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1、4.1 群、置换、循环群、置换、循环1. 群的概念群的概念2. 置换群置换群3. 循环循环考虑下面的计数问题：把一个考虑下面的计数问题：把一个2 2的方格的方格棋盘用蓝棋盘用蓝或白两色涂色，如果棋盘可以随意转动，问有多少或白两色涂色，如果棋盘可以随意转动，问有多少种不同的涂色方案？种不同的涂色方案？1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 13 14 15 16若棋盘固定不若棋盘固定不动动，有，有24=16种不同的涂色方案。种不同的涂色方案。但当棋盘可转动时，其中的一些方案可以变成另一但当棋盘可转动时，其中的一些方案可以变成另一些方案。些方案。1. 群的概念群的概念axbxc 20a
2、acbbx242 给定一个集合给定一个集合G=a,b,c,和集合和集合G上的二元运算上的二元运算，满足如下条件：满足如下条件：1. 封闭性：若封闭性：若a,b G，则存在，则存在c G使得使得ab=c；4. 存在逆元：对存在逆元：对G的任意元素的任意元素a，恒有一个，恒有一个b G，使得使得ab=ba=e，则元素，则元素b称为元素称为元素a的逆元素，记的逆元素，记为为a-1。2. 结合律：结合律：(ab)c=a(bc)；3. 存在单位元：存在单位元：G中存在一个元素中存在一个元素e，使得对于，使得对于G的的任意元素任意元素a，恒有，恒有 ae=ea=a； 则称集合则称集合G在运算在运算之下是一
3、个之下是一个群群，或称，或称G是一个是一个群群。例例 G=1,-1在普通乘法下是群。在普通乘法下是群。例例 G=0,1,2,n-1在在mod n的加法下是群。的加法下是群。例例 二维欧式空间中的刚体旋转变换集合二维欧式空间中的刚体旋转变换集合Ta a构成构成群，其中群，其中v 前两例群元素的个数是有限的，称为前两例群元素的个数是有限的，称为有限群有限群； 后一例群元素的个数是无限的，称为后一例群元素的个数是无限的，称为无限群无限群。cossin:sincosxxTyya aaaaaaaaa 11v 有限群有限群G的元素个数叫做群的的元素个数叫做群的阶阶,记做记做|G|。v 若群若群G的任意二元
4、素的任意二元素a,b恒满足恒满足ab=ba，则称，则称G为为 交换群交换群，或，或Abel群群。v 设设G是群，是群，H是是G的子集，若的子集，若H在在G原有的运算之原有的运算之下也是一个群，则称为下也是一个群，则称为G的一个的一个子群子群。置换群是最重要的有限群，所有的有限群都可以用置换群是最重要的有限群，所有的有限群都可以用它表示。它表示。置换置换：1,n到自身的到自身的1-1变换：变换：1,n1,n，p：i ai , (ai aj, i j)于是，于是，a1a2an是是1,n 的一个全排列。称此置换为的一个全排列。称此置换为n阶置换阶置换，它可如下表示：，它可如下表示： . . . nn
5、pa aa 12122. 置换群置换群置换的乘法运算：设置换的乘法运算：设定义这两个置换的乘法为：定义这两个置换的乘法为：,pp 121234123431244321p p 121234123431244321= 1234312431242431. 12342431类似有：类似有：显然有显然有 p p 211234123443213124.p pp p 1221= 1234432143214213. 12344213于是我们定义乘法如下：于是我们定义乘法如下： . , . nnpa aa 11212. . ,. . nnaaanaaanpbbbb bb121221212. . . . . .n
6、nnaaanaaaaaanp pbbba aanbbb 12121212121212可以证明，可以证明，1,n上所有的置换按上述乘法构成一个上所有的置换按上述乘法构成一个群，即满足群，即满足1. 封闭性；封闭性；2. 结合律；结合律；3. 有单位元：有单位元： . , . nen 12124. 有逆元：有逆元： . , . nnpa aa 1212 . . . .nnnaaapa aan 1121121212称此群为称此群为置换群置换群，记为，记为Sn。例例 等边三角形的运动群。等边三角形的运动群。 绕中心转动绕中心转动0，120，240， 绕对称轴翻转。绕对称轴翻转。 12 3,.ppppp
7、p123456123123123123231312123123123132321213 12 3240 23 1 21 3180p3p53. 循环循环下面介绍一种置换的表示方法：下面介绍一种置换的表示方法：称为置换的称为置换的循环循环表示，或称为表示，或称为m阶循环阶循环。 . ( . ) . mmmma aaaa aaa aaa 12112231 12345(14523)43152 12345(132)(45),31254()( )( ) 12345154 2 352314(a1a2am) = (a2a3ama1) = = (ama1am-1)都表示都表示同一个置换，共有同一个置换，共有m种
8、表示方法。种表示方法。若两个循环无共同文字，则称为若两个循环无共同文字，则称为不相交不相交的。的。不相交的循环相乘可交换。如不相交的循环相乘可交换。如(132)(45)= (45)(132)。定理定理：任一置换可表示为若干不相交循环的乘积。：任一置换可表示为若干不相交循环的乘积。证明：对给定的置换证明：对给定的置换 . , . nnpa aa 1212从从1开始得到一个循环。开始得到一个循环。若这个循环已包含所有文字，则结束；否则继续从若这个循环已包含所有文字，则结束；否则继续从任一文字开始重复上面的过程，直至包含所有的文任一文字开始重复上面的过程，直至包含所有的文字。字。由于不相交的循环可交
9、换顺序，因此置换的循环表由于不相交的循环可交换顺序，因此置换的循环表示除了顺序之外是唯一的。示除了顺序之外是唯一的。2阶循环称为阶循环称为对换对换。定理定理：任一循环可表示为若干对换的乘积。：任一循环可表示为若干对换的乘积。例：例：(1 2 n)=(1 2)(1 3)(1 n)=(2 3)(2 4)(2 n)(2 1)。其表示并不唯一。其表示并不唯一。定理定理：任一置换表示成对换的个数的奇偶性是唯：任一置换表示成对换的个数的奇偶性是唯一的。一的。奇置换奇置换：分解成奇数个对换的乘积，：分解成奇数个对换的乘积，偶置换偶置换：分解成偶数个对换的乘积。：分解成偶数个对换的乘积。置换置换 循环循环 对
10、换对换循环置换的循环长度减循环置换的循环长度减1的奇偶性就是它的奇偶性。的奇偶性就是它的奇偶性。定理定理： Sn中所有偶置换构成一阶为中所有偶置换构成一阶为(n!)/2的子群。称的子群。称为为交错群交错群，记做，记做An。 证明：证明：1. 封闭性、封闭性、2. 结合律都显然。结合律都显然。3. 单位元：注意置换的单位元是偶置换。单位元：注意置换的单位元是偶置换。4. 逆元：注意逆元：注意(i j)-1=(i j)，因此对于一般的偶置换，因此对于一般的偶置换p=(i1 j1)(i2 j2)(ik jk), 则则 p-1= (ik jk)(i2 j2) (i1 j1) 。令令Bn=Sn/An，则，则|Bn|+|An|=n!。由由(i j)Bn包含于包含于An，有，有|Bn|An|，由由(i j)An包含于包含于Bn，有，有|An|Bn|，因此有：因此有：|An|=|Bn|=n!/2。