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1、7.4.1 7.4.1 线性常系数差分方程及其求解线性常系数差分方程及其求解1.1.差分的定义差分的定义设连续函数为e(t),采样后为e(kT),通常为方便起见，记为 差分：两个采样信息之间的差值；分为前向差分前向差分和后向差分后向差分两种。定义：定义：一阶前向差分二阶前向差分n阶前向差分第1页/共33页一阶后向差分二阶后向差分n阶后向差分2.2.线性常系数差分方程的一般形式线性常系数差分方程的一般形式 对于输入、输出均为采样信号的线性定常离散系统，动态方程除了含有输入输出变量外，还有它们的各阶差分，则此方程为差分方程。差分方程分为前向差分方程前向差分方程和后向差分方程后向差分方程。前向差分方
2、程前向差分方程：为常系数 为输入信号，为输出信号，且有式中：第2页/共33页后向差分方程后向差分方程：注意：差分方程的阶次是输出量差分的最大阶次减去最小阶次。3.3.建立差分方程的方法建立差分方程的方法 实际的离散控制系统中，被控对象是连续的物理系统，而数字控制器输出的信号是离散的。系统中的连续部分一般由微分方程或传递函数来描述，为了分析方便，需要通过离散化方法建立系统的差分方程。由连续系统的微分方程求差分方程时，若采样周期足够小，就可以用用差分近似表示差分近似表示微分微分来实现离散化来实现离散化。用前向差分近似表示微分用后向差分近似表示微分 第3页/共33页例例7-207-20 已知系统的微
3、分方程为求离散后的前向差分方程。解：解：代入微分方程，有整理后得第4页/共33页4.4.差分方程的求解方法差分方程的求解方法q 迭代法迭代法：已知差分方程的输入采样序列、输出采样序列的初值，利用差分方程的递推关系，逐步求出输出采样序列。例例7-217-21 已知离散系统的差分方程为 ，且输入序列初始条件试用迭代法求输出序列解：解：差分方程的递推关系为由初始条件 递推得到 第5页/共33页q Z Z变换法变换法：通过Z变换将时域中的差分方程转化为z域中的代数方程，求出代数方程的解，再经Z反变换获得方程的时域解。例例用Z变换法解差分方程：c(k+2)c(k+2)+3c(k+1)c(k+1)+2c(
4、k)=0初始条件c(0)=0,c(1)=1,求c(k)。解：解：对方程两边进行Z变换 代入初始条件并化简将C(z)/z展开部分分式：第6页/共33页已知输入序列 ,初始条件c(0)=c(1)=0,求输出响应c(k)。例例7-227-22离散系统的差分方程为 解：解：对前向差分方程两边进行Z变换，得到 ，且初始条件为零，得到求得第7页/共33页7.4.2 7.4.2 脉冲传递函数脉冲传递函数 线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为：零初始条件下零初始条件下系统系统输出采输出采 样信样信号号的的Z变换与变换与输入采样信号输入采样信号的的Z变换之比变换之比。也可记为
5、 脉冲传递函数为已知系统的脉冲传递函数G(z)和输入采样信号的Z变换 R(z)，在初始条件为零时的输出采样信号为1.1.脉冲传递函数定义脉冲传递函数定义第8页/共33页对于大多数实际系统来说，其输出往往是连续信号c(t)而不是采样信号C*(t)。这时，无法求脉冲传递函数。在这种情况下，我们可以在输出端虚设一个采样开关，它与输入端采样开关一样，以周期T同步工作。如果系统的实际输出比较平滑，在采样点处无跳变，且采样周期很小，那么我们就可以用c*(t)来近似描述系统的实际输出c(t)。可见，用脉可见，用脉冲传递函数分析系统，冲传递函数分析系统，只能给出只能给出实际输出实际输出c(t)c(t)在在采样
6、时刻的值采样时刻的值。说明：说明：第9页/共33页2.2.采样函数拉氏变换的两个重要性质采样函数拉氏变换的两个重要性质性质性质1 1 采样函数的拉氏变换具有周期性，即其中，为采样角频率。有 令由采样函数的拉氏变换证明：证明：第10页/共33页性质性质2 2 采样函数的拉氏变换 与连续函数的拉氏变换 相乘 后再离散化，有下式成立由性质1证明：证明：由采样函数的拉氏变换第11页/共33页3.关于脉冲传递函数的几点讨论关于脉冲传递函数的几点讨论 q 和 之间的关系 q 和单位脉冲响应 之间的关系 q 与离散系统的差分方程之间的关系 差分方程为第12页/共33页4.4.求脉冲传递函数的方法求脉冲传递函
7、数的方法求出 。（1）已知连续系统的单位脉冲响应 ，利用 ，（2）已知连续系统的传递函数 ，化成部分分式并查表求出（3）已知系统的差分方程，在初始条件为零的情况下进行Z变换求例例 系统结构如图，其中连续部分传递函数 ，试求该开环系统的脉冲传递函数 。第13页/共33页解：解：将 用部分分式表示也可由 直接查表得到，结果相同。离散序列第14页/共33页7.4.3 7.4.3 离散系统的结构图化简离散系统的结构图化简根据离散系统结构图可以求系统的脉冲传递函数或系统的输出。与连续系统的结构图相比较，离散系统的结构图需要考虑采样开关的位置。由于采样开关所处的位置不同，连续系统的结构图等效变换规则不能直
