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1、群置换循环第1页，此课件共23页哦4.1 群、置换、循环群、置换、循环1.群的概念群的概念2.置换群置换群3.循环循环第2页，此课件共23页哦1.群的概念群的概念群论是现代数学非常重要的分支，群论产生的开群论是现代数学非常重要的分支，群论产生的开群论是现代数学非常重要的分支，群论产生的开群论是现代数学非常重要的分支，群论产生的开端非常平凡，但是群论的创立者却充满了传奇。端非常平凡，但是群论的创立者却充满了传奇。是二次方程是二次方程是二次方程是二次方程的求根公式。的求根公式。的求根公式。的求根公式。我们熟知的公式我们熟知的公式我们熟知的公式我们熟知的公式第3页，此课件共23页哦人们试图对次数更高
2、的方程得到类似的求解公式。人们试图对次数更高的方程得到类似的求解公式。人们试图对次数更高的方程得到类似的求解公式。人们试图对次数更高的方程得到类似的求解公式。公元前公元前公元前公元前16001600年的巴比伦数学家已知道如何解二次方程，尽年的巴比伦数学家已知道如何解二次方程，尽年的巴比伦数学家已知道如何解二次方程，尽年的巴比伦数学家已知道如何解二次方程，尽管他们没有使用我们现在的代数符号去表达方程及其解。管他们没有使用我们现在的代数符号去表达方程及其解。管他们没有使用我们现在的代数符号去表达方程及其解。管他们没有使用我们现在的代数符号去表达方程及其解。形如形如形如形如 axax3+bxbx2
3、2+cx+d d=0=0的三次方程的求根公式直至的三次方程的求根公式直至1616世纪才被发现，它是由意大利数学家费罗世纪才被发现，它是由意大利数学家费罗世纪才被发现，它是由意大利数学家费罗世纪才被发现，它是由意大利数学家费罗(Ferro)(Ferro)和丰塔那和丰塔那和丰塔那和丰塔那(Fontana)(Fontana)彼此独立得到的。彼此独立得到的。第4页，此课件共23页哦1545年年年年,卡尔达塔卡尔达塔卡尔达塔卡尔达塔(CardanoCardano)在他的在他的大术大术大术大术(ArsMagnaArsMagna)一书中公开发表了丰塔那的方法。这部书还讲述了费拉一书中公开发表了丰塔那的方法。
4、这部书还讲述了费拉一书中公开发表了丰塔那的方法。这部书还讲述了费拉一书中公开发表了丰塔那的方法。这部书还讲述了费拉里里里里(Ferrari)求解四次方程的方法。求解四次方程的方法。求解四次方程的方法。求解四次方程的方法。但事情的发展似乎突然停了下来。虽然有很多数学家但事情的发展似乎突然停了下来。虽然有很多数学家作出了努力，其中包括作出了努力，其中包括18世纪中叶伟大的瑞士数学家世纪中叶伟大的瑞士数学家世纪中叶伟大的瑞士数学家世纪中叶伟大的瑞士数学家欧拉欧拉欧拉欧拉(EulerEuler)，但没有一个人能找出，但没有一个人能找出，但没有一个人能找出，但没有一个人能找出五次方程五次方程的求根公式。
5、的求根公式。第5页，此课件共23页哦拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日(LagrangeLagrange)在在在在17701770年猜测：年猜测：这样的求根公式不存在。这样的求根公式不存在。这样的求根公式不存在。这样的求根公式不存在。18241824年，挪威数学家阿贝尔年，挪威数学家阿贝尔年，挪威数学家阿贝尔年，挪威数学家阿贝尔(AbelAbel)证明了拉格朗日的猜想证明了拉格朗日的猜想证明了拉格朗日的猜想证明了拉格朗日的猜想是正确的。是正确的。是正确的。是正确的。但是虽然没有通用公式，有些特殊的五但是虽然没有通用公式，有些特殊的五但是虽然没有通用公式，有些特殊的五但是虽然没有通用公式，有些特殊
6、的五 次方程有求次方程有求次方程有求次方程有求根公式，那么自然会问：根公式，那么自然会问：根公式，那么自然会问：根公式，那么自然会问：如何判定一个给定的五次方程如何判定一个给定的五次方程是否有这样的求根公式？是否有这样的求根公式？阿贝尔去世阿贝尔去世阿贝尔去世阿贝尔去世(18291829年，年，年，年，2626岁岁岁岁)前一直在竭尽全力地研究这前一直在竭尽全力地研究这前一直在竭尽全力地研究这前一直在竭尽全力地研究这个问题。个问题。个问题。个问题。第6页，此课件共23页哦在这一时期，碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这个在这一时期，碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这个在这一时期，碰巧还有一位年轻人
