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1、关于高中数学排列与组合现在学习的是第1页，共39页从已知的从已知的3个不同个不同元素中每元素中每次取出次取出2个元素个元素 ,并成一并成一组组问题问题2从已知的从已知的3 个不同元个不同元素中每次素中每次取出取出2个元个元素素 ,按照按照一定的顺一定的顺序排成一序排成一列列.问题问题1排列排列组合组合有有顺顺序序无无顺顺序序现在学习的是第2页，共39页 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不个不同元素中取出同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合 排列与组合的概排列与组合的概念有什么共同点念有什么共同点与不同点
2、？与不同点？概念讲解概念讲解组合定义组合定义:现在学习的是第3页，共39页组合定义组合定义:一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合排列定义排列定义:一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素，个元素，按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，叫做从，叫做从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m 个元个元素的一个素的一个排列排列.共同点共同点:都要都要“从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素个元素”不同点不同点:
3、排列排列与元素的顺序有关，与元素的顺序有关，而组合而组合则与元素的顺序无关则与元素的顺序无关.概念讲解概念讲解现在学习的是第4页，共39页思考一思考一:ab b与与b ba是相同的排列还是相同的组合是相同的排列还是相同的组合?为什么为什么?思考二思考二:两个相同的排列有什么特点两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢两个相同的组合呢?）元素相同；）元素相同；）元素排列顺序相同）元素排列顺序相同.元素相同元素相同概念理解概念理解 构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤就是其中一个步骤.思考三思考三:组合与排列有联系吗组合与排列有联系
4、吗?现在学习的是第5页，共39页判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)(1)设集合设集合A=a,b,c,d,e，则集合，则集合A的含有的含有3 3个元素的子集有多少个个元素的子集有多少个?(2)(2)某铁路线上有某铁路线上有5 5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题(3)10(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分共有多少种分法法?组合问题组合问题(4)10(4)1
5、0人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次共需握手多少次?组合问题组合问题(5)(5)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个游览个游览,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?组合问题组合问题(6)(6)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个个,并确定这并确定这2 2个风景点的游览顺序个风景点的游览顺序,有多少种有多少种不同的方法不同的方法?排列问题排列问题组合问题组合问题组合是选择的结果，排列组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果是选择后再排序的结果.现在学习的是第6页，共39页1.1.从从 a,b,c三个不同的元素中取出
6、两个元素的所有组合分别是三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:ab,ac,bc 2.2.已知已知4 4个元素个元素a,b,c,d ,写出每次取出两个元素的所有写出每次取出两个元素的所有组合组合.ab c d b c d cd ab,ac,ad,bc,bd,cd(3(3个个)(6(6个个)概念理解概念理解现在学习的是第7页，共39页 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的个元素的所有组合的个数，叫做从所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示.如如:从从 a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组
7、合三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是个数是:如如:已知已知4 4个元素个元素a、b、c、d,写出每次取出两个写出每次取出两个元素的所有组合个数是：元素的所有组合个数是：概念讲解概念讲解组合数组合数:注意：注意：是一个数，应该把它与是一个数，应该把它与“组合组合”区别开来区别开来 现在学习的是第8页，共39页1.写出从写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。四个元素中任取三个元素的所有组合。abc，abd，acd，bcd.bcddcbacd练一练练一练练一练练一练现在学习的是第9页，共39页组合排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaab
8、d bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？你发现了你发现了什么什么?现在学习的是第10页，共39页如何计算如何计算:现在学习的是第11页，共39页组合数公式组合数公式 排列与组合是有区别的，但它们又有联系排列与组合是有区别的，但它们又有联系根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到：因此：因此：一般地，求从一般地，求从 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素的排个元素的排列数，可以分为以下列数，可以分为以下2步：步：第第1步
