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1、【注注】1标准正交基标准正交基不唯一不唯一；2特点特点:设设 是是 的一组标准正交基的一组标准正交基,则则例如例如定义定义1 中的中的 n 个向量个向量 满足满足(1)两两正交两两正交(2)都是单位向量都是单位向量,即即则称则称为为的一组的一组标准正交基标准正交基.设设一、一、的标准正交基的标准正交基第1页/共11页二、两组标准正交基间的过渡矩阵二、两组标准正交基间的过渡矩阵 设设 与与 是是 的两组标准的两组标准正交基正交基,令令,由由 到到 的过渡矩阵为的过渡矩阵为Q,即即 =Q,则则证明：因为证明：因为 =Q,则则 T=QT T,所以所以 T =QT T Q,又因为又因为 与与 均为标准
2、正交基均为标准正交基,所以所以 T =E,T =E,故故 第2页/共11页性质性质(1)n阶矩阵阶矩阵Q 为正交矩阵为正交矩阵(2)Q 为正交矩阵为正交矩阵,则则 也是正交矩阵也是正交矩阵;(3)若若P,Q 都是都是n阶正交矩阵阶正交矩阵,则则PQ 也是也是n阶正交矩阵阶正交矩阵;定义定义2 实数域实数域 R 上的上的 n 阶矩阵阶矩阵 Q 满足满足 称称 Q 为为正交矩阵正交矩阵.则则如果如果 ,则则Q 为正交矩阵为正交矩阵.进而进而,给出等价定义给出等价定义:(4)Q为正交矩阵为正交矩阵,则则 三、正交矩阵及其性质三、正交矩阵及其性质第3页/共11页1若若 和和 均是的标准正交基均是的标准
3、正交基,则过渡矩阵则过渡矩阵Q是正交矩是正交矩阵阵.2若若 是标准正交基是标准正交基,Q是正交矩阵是正交矩阵,则则 是标准正交是标准正交基基.3若若 是标准正交基是标准正交基,Q是正交矩阵是正交矩阵,则则 是标准正交是标准正交基基.小结：小结：设设定理定理 设设,则则为正交矩阵为正交矩阵 为为 的一组标准正交基的一组标准正交基.列向量组列向量组为为 的一组标准正交基的一组标准正交基.行向量组行向量组第4页/共11页例例1 设设 是是 的一组标准正交基的一组标准正交基,证明证明是一组标准正交基是一组标准正交基.证明：设证明：设 则则 且且 即即 Q 为正交矩阵为正交矩阵,所以所以 是一组标准正交
4、基是一组标准正交基.第5页/共11页例例2 设设A,B为同阶正交矩阵为同阶正交矩阵,下面错误的是下面错误的是()(1)A1为正交矩阵；为正交矩阵；(2)A*为正交矩阵；为正交矩阵；(3)AB 为正交矩阵；为正交矩阵；(4)A+B 为正交矩阵。为正交矩阵。答：答：(4)不正确。不正确。第6页/共11页例例3 设设设三维向量设三维向量 的长度的长度|8,则则|P|？【注注】设设 ,为为n维向量维向量,在在n阶正交矩阵阶正交矩阵A的作用下的作用下|A|=|,且且 T =(A)T(A).向量向量 在正交矩阵在正交矩阵A作用下变为作用下变为A 称为正交变换称为正交变换.第7页/共11页四、求标准正交基的
5、方法四、求标准正交基的方法1施密特正交化方法施密特正交化方法设设是是 Rn 中一组给定的基中一组给定的基,令令 即即,则则 是与是与 等价且两两正交等价且两两正交的向量组的向量组.第8页/共11页2在一组基的基础上，求标准正交基的步骤：在一组基的基础上，求标准正交基的步骤：1用施密特正交化方法用施密特正交化方法,将其化为正交向量组将其化为正交向量组;2将正交向量组中每个向量单位化将正交向量组中每个向量单位化(也称标准化也称标准化).例例4 已知已知 是是 的一组基，的一组基，将其化为标准正交基将其化为标准正交基.解答见书上解答见书上187页例页例4。第9页/共11页例例5 设设 是是 的一组标准正交基，的一组标准正交基，求求 的一组标准正交基的一组标准正交基.作业作业:P162 14,16,17,18(2),1924,25(1),26,27,28第10页/共11页感谢您的观看！第11页/共11页