7、也在勤奋地钻研这个在这一时期，碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这个问题，而且最终取得了成功，他就是伽罗华问题，而且最终取得了成功，他就是伽罗华问题，而且最终取得了成功，他就是伽罗华问题，而且最终取得了成功，他就是伽罗华(GaloisGalois)。可是这位年轻人获得的非凡成果，在他因决斗去世可是这位年轻人获得的非凡成果，在他因决斗去世可是这位年轻人获得的非凡成果，在他因决斗去世可是这位年轻人获得的非凡成果，在他因决斗去世1111年后年后年后年后才开始得到数学界的承认。才开始得到数学界的承认。才开始得到数学界的承认。才开始得到数学界的承认。伽罗华伽罗华18111811年年年年1010月月月月降生
8、于巴黎近郊。降生于巴黎近郊。降生于巴黎近郊。降生于巴黎近郊。14岁岁岁岁那年因考试不及格而重上三年级。那年因考试不及格而重上三年级。那年因考试不及格而重上三年级。那年因考试不及格而重上三年级。第7页，此课件共23页哦1515岁岁岁岁参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试时，参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试时，参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试时，参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试时，伽罗华失败了，不得不进入普通的师范学校。伽罗华失败了，不得不进入普通的师范学校。伽罗华失败了，不得不进入普通的师范学校。伽罗华失败了，不得不进入普通的师范学校。就是在这所学校，伽罗华写出了他的
9、第一篇关于连分就是在这所学校，伽罗华写出了他的第一篇关于连分数的数学论文，显示了他的能力。数的数学论文，显示了他的能力。他的下两篇关于多项式方程的论文遭到法国科学院的拒绝。他的下两篇关于多项式方程的论文遭到法国科学院的拒绝。他的下两篇关于多项式方程的论文遭到法国科学院的拒绝。他的下两篇关于多项式方程的论文遭到法国科学院的拒绝。更糟的是，两篇论文手稿还莫名其妙地被丢失了。更糟的是，两篇论文手稿还莫名其妙地被丢失了。更糟的是，两篇论文手稿还莫名其妙地被丢失了。更糟的是，两篇论文手稿还莫名其妙地被丢失了。第8页，此课件共23页哦18291829年年年年7月，月，他在巴黎高等工科大学的入学考试中再他在
10、巴黎高等工科大学的入学考试中再次失败次失败.怀着沮丧之情，伽罗华于怀着沮丧之情，伽罗华于怀着沮丧之情，伽罗华于怀着沮丧之情，伽罗华于1830年初又向科学院提年初又向科学院提年初又向科学院提年初又向科学院提交了另一篇论文，这次是为竞争一项数学大奖。交了另一篇论文，这次是为竞争一项数学大奖。交了另一篇论文，这次是为竞争一项数学大奖。交了另一篇论文，这次是为竞争一项数学大奖。科学院秘书傅立叶科学院秘书傅立叶科学院秘书傅立叶科学院秘书傅立叶(FourierFourier)将其手稿拿回家去审将其手稿拿回家去审将其手稿拿回家去审将其手稿拿回家去审读，不料在写出评审报告前去世了，此文再也没有找到。读，不料在
11、写出评审报告前去世了，此文再也没有找到。读，不料在写出评审报告前去世了，此文再也没有找到。读，不料在写出评审报告前去世了，此文再也没有找到。第9页，此课件共23页哦三失手稿，加之考巴黎高等工科大学两度失败，伽罗华遂三失手稿，加之考巴黎高等工科大学两度失败，伽罗华遂三失手稿，加之考巴黎高等工科大学两度失败，伽罗华遂三失手稿，加之考巴黎高等工科大学两度失败，伽罗华遂对科学界产生排斥情绪，变成了学生激进分子，被学校开对科学界产生排斥情绪，变成了学生激进分子，被学校开对科学界产生排斥情绪，变成了学生激进分子，被学校开对科学界产生排斥情绪，变成了学生激进分子，被学校开除。除。除。除。担任私人辅导教师谋生
