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1、直线与椭圆的位置关系及判断方法直线与椭圆的位置关系及判断方法(1)直直线和椭圆有三种位置关系：相交、；(2)直线和椭圆的位置关系的判断：设直线方程：yk kxm，椭圆方程：1(ab0)，两方程联立消去y可得：Ax2BxC0，其判别式为B24AC.当0时，直线与椭圆 ；当0时，直线与椭圆 ；当0时，直线与椭圆 相切相离相交相切相离第1页/共29页1点点P(4,2)是直线l被椭圆 1截得的线段的中点，则l的方程是()Ax2y0 Bx2y40 C2x3y40 Dx2y80 解解析析：设设线线段段两两端端点点坐坐标标分分别别为为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则则有有 1，1，得得 (x1x2)(
2、x1x2)(y1y2)(x1y2)0.，又，又(4,2)是是 AB 的中点，的中点，2.即即x1x28，y1y24.代入代入式，式，得得 8(x1x2)4(y1y2)0，整理得，整理得k k ，则则l的方程为的方程为y2 (x4)x2y8 0.答案：答案：D第2页/共29页2过过椭圆3x24y248的左焦点引斜率为1的直线交椭圆于AB两点，则|AB|等于()解解析析：由由3x24y248得得 1，a216，b212，则则c 2.过过左左焦焦点点F(2,0)斜斜率率为为1的的直直线线方方程程为为yx2，代代入入3x24y248整整理理得得：7x216x320，设，设A(x1，y1)，B(x2，y
3、2)，|AB|(aex1)(aex2)2ae(x1x2)8答案：答案：C第3页/共29页3曲曲线C：(为参数)的普通方程是_，如果直线 2xya0与曲线C有公共点，那么实数a的取值范围是_ 解析：解析：则则22，得，得4x2 (y1)21，即为曲线，即为曲线C的普通方程，联立方程组的普通方程，联立方程组 由由得得2xay，把，把代入代入，得，得2y22(a1)ya20，若有公共点，则若有公共点，则22(a1)242a24a28a40，解得解得1 a1 .答案：答案：4x2(y1)21 1 a1第4页/共29页4已已知椭圆3x2y212，过原点且倾斜角分别为和(0 )的两条 直线分别交椭圆于点A
4、、C和点B、D，则四边形ABCD的面积的最大值等于 _，此时_.解析：解析：本题考查椭圆的对称性和直线方程的点斜式、本题考查椭圆的对称性和直线方程的点斜式、求最值的方法如图，设一条直线的斜率为求最值的方法如图，设一条直线的斜率为k ktan，则另一条直线的斜率为则另一条直线的斜率为tan()k k，则两条直线，则两条直线关于关于x轴和轴和y轴对称，而椭圆也关于轴对称，而椭圆也关于x轴和轴和y轴对称，所以四个点轴对称，所以四个点 分别关于分别关于x轴和轴和y轴对称，四边形轴对称，四边形ABCD是矩形，且被是矩形，且被x轴和轴和y轴平分为四块，轴平分为四块，一条直线方程为一条直线方程为yk kx，
5、设第一象限的交点为，设第一象限的交点为(x1，y1)，则，则y1k kx1，第5页/共29页 S四边形四边形ABCDx1y1k kx，联立方程组，联立方程组消去消去y得得(3k k2)x212，S四边形四边形ABCD4k k (k k(0,1)，设，设t k k(k k(0,1)，通过求导数可以判断，通过求导数可以判断t在在k k(0,1上是减上是减函数，所以当函数，所以当k k1，即，即 时，时，t有最小值有最小值4，此时，此时S四边形四边形ABCD有最大值有最大值 12.答案：答案：12第6页/共29页将椭圆方程 1与yk kxm联立可得到一元二次方程Ax2BxC0(1)若直线yk kxm
6、过椭圆的右焦点，与椭圆相交于M，N两点，则|MN|FM|FN|2ae(x1x2)第7页/共29页【例例1】P、Q、M、N四四点都在椭圆 1上，F为椭圆在y轴正半轴上的 焦点已知 共线，共线，且 0.求四边形MQN的面积的最小值和最大值解答：解答：如如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQMN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k k.又PQ过点F(0,1)，故PQ方程为yk kx1.将此式代入椭圆方程得(2k k2)x22k kx10.设P、Q两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2 从而|PQ|2(x1x2)2(y1y2)
7、2 ，即|PQ|，第8页/共29页(1)当k k0时，MN的斜率为 ，同上可推得|MN|.故四边形面积S|PQ|MN|令uk k2 ，得S 因为uk k2 2，当且仅当k k1时，u2，S ，且S是以u为自变量的增函数，所以 Sb0)由已知得所求椭圆方程为 y21.第10页/共29页(2)由由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk kx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 ，消去y得关于x的方程：(12k k2)x28k kx60，由直线l与椭圆相交于A、B两点，064k k224(12k k2)0，解得k k2 .又由韦达定理得|AB|第11页/共29页原点O到直线l的距离d .