8、接使用。1.1.开环离散系统的脉冲传递函数开环离散系统的脉冲传递函数(1)串联串联环节之间有采样器的情况环节之间有采样器的情况结论可以推广到n个环节串联，且环节间均有同步采样器分隔的情况。第15页/共33页(2)(2)串联环节之间无采样器的情况串联环节之间无采样器的情况式中，表示G1(s)和 G2(s)相乘后进行Z变换。显然 结论可以推广到n个环节串联，且环节间没有采样器分隔的情况。第16页/共33页(3(3)有零阶保持器时的情况有零阶保持器时的情况 系统连续部分的传递函数为零阶保持器 可以采用部分分式法求出。第17页/共33页(4)连续信号直接进入连续环节时的情况连续信号直接进入连续环节时的
9、情况 连续信号直接进入连续环节的情况下，出现 故只能求得输出采样信号的Z变换表达式 ,得不到 ，因而无法求得脉冲传递函数 。第18页/共33页具有零阶保持器的开环采样系统中 试求开环系统的脉冲传递函数G(z)。解解:比较可见，G(z)的极点完全相同,即引入零阶保持器后,只改变分子。例例7-257-25不加零阶保持器时第19页/共33页2.2.闭环离散系统的脉冲传递函数闭环离散系统的脉冲传递函数 在连续系统中，闭环传递函数与相应的开环传递函数之间有着确定的关系，所以可用一种典型的结构图来描述一个闭环系统。而在采样系统中，由于采样开关在系统中所设置的位置不同，可以有多种结构形式。常见的离散系统结构
10、图 第20页/共33页为了分析方便，将结构图等效为 r 闭环系统的开环脉冲传递函数闭环系统的开环脉冲传递函数G(z)从 到 之间的脉冲传递函数称为闭环断开主反馈通路，离散系统的开环脉冲传递函数。第21页/共33页 消去B(z)、E(z)，可以得到：令 d(t)=0,列写变量之间关系方程：r 到到 的闭环脉冲传函的闭环脉冲传函r 离散系统的闭环特征方程离散系统的闭环特征方程 r 到到 之间的误差脉冲传递函数之间的误差脉冲传递函数第22页/共33页求不出求不出 ！（见（见P325）r 系统的全响应系统的全响应 r 扰动扰动d(t)d(t)作用下的输出作用下的输出 令 r(t)=0，列写变量之间关系
11、方程：做变量代换：离散化：第23页/共33页在计算闭环离散系统的脉冲传递函数时，需要注意以下两点：在计算闭环离散系统的脉冲传递函数时，需要注意以下两点：p 离散系统连续部分的结构相同，采样开关位置不同，闭环脉冲传递函数也就不同。因此，不能用连续系统闭环传递函数的Z变换来求闭环脉冲传递函数。即式中的等号只有在闭环系统内部不含采样开关时才成立。p 对于输入信号r(t)不经过采样开关，直接输入连续环节的情况，由于系统中不存在r*(t)，无法计算脉冲传递函数(z)，只能得到C(z)。第24页/共33页例例 考虑下图给出的一种闭环采样系统，求C(z)。令离散化：离散化：解解第25页/共33页单回路离散系
12、统比较简单，掌握基本规律后，可以通过观察，直接单回路离散系统比较简单，掌握基本规律后，可以通过观察，直接写出写出C(z)的表达式。方法是：的表达式。方法是：（2）在前向通路中，输入信号以及前向通路各环节相互之间没有采样开关的，将它们相乘后进行Z变换；输入信号以及前向通路各环节相互之间有采样开关的，各自进行Z变换；将得到的变换函数相乘，即可得到C(z)的分子多项式分子多项式。（1）在反馈回路中，对于中间无采样开关隔开的环节，将它们的传递函数相乘后取Z变换；中间有采样开关隔开的环节，分别进行Z变换；将得到各个变换函数相乘，就是开环脉冲传递函数。开环脉冲传递函数加1即可得到C(z)的分母多项式分母多
13、项式。没那么简单！没那么简单！没问题！没问题！第26页/共33页例例没那么简单！没那么简单！第27页/共33页3.多回路离散系统结构图计算多回路离散系统结构图计算 对于比较复杂的多回路离散系统，通常需要根据结构图列写方程来求解系统总的脉冲传递函数。可以可以利用系统中离散变量的利用系统中离散变量的Z Z变换函数变换函数列写方程列写方程；也可以根据系统中也可以根据系统中各变量的拉氏变换之间的关系各变量的拉氏变换之间的关系列写方程列写方程，再进行离散化，再进行离散化。对所列方程组消去中间变量，即可求出闭环脉冲传递函数或输出C(z)。闭环离散系统的结构图如图所示，图中所有采样开关同步工作。试计算输出采
14、样信号与输入采样信号之间的脉冲传递函数例例7-267-26第28页/共33页解：解：采用两种方法列写方程计算脉冲传递函数。方法方法1 1 将图中的所有信号所有信号用其拉氏变换函数拉氏变换函数表示，再根据变量之间的传递关系列写方程：离散化离散化：列写到离散信号为止！列写到离散信号为止！第29页/共33页消去中间变量 ，得到 作变量代换 ，求得脉冲传递函数为 第30页/共33页方法方法2 2 将图中每个采样开关采样开关后面后面的采样信号用其的采样信号用其Z Z变换函数变换函数表示，直接列写各采样信号的Z变换函数之间的关系方程。要注意正确正确列写两个采样开关之间的脉冲传递函数。经整理，求得脉冲传递函数消去中间变量 ，得到 第31页/共33页例例7-277-27 闭环离散系统的结构图如图。试计算输出采样信号的Z变换 。解：解：根据图中采样开关之后的采样信号Z变换函数直接列写方程。消去中间变量E(z)，得到第32页/共33页感谢您的观看！第33页/共33页