12、，但他的数学研究工作依然相当担任私人辅导教师谋生，但他的数学研究工作依然相当担任私人辅导教师谋生，但他的数学研究工作依然相当担任私人辅导教师谋生，但他的数学研究工作依然相当活跃。在这一时期写出了最著名的论文活跃。在这一时期写出了最著名的论文活跃。在这一时期写出了最著名的论文活跃。在这一时期写出了最著名的论文“关于方程可关于方程可根式求解的条件根式求解的条件”，并于，并于18311831年年1 1月月送交科学院。送交科学院。到到3 3月月，科学院方面仍杳无音讯，于是他写信给院长，科学院方面仍杳无音讯，于是他写信给院长打听他的文章的下落，结果又如石沉大海。打听他的文章的下落，结果又如石沉大海。第1
13、0页，此课件共23页哦他放弃了一切希望，参加了国民卫队。在那里和他在数他放弃了一切希望，参加了国民卫队。在那里和他在数他放弃了一切希望，参加了国民卫队。在那里和他在数他放弃了一切希望，参加了国民卫队。在那里和他在数学界一样运气不佳。他刚加入不久，卫队即遭控告阴谋学界一样运气不佳。他刚加入不久，卫队即遭控告阴谋学界一样运气不佳。他刚加入不久，卫队即遭控告阴谋学界一样运气不佳。他刚加入不久，卫队即遭控告阴谋造反而被解散。造反而被解散。造反而被解散。造反而被解散。在在在在18311831年年年年5 5月月月月1010日日进行的一次抗议聚宴上，伽罗华手中举进行的一次抗议聚宴上，伽罗华手中举进行的一次抗
14、议聚宴上，伽罗华手中举进行的一次抗议聚宴上，伽罗华手中举着出鞘的刀提议为国王干杯，这一手势被同伙们解释成着出鞘的刀提议为国王干杯，这一手势被同伙们解释成着出鞘的刀提议为国王干杯，这一手势被同伙们解释成着出鞘的刀提议为国王干杯，这一手势被同伙们解释成是要国王的命；第是要国王的命；第是要国王的命；第是要国王的命；第2天他就被捕了。后来被判无罪，并于天他就被捕了。后来被判无罪，并于天他就被捕了。后来被判无罪，并于天他就被捕了。后来被判无罪，并于6月月1515日日获释。获释。获释。获释。第11页，此课件共23页哦7月月月月4日日日日，他终于打听到他给科学院的那篇论文的命运：因，他终于打听到他给科学院的
15、那篇论文的命运：因，他终于打听到他给科学院的那篇论文的命运：因，他终于打听到他给科学院的那篇论文的命运：因“无法理解无法理解”而遭拒绝。而遭拒绝。而遭拒绝。而遭拒绝。审稿人是著名的数学家泊松审稿人是著名的数学家泊松(Poisson)。7 7月月月月14日日日日他又遭逮捕并被判了六个月监禁，因为他在公共场他又遭逮捕并被判了六个月监禁，因为他在公共场他又遭逮捕并被判了六个月监禁，因为他在公共场他又遭逮捕并被判了六个月监禁，因为他在公共场所身着已被解散的国民卫队的制服。所身着已被解散的国民卫队的制服。所身着已被解散的国民卫队的制服。所身着已被解散的国民卫队的制服。在获释不久，他陷入了与斯特凡妮小姐的
16、恋情。这导在获释不久，他陷入了与斯特凡妮小姐的恋情。这导致了他的早亡。这次恋爱事件不知何故引出了一场决致了他的早亡。这次恋爱事件不知何故引出了一场决斗。斗。第12页，此课件共23页哦18321832年年年年5 5月月2929日，日，日，日，决斗的前夜，伽罗华写了封很长的信决斗的前夜，伽罗华写了封很长的信给他的朋友舍瓦利耶给他的朋友舍瓦利耶(A.ChevalierA.Chevalier)，其中大致描述了他的，其中大致描述了他的，其中大致描述了他的，其中大致描述了他的数学理论，从而给数学界留下了唯一一份它将蒙受何等损数学理论，从而给数学界留下了唯一一份它将蒙受何等损数学理论，从而给数学界留下了唯一
17、一份它将蒙受何等损数学理论，从而给数学界留下了唯一一份它将蒙受何等损失的提要。失的提要。失的提要。失的提要。在第二天的决斗中在第二天的决斗中在第二天的决斗中在第二天的决斗中(离离25步远用手枪射击步远用手枪射击步远用手枪射击步远用手枪射击)，伽罗华的胃部，伽罗华的胃部，伽罗华的胃部，伽罗华的胃部中弹，中弹，中弹，中弹，24小时后去世。享年不足小时后去世。享年不足小时后去世。享年不足小时后去世。享年不足2121岁。岁。岁。岁。伽罗华留给世界的最核心的概念是伽罗华留给世界的最核心的概念是伽罗华留给世界的最核心的概念是伽罗华留给世界的最核心的概念是(置换置换置换置换)群群群群，他被公认，他被公认为是
