式，人们便从两个方面加以考虑：一是引入收敛性的概念，一是引入
25、收敛性的概念，考察差分格式在理论考察差分格式在理论上的准确解能否任意逼近微分方程的解上的准确解能否任意逼近微分方程的解；二是；二是引入稳定性的概念，引入稳定性的概念，考察差分格式在实际计算考察差分格式在实际计算中的近似解能否任意逼近差分方程的解。中的近似解能否任意逼近差分方程的解。Finite difference method (FDM) 322-3 2-3 收敛性与稳定性1 1、收敛性、收敛性则则称称差差分分格格式式是是收收敛敛的的有有时时，对对任任何何的的准准确确解解。如如果果当当步步长长是是相相应应差差分分方方程程是是微微分分方方程程的的准准确确解解，设设),(),(0, 0njnjn
26、jtxeenjheu Finite difference method (FDM) 332-3 2-3 收敛性与稳定性2 2、稳定性、稳定性稳稳定定的的。这这种种差差分分格格式式就就认认为为是是本本上上能能计计算算出出来来，那那么么基基控控制制的的，差差分分格格式式的的解解如如果果误误差差的的影影响响是是可可以以地地，式式称称为为不不稳稳定定的的。相相反反掩掩盖盖，那那么么此此种种差差分分格格被被式式的的精精确确解解的的面面貌貌完完全全越越来来越越大大，以以至至差差分分格格响响的的情情况况。如如果果误误差差的的影影就就要要分分析析这这种种误误差差传传播播的的值值，从从而而影影响响时时的的舍舍入
27、入误误差差，必必然然会会计计算算因因此此层层上上计计算算出出来来的的结结果果时时，要要用用到到第第的的层层上上进进行行的的，计计算算差差分分格格式式的的计计算算是是逐逐层层111 njnjnjnjuu.ununFinite difference method (FDM) 342-3 2-3 收敛性与稳定性2 2、稳定性、稳定性.max)()(, 1, 0, 1, 0200njjhnjnjhnhhhnnjjhKKnjj 也也可可以以取取，它它可可以以是是范范数数某某种种尺尺度度是是的的，其其中中那那么么称称差差分分格格式式是是稳稳定定使使得得存存在在常常数数层层上上的的误误差差，如如果果是是第第
28、，令令，设设初初始始层层上上引引入入了了误误差差Finite difference method (FDM) 35 前面讨论了差分问题的相容性、收敛性和稳定性。已经知道，相容前面讨论了差分问题的相容性、收敛性和稳定性。已经知道，相容性是收敛性的必要条件；还发现，稳定性与收敛性有一定的联系。性是收敛性的必要条件；还发现，稳定性与收敛性有一定的联系。Lax等价定理就是阐述相容性、收敛性和稳定性三者之间关系的。等价定理就是阐述相容性、收敛性和稳定性三者之间关系的。 Lax Lax等价定理等价定理：对一个适定的线性微分问题及一个与其相对一个适定的线性微分问题及一个与其相容的差分格式，如果该格式稳定则必
29、收敛，不稳定必不收敛。容的差分格式，如果该格式稳定则必收敛，不稳定必不收敛。换言之，若线性微分问题适定，差分格式相容，则稳定性是换言之，若线性微分问题适定，差分格式相容，则稳定性是收敛性的必要和充分条件。这也可表示为收敛性的必要和充分条件。这也可表示为收收剑剑性性稳稳定定性性线线性性微微分分问问题题适适定定差差分分格格式式相相容容 2-4 2-4 Lax等价定理Finite difference method (FDM) 36 根据此定理，在线性适定和格式相容的条件下，只要证明根据此定理，在线性适定和格式相容的条件下，只要证明了格式是稳定的，则一定收敛；若不稳定，则不收敛。由于了格式是稳定的，
30、则一定收敛；若不稳定，则不收敛。由于收敛性的证明往往比稳定性更难，故人们就可以把注意力集收敛性的证明往往比稳定性更难，故人们就可以把注意力集中在稳定性的研究上。中在稳定性的研究上。2-4 2-4 Lax等价定理Finite difference method (FDM) 371 1、离散求解域；、离散求解域；2 2、用时间向前差分和空间中间差分格式代替控制方、用时间向前差分和空间中间差分格式代替控制方程的对应项；程的对应项；3 3、差分化、差分化; ;4 4、选择适当的计算方法求解线性代数方程组；、选择适当的计算方法求解线性代数方程组；5 5、将求解结果用云图、等值线、动画等方式展示出、将求解
31、结果用云图、等值线、动画等方式展示出来，以供实际应用参考。来，以供实际应用参考。2-5 利用有限差分法求解应用问题的一般步骤Finite difference method (FDM) 38 1、简化模型、简化模型例如：热分析忽略结构细部；例如：热分析忽略结构细部； 铸造成形分析时可取截面；铸造成形分析时可取截面；好处好处：简化建模、节约计算资源、缩短求解时间：简化建模、节约计算资源、缩短求解时间注意：对称面（对称边界）的处理注意：对称面（对称边界）的处理2-62-6应用数值方法模拟材料成形的若干注意事项Finite difference method (FDM) 39 2、单元选择、单元选择
32、1 1）尽量采用结点书较少的单元；）尽量采用结点书较少的单元；2 2）规则结构：选只有端结点的单元；不规则时选带）规则结构：选只有端结点的单元；不规则时选带边结点或面结点的单元；边结点或面结点的单元；3 3）轴对称结构选轴对称单元；）轴对称结构选轴对称单元；4 4）单元类型应与分析对象的数学模型吻合；）单元类型应与分析对象的数学模型吻合； 选择原则：选择原则：采用有限差分法仿真材料成形过程不存在单元选择问题采用有限差分法仿真材料成形过程不存在单元选择问题2-62-6应用数值方法模拟材料成形的若干注意事项Finite difference method (FDM) 40 3、划分网格、划分网格 变网格技术的应用变网格技术的应用2-62-6应用数值方法模拟材料成形的若干注意事项Finite difference method (FDM) 412-62-6应用数值方法模拟材料成形的若干注意事项 4、建立初始条件和边界条件、建立初始条件和边界条件 5、定义材料参数、定义材料参数 建立动态有效的边界条件仍然是目前需解决的难题建立动态有效的边界条件仍然是目前需解决的难题Finite difference method (FDM)