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1、2 变换群、置换群与循环群,例14.8:证明不等边长方形所有对称的集合, 关于其合成构成群。 B4=e,B4;是4元素群,称为Klein四元群。,一、变换群,变换:非空集合S到S的一个映射, 当映射是一一对应时, 称为一一变换。 SS表示S到S的所有映射全体组成的集合, SS=f|f:SS， SS;是半群。是拟群。不是群 T(S)表示S上所有一一变换组成的集合。 T(S)=f|fSS,且f为一一对应 T(S);是群,定义14.5:设GT(S),当G;为群时,就称该群为变换群,其中为一一变换的合成(复合)运算,并称为变换的乘法。 定理14.9:T(S);是一个变换群。 变换群不一定是交换群,二、
2、置换群,定义14.6:设S,|S|+,S上的一个一一变换称为置换。S上的某些置换关于乘法运算构成群时, 就称为置换群。 若|S|=n,设S=1,2,n,其置换全体组成的集合表示为Sn; Sn;是一个置换群, n次对称群。,S上的置换Sn,习惯上写成,这里(i)即为i在函数下的象，这里1,2, ,n次序无关，即,n次对称群Sn是有限群,问|Sn|=? S上的一一变换个数有多少? S上的一一变换个数是n!,即|Sn|=n!。 下面以三次对称群S3为例， 考察群运算。,定义14.7:设|S|=n, Sn, 形如:,其中2dn。这种形式的置换叫做循环置换, 称其循环长度为d。上述可写为=(i1, id
3、)，其中在变换下的象是自身的元素就不再写出。 特别, 当 d=2时称为对换。,定理14.10:Sn中的任一个置换均可分解为不含公共元的若干个循环置换的乘积。 证明:对n作归纳 n=1,成立 假设对n1，|S|n-1,结论成立 当|S|=n,任取Sn中的置换 由元素1出发取上的循环置换 推论14.1:任意一个置换可以分解为若干个对换的乘积。,说明分解不唯一,定理14.11：任意一个置换可分解成对换的乘积, 这种分解是不唯一的, 但是这些对换的个数是奇数个还是偶数个却完全由置换本身确定。 对一个置换，它可能有不同的对换乘积，但它们的对换个数的奇偶性则是一致的。 定义14.8：一个置换的对换分解式中
4、, 对换因子的个数是偶数时称该置换为偶置换,否则, 称它为奇置换。,长度为k的循环置换 (i1 i2 ik)=(i1 i2)(i2 i3)(ik-2 ik-1)(ik-1 ik) 共k-1个对换 所以当k是奇数时，该循环为偶置换 当k是偶数时，该循环为奇置换 推论14.2：一个长度为 k的循环置换, 当k为奇数时, 它是一个偶置换; 当k为偶数时, 它是一个奇置换。,推论14.3：每个偶置换均可分解为若干个长度为 3 的循环置换的乘积, 循环置换中可以含有公共元。 证明:对任两个对换: (a,b)(c,d) (a,b)(b,c),推论14.4：Sn中的奇、偶置换在置换的乘法运算下,其奇偶性由下
5、表给出:, 偶置换 奇置换 偶置换 偶置换 奇置换 奇置换 奇置换 偶置换 恒等置换看作为偶置换 Sn= OnAn OnAn= 偶置换与偶置换的乘积仍是偶置换，是An上的运算 An;是代数系统。,1.封闭性 2.结合律当然成立 3.恒等置换eAn 4.对于An, 在Sn中有逆元-1, -1也是偶置换 推论14.5：对称群Sn中所有偶置换组成的集合, 记为An,关于置换的乘法构成群。,定义14.9：称上述An;为n次交待群。 由于An中每个元素都是置换,因此根据置换群的定义可知An; 也是置换群. |An|=? 若n=1，Sn只有一个置换恒等置换，它也是An的元素，|An|=1。 若n1, |An|=|On|=,例：G=g1, g2, gn,G;是群,对任意gG,定义映射g:GG,使得对任意xG,有g(x) =gx。设=g|gG,则;是置换群。这里是关于映射的复合运算. 证明: (0)是上的运算 (1)是满足结合律的. (2)存在单位元 (3)对任意g ,存在逆元 (4)g是G上的置换,三、循环群,1.元素的阶 定义14.10:设G为群, e是G的单位元，对于aG, 如果存在最小正整数r，使得ar=e，则称r为元素a的阶; 也可称a是r阶元。若不存在这样的r，则称a为无限阶元或说a的阶无限。,作业: P293 12.(2) (3), 13,