18、为是群论群论群论群论的创始人。的创始人。第13页，此课件共23页哦给定一个集合给定一个集合G=a,b,c,和集合和集合G上的二元运算上的二元运算，满足，满足如下条件：如下条件：1.封闭性：若封闭性：若a,b G，则存在，则存在c G使得使得ab=c；4.存在逆元：对存在逆元：对G的任意元素的任意元素a，恒有一个，恒有一个b G，使得，使得ab=ba=e，则元素，则元素b称为元素称为元素a的逆元素，记为的逆元素，记为a-1。2.结合律：结合律：(ab)c=a(bc)；3.存在单位元：存在单位元：G中存在一个元素中存在一个元素e，使得对于，使得对于G的的任意元素任意元素a，恒有，恒有 ae=ea=
19、a；则称集合则称集合G在运算在运算之下是一个之下是一个群群，或称，或称G是一个是一个群群。第14页，此课件共23页哦例例 G=1,-1在普通乘法下是群。在普通乘法下是群。例例 G=0,1,2,n-1在在mod n的加法下是群。的加法下是群。例例 二维欧式空间中的刚体旋转变换集合二维欧式空间中的刚体旋转变换集合Ta a构成群，构成群，其中其中v 前两例群元素的个数是有限的，称为前两例群元素的个数是有限的，称为有限群有限群；后一后一例群元素的个数是无限的，称为例群元素的个数是无限的，称为无限群无限群。v 有限群有限群G的元素个数叫做群的的元素个数叫做群的阶阶,记做记做|G|。v 若群若群G的任意二
20、元素的任意二元素a,b恒满足恒满足ab=ba，则称，则称G为为 交换交换群群，或，或Abel群群。v 设设G是群，是群，H是是G的子集，若的子集，若H在在G原有的运算之下也原有的运算之下也是一个群，则称为是一个群，则称为G的一个的一个子群子群。第15页，此课件共23页哦基本性质基本性质(a)单位元唯一单位元唯一 e1e2=e2=e1(b)消去律成立消去律成立 ab=ac b=c,ba=ca b=c(c)每个元的逆元唯一每个元的逆元唯一 aa =a a=e,ab=ba=e,aa =ab,a =b(d)(ab.c)=c b a.c b a abc=e-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1(e
21、)若若G有限有限，aG，则存在最小正整数则存在最小正整数r，使使得得a =e.且且a =a (r称为元素称为元素a的的阶阶)r-1r-1第16页，此课件共23页哦置换群是最重要的有限群，所有的有限群都可以用它置换群是最重要的有限群，所有的有限群都可以用它表示。表示。置换置换：1,n到自身的到自身的1-1变换：变换：1,n1,n，p：i ai,(ai aj,i j)于是，于是，a1a2an是是1,n 的一个全排列。称此置换为的一个全排列。称此置换为n阶置阶置换换，它可如下表示：，它可如下表示：2.置换群置换群第17页，此课件共23页哦置换的乘法运算：设置换的乘法运算：设定义这两个置换的乘法为：定
22、义这两个置换的乘法为：第18页，此课件共23页哦类似有：类似有：显然有显然有 第19页，此课件共23页哦于是我们定义乘法如下：于是我们定义乘法如下：第20页，此课件共23页哦可以证明，可以证明，1,n上所有的置换按上述乘法构成一个群，上所有的置换按上述乘法构成一个群，即满足即满足1.封闭性；封闭性；2.结合律；结合律；3.有单位元：有单位元：4.有逆元：有逆元：称此群为称此群为置换群置换群，记为，记为Sn。第21页，此课件共23页哦例例 等边三角形的运动群。等边三角形的运动群。绕中心转动绕中心转动0，120，240，绕对称轴翻转。绕对称轴翻转。12 3 12 3240 23 1 21 3180p2p5第22页，此课件共23页哦3.循环循环下面介绍一种置换的表示方法：下面介绍一种置换的表示方法：称为置换的称为置换的循环循环表示，或称为表示，或称为m阶循环阶循环。(a1a2am)=(a2a3ama1)=(ama1am-1)都表示同都表示同一个置换，共有一个置换，共有m种表示方法。种表示方法。第23页，此课件共23页哦