9、，先求出从这步，先求出从这 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素个元素的组合数的组合数 第第2步，求每一个组合中步，求每一个组合中 个元素的全排列数个元素的全排列数 这里 ，且 ，这个公式叫做组合组合数公式数公式 概念讲解概念讲解现在学习的是第12页，共39页组合数公式组合数公式:从从 n 个不同元中取出个不同元中取出m个元素的排列数个元素的排列数 概念讲解概念讲解现在学习的是第13页，共39页例例1 1计计算：算：例例2.2.甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁4 4支足球队举行单循环赛，支足球队举行单循环赛，(1)(1)列出所有各场比赛的双方；列出所有各场比赛的双方；（2)2)列出所有冠亚军的
10、可能情况列出所有冠亚军的可能情况.（2 2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲乙甲、丙甲丙甲、丁甲丁甲、丙乙丙乙、丁乙丁乙、丁丙丁丙(1)(1)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：解：例题分析例题分析(4)(4)求求现在学习的是第14页，共39页例3现在学习的是第15页，共39页例例1：一位教练的足球队共有：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是场队员是11人。问：
11、人。问：（1）这位教练从这）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案名学员中可以形成多少种学员上场方案？（2）如果在选出）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？那么教练员有多少种方式做这件事情？现在学习的是第16页，共39页例例3.(1)3.(1)凸五边形有多少条对角线？凸五边形有多少条对角线？(2)(2)凸凸n n（n3n3）边形有多少条对角线？）边形有多少条对角线？例例2.(1)2.(1)平面内有平面内有1010个点，以其中每个点，以其中每2 2个点为端点的线个点为端点的线段共有多少条？段共有多少条
12、？(2)(2)平面内有平面内有1010个点，以其中每个点，以其中每2 2个点为端点的有向个点为端点的有向线段共有多少条？线段共有多少条？现在学习的是第17页，共39页例例4：在：在100件产品中有件产品中有98件合格品，件合格品，2件次品。产品检验件次品。产品检验时时,从从100件产品中任意抽出件产品中任意抽出3件。件。(1)一共有多少种不同的抽法一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的抽出的3件中恰好有件中恰好有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?(4)抽出的抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多
13、少种？件中至多有一件是次品的抽法有多少种？说明：说明：“至少至少”“至多至多”的问题，通常用分类法的问题，通常用分类法或间接法求解。或间接法求解。现在学习的是第18页，共39页变式练习变式练习按下列条件，从按下列条件，从12人中选出人中选出5人，有多少种不同选法？人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多）甲、乙、丙三人至多2人当选；人当选；（6）甲、乙
14、、丙三人至少）甲、乙、丙三人至少1人当选；人当选；现在学习的是第19页，共39页例例5 5、某医院有内科医生、某医院有内科医生1212名，外科医生名，外科医生8 8名，现要派名，现要派5 5人参人参加支边医疗队，至少要有加支边医疗队，至少要有1 1名内科医生和名内科医生和1 1名外科医生参名外科医生参加，有多少种选法？加，有多少种选法？例例6：（1）平面内有）平面内有9个点，其中个点，其中4个点在一条直线上，个点在一条直线上，此外没有此外没有3个点在一条直线上，过这个点在一条直线上，过这9个点可确定多少个点可确定多少条直线？可以作多少个三角形？条直线？可以作多少个三角形？（2）空间）空间12个
15、点，其中个点，其中5个点共面，此外无任何个点共面，此外无任何4个点共个点共面，这面，这12个点可确定多少个不同的平面？个点可确定多少个不同的平面？现在学习的是第20页，共39页例例7 7、有翻译人员、有翻译人员1111名，其中名，其中5 5名仅通英语、名仅通英语、4 4名仅通法语，名仅通法语，还有还有2 2名英、法语皆通。现欲从中选出名英、法语皆通。现欲从中选出8 8名，其中名，其中4 4名译英名译英语，另外语，另外4 4名译法语，一共可列多少张不同的名单？名译法语，一共可列多少张不同的名单？例例8、8双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出取出
16、4只，试求满足如下条件各有多少种情况：只，试求满足如下条件各有多少种情况：（1）4只鞋子恰有两双；只鞋子恰有两双；（2）4只鞋子没有成双的；只鞋子没有成双的；（3）4只鞋子只有一双。只鞋子只有一双。现在学习的是第21页，共39页课堂练习：课堂练习：课堂练习：课堂练习：2、从、从6位同学中选出位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。3、要从、要从8名男医生和名男医生和7名女医生中选名女医生中选5人组成一个医疗队，如果人组成一个医疗队，如果其中至少有其中至少有2名男医生和至少有
17、名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数名女医生，则不同的选法种数为（为（）4、从、从7人中选出人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（）1、把、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有 种种。99CD现在学习的是第22页，共39页5、在如图、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形）的方格纸
18、上（每小方格均为正方形）（1）其中有多少个矩形？）其中有多少个矩形？（2）其中有多少个正方形？）其中有多少个正方形？课堂练习：课堂练习：课堂练习：课堂练习：现在学习的是第23页，共39页排列排列组合组合组合的概念组合的概念组合数的概念组合数的概念组合是选择的组合是选择的结果，排列是结果，排列是选择后再排序选择后再排序的结果的结果联系联系小结小结现在学习的是第24页，共39页一个口袋内装有大小相同的一个口袋内装有大小相同的7个白球和个白球和1个黑球个黑球 从口袋内取出从口袋内取出3个球，共有多少种取法？个球，共有多少种取法？从口袋内取出从口袋内取出3个球，使其中含有个球，使其中含有1 1个黑球，