8、SAOB ，令m(m0)，则2k k2m23.S当且仅当m ，即m2时，Smax ，此时k k.所求直线方程为 x2y40.第12页/共29页解决弦中点问题有两种方法：一是利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式来构造关系；二是利用弦端点在曲线上，坐标满足曲线方程，用点差法构造出中点坐标和斜率的关系 第13页/共29页(1)求求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围解答：解答：(1)a22，b21，c1，F(1,0)，l：x2.圆圆过点O、F，圆心M在直线x 上设M(
9、，t)，则圆半径r|()(2)|.由|OM|r，得 ，解得t ，所求圆的方程为(x)2(y)2【例例2】如如图，已知椭圆 y21的左焦点为F，O为坐标原点第14页/共29页(2)设直线AB的方程为yk k(x1)(k k0)，代入 y21，整理得(12k k2)x24k k2x2k k220.直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)(如图所示)，则x1x2 y0k k(x01)AB的垂直平分线NG的方程为yy0 令y0，得xGx0k ky0 k k0，xG0时，恒有|OA|OB|.第20页/共29页解答：解答：(1)设设P(x
10、，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，)，(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴b 1，故曲线C的方程为x2 1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足 消去y并整理得(k k24)x22k kx30，故x1x2 x1x2 若OAOB，即x1x2y1y20.而y1y2k k2x1x2k k(x1x2)1，于是x1x2y1y2 10，化简得4k k210，所以k k 第21页/共29页(3)|OA|2|OB|2 3(x1x2)(x1x2)因为A在第一象限，故x10.由x1x2 知x20.又k k0，故|OA|2|OB|20，即在题设条件下，恒有|OA|OB|.第22页
11、/共29页1解决直线与椭圆的位置关系问题，如果直线与椭圆有两个不同交点，解决直线与椭圆的位置关系问题，如果直线与椭圆有两个不同交点，若根若根 据已知条件便于求出两交点的坐标不失为一种彻底有效的方法；据已知条件便于求出两交点的坐标不失为一种彻底有效的方法；若两交若两交点点 的坐标不好表示，可将直线方程的坐标不好表示，可将直线方程yk kxc代入椭圆方程代入椭圆方程 1整理出整理出 关于关于x(或或y)的一元二次方程的一元二次方程Ax2BxC0，B24AC0，可利用根，可利用根与系数之间的关系求弦长与系数之间的关系求弦长(弦长为弦长为 )；【方法规律方法规律】2弦的中点问题，以及交点与原点连线的垂
12、直等问题弦的中点问题，以及交点与原点连线的垂直等问题求弦长可注意弦是否求弦长可注意弦是否 过椭圆焦点；过椭圆焦点；弦的中点问题还可利用弦的中点问题还可利用“点差法点差法”和对称法；和对称法；解决解决AOBO，可以利用向量，可以利用向量AOBO的充要条件是的充要条件是AOBO0.第23页/共29页(2009辽宁辽宁)(本小题满分本小题满分12分分)已已知椭圆C经过点A ，两个焦点为(1，0)、(1,0)(1)求椭圆C的方程；(2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值第24页/共29页【考卷实录考卷实录】第25页/共2
13、9页第26页/共29页(1)由由已知条件c1,2a 4，即a2，则b2a2c23.因此所求椭圆方程为 1.(2)设AE直线方程为y k k(x1)，即yk kx k k代入 整理得：(4k k23)x24k k(32k k)x(32k k)2120.设E(x1，y1)，F(x2，y2)则x1 将k k换为k k可得x2【答题模板答题模板】y1y2 k k(x1x2)2k k，第27页/共29页点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册2009年辽宁考查的直线与圆锥曲线的位置关系问题是大家所熟知的问题：直线年辽宁考查的直线与圆锥曲线的位置关系问题是大家所熟知的问题：直线EF的斜率应该等于椭圆的斜
14、率应该等于椭圆 在在A处切线斜率的相反数，解决问题的处切线斜率的相反数，解决问题的方法不外乎三种，考卷实录中提供的方法是设出直线方法不外乎三种，考卷实录中提供的方法是设出直线EF的方程，解决直线的方程，解决直线EF与与椭圆椭圆 的位置关系问题，运算技巧较高，再就是设出的位置关系问题，运算技巧较高，再就是设出E(x1，y1)，F(x2，y2)用点差法，此方法值得大家探讨，再就是参考答案中提供的解法，孰优孰劣用点差法，此方法值得大家探讨，再就是参考答案中提供的解法，孰优孰劣比较自明，如将题目中的椭圆换成抛物线三种方法皆都是可行的比较自明，如将题目中的椭圆换成抛物线三种方法皆都是可行的【分析点评分析点评】第28页/共29页谢谢您的观看！第29页/共29页