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1、正交矩阵线性代数正交矩阵线性代数第1页，本讲稿共17页一、内积及其性质一、内积及其性质定义定义1 设有设有n维向量维向量 ,则则 称为向量称为向量 与与 的内积，的内积，记为记为 ，即，即第2页，本讲稿共17页内积的运算性质内积的运算性质第3页，本讲稿共17页定义定义2 2 设设长度长度范数范数向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：(),22221nxxxxxx+=L 4.施瓦茨不等式施瓦茨不等式 第4页，本讲稿共17页解解单位向量单位向量夹角夹角第5页，本讲稿共17页 正交的概念正交的概念 正交向量组的概念正交向量组的概念正交正交若一若一非零非零向量组中的向量向量组中的向量两两正交
2、两两正交，则称该向，则称该向量组为量组为正交向量组正交向量组二、正交向量组二、正交向量组第6页，本讲稿共17页证明证明 正交向量组的性质正交向量组的性质定理定理1第7页，本讲稿共17页4 4 标准正交化方法标准正交化方法下面介绍下面介绍施密特正交化施密特正交化方法方法第8页，本讲稿共17页(2)单位化单位化,取取(1)正交化正交化,取取 ，第9页，本讲稿共17页例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组标准正交化标准正交化.解解 先先正交化正交化，取取施密特正交化过程施密特正交化过程第10页，本讲稿共17页再再单位化单位化，得标准正交向量组如下得标准正交向量组如下第11页，
3、本讲稿共17页解解第12页，本讲稿共17页把基础解系正交化，即合所求亦即取把基础解系正交化，即合所求亦即取第13页，本讲稿共17页定义定义3 3三、正交矩阵及其性质三、正交矩阵及其性质(4)方阵方阵A为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是A的列的列(行行)向量都是单位向量且两两正交向量都是单位向量且两两正交正交矩阵还具有下述性质：正交矩阵还具有下述性质：(1)若若A为正交矩阵，则为正交矩阵，则(2)若若A为正交矩阵，则为正交矩阵，则 (3)若若A，B为同阶数的正交矩阵，则为同阶数的正交矩阵，则AB为正交矩为正交矩阵；阵；第14页，本讲稿共17页解解所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于例例4 4 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵第15页，本讲稿共17页所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵由于由于第16页，本讲稿共17页定义定义4 4 若若 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为正称为正交变换交变换性质性质 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变证明证明第17页，本讲稿共17页