19、有多少种个黑球，有多少种取法？取法？从口袋内取出从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种个球，使其中不含黑球，有多少种取法？取法？解：解：（1）性质性质2现在学习的是第25页，共39页 我我们们可以可以这样这样解解释释：从口袋内的从口袋内的8个个球中所取出的球中所取出的3个球，可以分个球，可以分为为两两类类：一一类类含有含有1个个黑球，一黑球，一类类不含有黑球不含有黑球因此根据分因此根据分类计类计数原理，上述等式成立数原理，上述等式成立 我我们发现们发现：为什么呢为什么呢现在学习的是第26页，共39页性质性质2现在学习的是第27页，共39页 注注:1 公式特征：下标相同而上标差公式特征：下
20、标相同而上标差1的两个组合数之和，等的两个组合数之和，等于下标比原下标多于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数一个组合数 2 此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习“二二项式定理项式定理”时，我们会看到它的主要应用时，我们会看到它的主要应用现在学习的是第28页，共39页例计算：例计算：现在学习的是第29页，共39页例例2 求证求证:现在学习的是第30页，共39页一、等分组与不等分组问题一、等分组与不等分组问题例例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；本不同的书，按下列条件，各有多少
21、种不同的分法；（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；）分给甲、乙、丙三人，每人两本；（2）分成三份，每份两本；）分成三份，每份两本；（3）分成三份，一份）分成三份，一份1本，一份本，一份2本，一份本，一份3本；本；（4）分给甲、乙、丙）分给甲、乙、丙3人，一人人，一人1本，一人本，一人2本，一人本，一人3本；本；（5）分给甲、乙、丙）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；人，每人至少一本；（6）分给）分给5个人，每人至少一本；个人，每人至少一本；（7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。现在学习的是第31页，共39页练习：练习：(1)今有今有10件不
22、同奖品件不同奖品,从中选从中选6件分成三份件分成三份,二份各二份各1件件,另一另一份份4件件,有多少种分法有多少种分法?(2)今有今有10件不同奖品件不同奖品,从中选从中选6件分给甲乙丙三人件分给甲乙丙三人,每人二每人二件有多少种分法件有多少种分法?解解:(1)(2)现在学习的是第32页，共39页例例4、某城新建的一条道路上有、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（可以熄灭的方法共
23、有（）（A）种（种（B）种种（C）种种 （D）种种二、不相邻问题插空法二、不相邻问题插空法现在学习的是第33页，共39页三、混合问题，先三、混合问题，先“组组”后后“排排”例例5 对某种产品的对某种产品的6件不同的正品和件不同的正品和4件不同的次品件不同的次品,一一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第好在第5次测试时全部发现次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能则这样的测试方法有种可能？解：由题意知前解：由题意知前5次测试恰有次测试恰有4次测到次品，且第次测到次品，且第5次测试是次品。故有：次测试是次品。故有：种可能。种可能。现
24、在学习的是第34页，共39页练习：练习：1、某学习小组有、某学习小组有5个男生个男生3个女生，从中选个女生，从中选3名男生名男生和和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则人参加，则有不同参赛方法有不同参赛方法_种种.解：采用先组后排方法解：采用先组后排方法:2、3 名医生和名医生和 6 名护士被分配到名护士被分配到 3 所学校为学生体检所学校为学生体检,每校分配每校分配 1 名医生和名医生和 2 名护士名护士,不同的分配方法共有多不同的分配方法共有多少种少种?解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法二：依次
25、确定到第一、第二、第三所学校去的医生解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士和护士.现在学习的是第35页，共39页四、分类组合四、分类组合,隔板处理隔板处理例例6、从从6个学校中选出个学校中选出30名学生参加数学竞赛名学生参加数学竞赛,每校至每校至少有少有1人人,这样有几种选法这样有几种选法?分析分析:问题相当于把个问题相当于把个30相同球放入相同球放入6个不同盒子个不同盒子(盒子不盒子不能空的能空的)有几种放法有几种放法?这类问可用这类问可用“隔板法隔板法”处理处理.解解:采用采用“隔板法隔板法”得得:现在学习的是第36页，共39页练习：练习：1、将、将8个学生干部的培训指标分
26、配给个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每个不同的班级，每班至少分到班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？个名额，共有多少种不同的分配方法？2、从一楼到二楼的楼梯有、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走一级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有多少步走完，则有多少种不同的走法？种不同的走法？现在学习的是第37页，共39页课堂练习：课堂练习：2、从、从6位同学中选出位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为个人参加，则有不同的选法种数为
27、 。3、要从、要从8名男医生和名男医生和7名女医生中选名女医生中选5人组成一个医疗队，如果人组成一个医疗队，如果其中至少有其中至少有2名男医生和至少有名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数名女医生，则不同的选法种数为（为（）4、从、从7人中选出人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（）1、把、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有 种种。99CD现在学习的是第38页，共39页感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第39页，共39页